2020届江西省新余市高三上学期期末数学（理）试题（解析版）

2020届江西省新余市高三上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求得集合，得到或，再根据集合的交集运算，即可求解.

【详解】

由题意，集合，，

则或，所以.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念和运算，以及正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2．复数满足，则复数的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用复数的乘除运算求出复数的代数形式，再求出其共轭复数，确认其虚部即可.

【详解】

因为，

所以，

其虚部为.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的乘除运算，以及对共轭复数的认识，是基础题.

3．鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意可得出判断条件.

【详解】

由题意可知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为时，算法结束，因此，判断条件应填入“”.

故选B.

【点睛】

本题考查算法程序框图中判断条件的填写，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

4．函数的图像只可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】利用函数排除A,B，取特殊值，排除D，即可判断.

【详解】

因为对于任意的,恒成立，所以排除A,B

由于，则排除D

故选：C

【点睛】

本题主要考查了函数图像的识别，属于基础题.

5．若x，y满足,则的最大值是（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】A

【解析】作出x,y满足的可行域,利用z的几何意义即可解答．

【详解】

作出实数x,y满足不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：

令则,由图可知当直线过点时,z最大,

即取最大值为,

故选：A ．

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用结合数形结合是解决本题的关键．属于基础题．

6．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由对数的运算化简可得，，结合对数函数的性质，求得，又由指数函数的性质，求得，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，对数的运算公式，可得，

，

又由，所以，即，

由指数函数的性质，可得，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7．函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.

【详解】

解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，

得，当时，.

故选D.

【点睛】

本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.

8．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，侧棱，，两两垂直，且，若以为球心且1为半径的球与三棱锥公共部分的体积为，球的体积为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知是半径为1的球的体积的，把三棱锥补成正方体，利用正方体与外接球的关系即可得到球的体积为.

【详解】

由题意易得：，

将三棱锥补形为正方体可得其外接球即为三棱锥体的外接球，直径为：，

从而，，

所以，

故选：B.

【点睛】

三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .

9．今年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的名专家对石柱县的个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求出甲、乙两名专家被分配在同乡镇的概率，由此能求出甲、乙两名专家不在同乡镇的概率．

【详解】

记甲、乙两名专家被分配在同乡镇的事件为A，名专家分到个不同的乡镇，

共有2种情况，1种情况为1,1,3人，另1种情况为1,2,2人.

那么，

所以甲、乙两名专家不在同乡镇的概率为：．

故答案为：

【点睛】

本题考查了分步计算原理的运用问题，也考查了间接法和古典概型的计算问题，属于基础题．

10．已知双曲线：的左右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于，两点，若，的面积为，则双曲线的渐近线方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】连接得四边形为平行四边形；根据双曲线定义及的面积求得，再在中应用余弦定理即可求得关系，进而利用双曲线中的关系求得渐近线方程。

【详解】

根据题意，连接得四边形为平行四边形，几何关系如下图所示：

设，则

的面积为，，则由三角形面积公式可得

，化简得

解得，（舍）

所以

在中， 由余弦定理可得

，

即

化简可得 ，由双曲线中

可得

即

所以渐近线方程为

所以选D

【点睛】

本题考查了双曲线的定义和性质，渐近线方程求法，余弦定理的简单应用，属于中档题。

11．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.

【详解】

由，

可得，即.又，所以．

因为，所以点为的重心，

所以，所以，

两边平方得．

因为，所以，

于是，所以，

的面积为.

因为的面积是面积的倍.故的面积为．

【点睛】

本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.

12．已知函数，，其中．若的图象在点处的切线与的图象在点处的切线重合，则a的取值范围为（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先根据导数的几何意义写出函数在点A与函数在B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出，令，则，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出的取值范围．

【详解】

∵，

∴，，

函数在点处的切线方程为：，

函数在点处的切线方程为：，

两直线重合的充要条件是①，②，

由①及得，

故，

令，则，且，

设，

，

当时，恒成立，即单调递减，

，时，，

即a的取值范围为，故选A.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法，属于中档题.

二、填空题

13．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．

【答案】120

【解析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数列的第三项.

【详解】

因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为，其公差为，前项和为.

根据题意可知，，

法一：

，

，

.

法二：，

解得所以

【点睛】

本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题.

14．的展开式中的系数为_________.

【答案】160

【解析】根据的展开式的通项公式可得的展开式中的系数.

【详解】

的展开式中的系数为

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

15．若，则的值为__________.

【答案】

【解析】利用二倍角的正弦公式和平方关系式的逆用公式弦化切可得,利用两角和的正切公式可得,然后相除可得.

【详解】

因为,

所以,

,

所以.

故答案为:

【点睛】

本题考查了二倍角的正弦公式,两角和的正切公式,属于中档题.

16．抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点，经过抛物线的焦点反射后射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为6，则此抛物线的方程为_______.

【答案】

【解析】联立直线与抛物线方程，消去得到关于的方程，利用韦达定理得到的值，然后表示两平行光线距离，并求出其最小值为，而由题意可知最小值为，从而得到，抛物线方程得解.

【详解】

设，设两平行光距离为，

由题意可知，，

因为，而直线过点，则设直线方程为：，

因为，消去得，

由韦达定理可得，

则，

所以，

故抛物线方程为.

【点睛】

本题主要考查了抛物线方程的求解，涉及到韦达定理的应用，属于难题.对于涉及到直线与曲线相关的距离问题，常常运用到韦达定理以及弦长公式进行求解.

三、解答题

17．已知是首项为的等比数列，各项均为正数，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】(1) (2)

【解析】（1）由得q方程求解即可；（2）变形为 裂项求和即可.

【详解】

（1）设的公比为，

由得 ，

解得，或，

因各项都为正数，所以，所以，所以，

.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式，裂项相消求和，熟记等比数列通项，熟练计算裂项求和是关键，易错点是裂项时提系数，及剩余项数，是基础题.

18．如图,在四棱锥中，平面平面，，，，，点在棱上，且.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：(1)由边长和勾股定理得，又平面平面，由定理证得平面     (2) 建立空间直角坐标系, 得出平面的一个法向量为

，设平面的一个法向量为，由题意计算得出结果

解析：（Ⅰ）过点作交于，

，，

四边形为正方形，且，

在中，，在中，

又平面平面，平面平面

平面   

平面，且

平面                   

（Ⅱ） 

又平面平面，平面平面

平面 ，          

以点为坐标原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，

假设存在实数使得二面角的余弦值为，令

点在棱上，

设

则，

平面，平面的一个法向量为   

设平面的一个法向量为

由得令得

取                             

化简得又                

存在实数使得二面角的余弦值为.

19．为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段，，，，，，到如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的值及样本的中位数与众数；

（2）若从竞赛成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于分为事件,求事件发生的概率.

（3）为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在内的为一等奖,得分在内的为二等奖, 得分在内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设为获得三等奖的人数,求的分布列与数学期望.

【答案】(1)0.06；87.5；87.5；(2)；(3)详见解析

【解析】（1）根据小矩形的面积之和等于1，列出方程，求得的值，根据中位数定义估计中位数的范围，在列出方程求解中位数，再根据众数的定义，即可求解.

（2）计算两组的人数，再计算抽取的两人在同一组的概率，即可求解；

（3）根据题意，得到随机变量服从二项分布，再利用二项分布的期望公式，即可求解.

【详解】

（1）由频率分布直方图可知，解得，

可知样本的中位数在第4组中，不妨设为，

则，解得，

即样本的中位数为，

由频率分布直方图可知，样本的众数为.

（2）由频率分布直方图可知，在与两个分数段的学生人数分别为和，设中两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M，

则事件M发生的概率为，即事件M发生的概率为.

（3）从考生中随机抽取三名,则随机变量为获得三等奖的人数,则，

由频率分布直方图知，从考升中任抽取1人，此生获得三等奖的概率为，

所以随机变量服从二项分布，

则，

，

所以随机变量的分布列为

所以.

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及随机变量的分布列及其数学期望的求解，其中解答中认真审题，熟练频率分布直方图的性质，正确确定随机变量的取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

20．已知椭圆过点，离心率为，为坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为椭圆上的三点，与交于点，且，当的中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由．

【答案】（1）；（2）的面积是常数为，理由见解析.

【解析】（1）由题a=再由离心率，求得c,再由，即可求得方程；（2）若点是椭圆的右顶点，求得的面积为，若点不是椭圆的左、右顶点，则设直线的方程为：，与椭圆联立，由韦达定理得的坐标，弦长公式，点到线的距离公式，进而求出的面积为常数

【详解】

（1）由已知易得，

∴，

故椭圆的标准方程为：.

（2）①若点是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，

∵，在线段上，

∴，此时轴，求得，

∴的面积等于.

②若点不是椭圆的左、右顶点，则设直线的方程为：，，，

由得，则，，

∴的中点的坐标为，

∴点的坐标为，将其代入椭圆方程，化简得．

∴ ．

点到直线的距离，

∴的面积．

综上可知，的面积为常数．

【点睛】

本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式，熟记椭圆的简单几何性质，准确计算弦长，距离及面积公式是关键，是中档题

21．已知函数，.

（1）若存在极小值，求实数的取值范围；

（2）设是的极小值点，且，证明：.

【答案】(1) .(2)见解析.

【解析】（1）先求得导函数，根据定义域为，可构造函数，通过求导及分类讨论，即可求得的取值范围。

（2）由（1）令，通过分离参数得，同时求对数，根据函数，可得。构造函数及，由导数即可判断的单调情况，进而求得的最小值，结合即可证明不等式成立。

【详解】

（1）.

令，

则，

所以在上是增函数.

又因为当时，；

当时，.

所以，当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点；

当时，的值域为，

必存在使.

所以当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增；

所以存在极小值点.

综上可知实数的取值范围是.

（2）由（1）知，即.

所以，

.

由，得.

令，显然在区间上单调递减.

又，所以由，得.

令，

，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

所以，当时，函数取最小值，

所以，即，即，

所以，，

所以，

即.

【点睛】

本题考查了导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等式成立，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理能力，是高考的常考点和难点，属于难题。

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的普通方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线和直线的极坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，求.

【答案】(1) ，;(2) .

【解析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；根据直线过原点，即可得的极坐标方程。

（2）联立直线的极坐标方程与曲线的极坐标方程，根据极径的关系代入即可求得的值。

【详解】

（1）由曲线的参数方程为（为参数），

得曲线的普通方程为，

所以曲线的极坐标方程为，

即.

因为直线过原点，且倾斜角为，

所以直线的极坐标方程为.

（2）设点，对应的极径分别为，，

由，

得，

所以，，

又，，

所以 .

【点睛】

本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的转化，利用极坐标求线段和，属于中档题。

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知，，，且.

证明：

（1）；

（2）.

【答案】(1)见解析.(2)见解析.

【解析】（1）根据分析法，结合不等式关系中的，，，即可证明不等式成立；或用柯西不等式，直接证明不等式成立。

（2）根据“1”的代换，代入后结合基本不等式即可证明；直接构造基本不等式证明，也可证明不等式成立。

【详解】

（1）方法一：因为，

所以，

因为，，，

所以

.

所以，当且仅当时，等号成立.

方法二：，

所以，当且仅当时，等号成立.

（2）方法一：

，

所以，

当且仅当时，等号成立.

方法二： ，

所以，

当且仅当时，等号成立.

【点睛】

本题考查了不等式的证明，基本不等式及柯西不等式的应用，属于中档题。