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2021年广东省广州市增城区中考数学模拟试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年广东省广州市增城区中考数学模拟试卷（word版 含答案），共20页。
2021年广东省广州市增城区中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣ B．3.14 C． D．
2．（3分）下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a2﹣a2＝1 B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．a3×a4＝a12 D．a4÷a2+a2＝2a2
4．（3分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10
5．（3分）如图，在半径为4的⊙O中，弦AB＝6上一点（不与A，B重合），则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在，则CD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（3分）若（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）三点均在反比例函数y＝的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1
8．（3分）已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴（ ）
A．﹣1 B．﹣4 C．2 D．3
9．（3分）对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（ ）个①图象关于y轴对称；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣＜b≤﹣3．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，连接PC，则PC的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，9899万农村贫困人口全部脱贫．用科学记数法表示数据“9899万”： ．
12．（3分）如图，已知AB∥CD，点P、Q分别是直线AB，点G在两平行线之间，连接PG，点E是直线CD下方一点，连接EP，且GQ的延长线平分∠CQE，PE平分∠APG，则∠CQE的度数是 ．
13．（3分）分解因式：2n2﹣8＝ ．
14．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得该几何体的侧面积为 ．
15．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，折痕与矩形AB、BC边的交点分别为E、F，折叠后点B的对应点B′始终在AD边上，BC有交点，则点B′运动的最大距离是 ．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）图象上的两点（x1，y1）和（3，y2），若y1＞y2，则x1的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程组：．
18．（4分）已知：如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB+∠D=180°
求证：△ABC≌△EAD．
19．（6分）先化简，再求值：，其中a是整数且满足．
20．（6分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题
请结合图中的信息解决下列问题：
（1）在这次活动中，调查的居民共有 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中的a＝ ，D所在扇形的圆心角是 度；
（4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．民法典（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格
21．（8分）已知反比例函数y＝和一次函数y＝﹣x+a﹣1（a为常数）．
（1）当a＝5时，求反比例函数与一次函数的交点坐标；
（2）是否存在实数a，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，如果存在，如果不存在，说明理由．
22．（10分）某商店第一次用600元购进一款中性笔若干支，第二次又用750元购进该款中性笔，但这次每支中性笔的进价比第一次多1元
（1）求第一次每支中性笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的中性笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于450元，求每支中性笔售价至少是多少元？
23．（10分）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
如图所示在角的内部找一点P，使它到角的两边的距离相等，且到A
24．（12分）如图，A，B，C，D四点都在OO上，弧AC＝弧BC，CD、AD，∠ADC＝45°．
（1）如图1，AB是⊙O的直径；
（2）如图2，过点B作BE⊥CD于点E，点F在弧AC上，∠FGC＝2∠BAD，求证：BA平分∠FBE；
（3）如图3，在（2）的条件下，MN与⊙O相切于点M，连接AM，若2∠MAD+∠FBA＝135°AB，EN＝26
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA＝2，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，若点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、﹣是有理数；
B、5.41是有理数；
C、是分数，故本选项不符合题意；
D、属于无理数；
故选：D．
2．解：A．是轴对称图形；
B．不是轴对称图形；
C．是轴对称图形；
D．是轴对称图形；
故选：B．
3．解：A、2a2﹣a4＝a2，故此选项错误；
B、（﹣3a7b）2＝9a2b2，故此选项错误；
C、a3×a4＝a7，故此选项错误；
D、a4÷a5+a2＝2a2，正确．
故选：D．
4．解：A．∵1+2＝5．不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B．∵22+82≠44，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形；
C．∵42+22≠65，
∴以4，5，5为边不能组成直角三角形；
D．∵62+32＝102，
∴以7，8，10为边能组成直角三角形；
故选：D．
5．解：作直径AD，连接BD，
∴∠ABD＝90°，AD＝2OA＝2×3＝8，
∴在Rt△ABD中，BD＝＝，
∴cosD＝，
∵∠C＝∠D，
∴cosC＝．
故选：C．
6．
解：连接BD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC+2∠ACB＝180°，
∵∠BAC＝∠AOD，
∴∠AOD+2∠ACB＝180°，
∵∠AOD＝3∠ACD，
∴2∠ACD+2∠ACB＝180°，
∴∠ACD+∠ACB＝90°，
即∠BCD＝90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD＝10，
∴CD＝＝＝6，
故选：B．
7．解：∵m2+1＞7，
∴反比例函数y＝的图象在一，
∵点（﹣5，y1）的横坐标为﹣1＜7，
∴此点在第三象限，y1＜0；
∵（5，y2），（3，y4）的横坐标3＞2＞2，
∴两点均在第一象限y2＞0，y2＞0，
∵在第一象限内y随x的增大而减小，
∴y2＞y5＞0，
∴y2＞y6＞y1．
故选：D．
8．解：∵点A（m+1，﹣2）和点B（2，且直线AB∥x轴，
∴﹣2＝m﹣1
∴m＝﹣6
故选：A．
9．解：①∵a2﹣2|a|﹣7＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣8，
∴y＝x2﹣2|x|﹣7的图象关于y轴对称，
故①正确；
②∵y＝x2﹣2|x|﹣2＝（|x|﹣1）2﹣3，
∴当|x|＝1即x＝±1时，y有最小值为﹣5，
故②正确；
③当m＝﹣4时，方程x2﹣2|x|﹣3＝m为x2﹣6|x|﹣3＝﹣4，可化为（|x|﹣2）2＝0，解得x＝±4，此时m＝﹣4＜﹣3，
故③错误；
④∵直线y＝x+b与y＝x7﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，
∴方程x7﹣2|x|﹣3＝x+b，即x7﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝2有3个解，
∴方程x2﹣7x﹣3﹣b＝0（x≥6）与方程x2+x﹣3﹣b＝7（x＜0）一共有3个解，
∴当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝8（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣6﹣b＝0（x＜0）有两个相等的负数根；或当方程x7﹣3x﹣3﹣b＝3（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣2﹣b＝0（x＜0）有一个负数根；或方程x4﹣3x﹣3﹣b＝7（x≥0）有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程x2+x﹣2﹣b＝0（x＜0）有两个不相等的负数根．
即或或，
解得，b＝﹣，
∴当b＝﹣或b＝﹣3时6﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，
故④错误；
故选：B．
10．解：如图：
当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP6，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP3，
∴P1P2∥DE且P6P2＝DE
当点F在ED上除点D、E的位置处时
由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝5，E为BC的中点，
∴△ABE、△CDE1为等腰直角三角形，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90°
∴∠AP5P1＝90°
∴∠AP1P2＝45°
∴∠P2P1C＝90°，即CP4⊥P1P2，
∴CP的最小值为CP3的长
在等腰直角CDP1中，DP1＝CD＝7，
∴CP1＝4
∴PC的最小值是4．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：9899万＝98990000＝9.899×107．
故答案为：3.899×107．
12．解：如图，过点G作GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GM∥CD∥EN，
设∠CQF＝x，∠APE＝y，
∵QF平分∠CQE，PE平分线∠APG，
∴∠EQF＝∠CQF＝x，∠GPE＝∠APE＝y，
∵AB∥GM∥CD，
∴∠PGM＝180°﹣∠APG＝180°﹣2y，∠MGQ＝∠CQF＝x，
∴∠PGQ＝∠PGM+∠MGQ＝180°﹣2y+x，
∵AB∥CD∥EN，
∴∠APE＝∠PEN＝y，∠CQE＝∠QEN＝2x，
∴∠PEQ＝∠PEN﹣∠QEN＝y﹣2x，
∵2∠PEQ+∠PGQ＝120°，
∴7（y﹣2x）+180°﹣2y+x＝120°，
∴x＝20°，
∴∠CQE＝4×20°＝40°，
故答案为：40°．
13．解：原式＝2（n2﹣8）
＝2（n+2）（n﹣3）．
故答案为：2（n+2）（n﹣6）．
14．解：由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得此几何体为圆柱；
易得圆柱的底面直径为2，高为1，
∴侧面积＝4π×1＝2π，
故答案为：5π．
15．解：当F与C重合时，如图1，
由折叠得：B′C＝BC＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵AB＝DC＝6，
在Rt△B′DC中，B′D＝，
∴AB′＝10﹣2＝2；
当E与A重合时，如图2，
由折叠得：AB′＝AB＝3，
综上所述，AB′的取值范围是：2≤AB′≤6，
∴点B′运动的最大距离为2﹣2＝4．
故答案为8．
16．解：∵y1＞y2，
∴a﹣2ax5+c＞9a﹣6a+c，
∴a﹣2ax2﹣3a＞0，
∵a＜4，
∴函数y＝a﹣8ax1﹣3a开口向下，
令a﹣2ax4﹣3a＝0，
解得x2＝﹣1或3，
画出函数图象示意图：
由图象可得，当﹣6＜x＜3时，a1﹣3a＞2，
∴x1的取值范围是﹣1＜x4＜3，
故答案为：﹣1＜x8＜3．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．解：，
①+②×3得：10x＝50，
解得：x＝5，
把x＝8代入②得：y＝3，
则方程组的解为．
18．证明：∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠E，
∵∠ECB+∠D＝180°，∠ECB+∠ACB＝180°，
∴∠D＝∠ACB，
在△ABC与△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
19．解：原式＝•
＝2（a+3），
＝7a+6，
∵，
∴5≤a＜6，
∴a＝5，
∴原式＝10+2＝16．
20．解：（1）调查的学生共有：60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
（2）选择C的学生有：200×15%＝30（人），
选择A的学生有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）a%＝50÷200×100%＝25%，
∴a＝25，
话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，
故答案为：25，36；
（4）画树状图如图：
共有6个等可能的结果，两个小组选择A，
∴两个小组选择A、B话题发言的概率为＝．
21．解：（1）当a＝5时，一次函数y＝﹣x+a﹣1的解析式为：y＝﹣x+5，
联立，解得，，
∴当a＝5时，反比例函数与一次函数的交点坐标为（5，（3．
（2）存在实数a，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，
联立，整理得，x2﹣（a﹣1）x+4＝0，
∵方程组只有一组解，得△＝[﹣（a﹣1）]8﹣12＝0，
解得：a＝2+1或a＝﹣2．
22．解：（1）设第一次每支中性笔的进价是x元，则第二次每支中性笔的进价是（x+1）元，
依题意得：＝，
解得：x＝7，
经检验，x＝4是原方程的解且符合题意．
答：第一次每支中性笔的进价是4元．
（2）第一次购进中性笔的数量为600÷6＝150（支），
∴第二次购进中性笔150支．
设每支中性笔售价为y元，
依题意得：（150+150）y﹣600﹣750≥450，
解得：y≥6．
答：每支中性笔售价至少是6元．
23．解：如图，点P即为所求作．
24．解（1）如图1，连接BD．
∵＝，
∴∠BDC＝∠ADC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是圆O的直径．
（2）如图2，连接OG、BD．
则OA＝OD＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB，
∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝8∠BAD，
∵∠FGC＝2∠BAD，
∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD，
∴B、G、O、D四点共圆，
∴∠ODE＝∠OBG，
∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，
∴∠EBD＝45°＝∠EDB，
∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG，
∴BA平分∠FBE．
（3）如图3，连接AC、CO、EO．
∵AC＝BC，
∴AC＝BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，
延长CO交圆O于点K，则∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝3∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA，
连接DM、OM，
∵6∠MAD+∠FBA＝135°，
∴∠MOD+∠FBA＝135°，
∴2∠MOD+2∠FBA＝270°，
∴7∠MOD+∠DOK＝270°，
∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°，
∴∠AOM＝∠DOM，
∴AM＝DM，
连接MO并延长交AD于H，则∠MHA＝∠MHD＝90°，
设MH与BC交于点R，连接AR，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形，
∴∠BRH＝∠ARH＝45°
∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACR＝∠CBE，
∴△ACR≌△CBE（AAS），
∴CR＝BE＝ED，
作EQ⊥MN于Q，则∠EQN＝∠EQM＝90°，
连接OE，则OE垂直平分BD，
∴OE∥AD∥MN，
∴四边形OEQM是矩形，
∴OM＝EQ，OE＝MQ，
延长DB交MN于点P，
∵∠PBN＝∠EBD＝45°，
∴∠BNP＝45°，
∴△EQN是等腰直角三角形，
∴EQ＝QN＝EN＝13，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OM═13，AB＝2OA＝26，
∴BC＝OC＝26，
∵MN＝AB＝20，
∴OE＝MQ＝MN﹣QN＝20﹣13，
∵∠ORE＝45°，∠EOR＝90°，
∴△OER是等腰直角三角形，
∴RE＝OE＝14，
设BE＝CR＝x，则CE＝14+x，
在Rt△CBE中：BC2＝CE2+BE8，
∴262＝（x+14）2+x5，解得x＝10，
∴CD＝CR+RE+DE＝10+14+10＝34．
25．解：（1）∵OA＝2，OB＝OC＝6，
∴A（﹣4，0），0），6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），
把C点的坐标代入可得5＝﹣12a，
解得a＝．
∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣8）＝﹣x3+2x+6；
∴D（5，8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，﹣x2+7x+6），
则FG＝|﹣x2+2x+3|，
∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴．
∵B（6，0），4），
∴E（2，0），DE＝6，
∴BG＝6﹣x，
∴，
当点F在x轴上方时，有，
解得x＝﹣3或x＝6（舍去），
此时F点的坐标为（﹣1，），
当点F在x轴下方时，有，
解得x＝﹣3或x＝6（舍去），
此时F点的坐标为（﹣7，），
综上可知F点的坐标为（﹣5，）或（﹣6，）；
（3）如图2，设对角线MN，
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
QO′＝MO′＝PO′＝NO′，PQ⊥MN，
设Q（2，2n），n），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+7x+6的图象上．
∴n＝﹣（2﹣n）2+8（2﹣n）+6，
解得n＝﹣8+或n＝﹣1﹣，
∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2）或（2）．
2021年广东省广州市增城区中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣ B．3.14 C． D．
2．（3分）下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a2﹣a2＝1 B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．a3×a4＝a12 D．a4÷a2+a2＝2a2
4．（3分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10
5．（3分）如图，在半径为4的⊙O中，弦AB＝6上一点（不与A，B重合），则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在，则CD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（3分）若（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）三点均在反比例函数y＝的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1
8．（3分）已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴（ ）
A．﹣1 B．﹣4 C．2 D．3
9．（3分）对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（ ）个①图象关于y轴对称；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣＜b≤﹣3．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，连接PC，则PC的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，9899万农村贫困人口全部脱贫．用科学记数法表示数据“9899万”： ．
12．（3分）如图，已知AB∥CD，点P、Q分别是直线AB，点G在两平行线之间，连接PG，点E是直线CD下方一点，连接EP，且GQ的延长线平分∠CQE，PE平分∠APG，则∠CQE的度数是 ．
13．（3分）分解因式：2n2﹣8＝ ．
14．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得该几何体的侧面积为 ．
15．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，折痕与矩形AB、BC边的交点分别为E、F，折叠后点B的对应点B′始终在AD边上，BC有交点，则点B′运动的最大距离是 ．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）图象上的两点（x1，y1）和（3，y2），若y1＞y2，则x1的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程组：．
18．（4分）已知：如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB+∠D=180°
求证：△ABC≌△EAD．
19．（6分）先化简，再求值：，其中a是整数且满足．
20．（6分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题
请结合图中的信息解决下列问题：
（1）在这次活动中，调查的居民共有 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中的a＝ ，D所在扇形的圆心角是 度；
（4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．民法典（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格
21．（8分）已知反比例函数y＝和一次函数y＝﹣x+a﹣1（a为常数）．
（1）当a＝5时，求反比例函数与一次函数的交点坐标；
（2）是否存在实数a，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，如果存在，如果不存在，说明理由．
22．（10分）某商店第一次用600元购进一款中性笔若干支，第二次又用750元购进该款中性笔，但这次每支中性笔的进价比第一次多1元
（1）求第一次每支中性笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的中性笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于450元，求每支中性笔售价至少是多少元？
23．（10分）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
如图所示在角的内部找一点P，使它到角的两边的距离相等，且到A
24．（12分）如图，A，B，C，D四点都在OO上，弧AC＝弧BC，CD、AD，∠ADC＝45°．
（1）如图1，AB是⊙O的直径；
（2）如图2，过点B作BE⊥CD于点E，点F在弧AC上，∠FGC＝2∠BAD，求证：BA平分∠FBE；
（3）如图3，在（2）的条件下，MN与⊙O相切于点M，连接AM，若2∠MAD+∠FBA＝135°AB，EN＝26
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA＝2，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，若点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、﹣是有理数；
B、5.41是有理数；
C、是分数，故本选项不符合题意；
D、属于无理数；
故选：D．
2．解：A．是轴对称图形；
B．不是轴对称图形；
C．是轴对称图形；
D．是轴对称图形；
故选：B．
3．解：A、2a2﹣a4＝a2，故此选项错误；
B、（﹣3a7b）2＝9a2b2，故此选项错误；
C、a3×a4＝a7，故此选项错误；
D、a4÷a5+a2＝2a2，正确．
故选：D．
4．解：A．∵1+2＝5．不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B．∵22+82≠44，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形；
C．∵42+22≠65，
∴以4，5，5为边不能组成直角三角形；
D．∵62+32＝102，
∴以7，8，10为边能组成直角三角形；
故选：D．
5．解：作直径AD，连接BD，
∴∠ABD＝90°，AD＝2OA＝2×3＝8，
∴在Rt△ABD中，BD＝＝，
∴cosD＝，
∵∠C＝∠D，
∴cosC＝．
故选：C．
6．
解：连接BD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC+2∠ACB＝180°，
∵∠BAC＝∠AOD，
∴∠AOD+2∠ACB＝180°，
∵∠AOD＝3∠ACD，
∴2∠ACD+2∠ACB＝180°，
∴∠ACD+∠ACB＝90°，
即∠BCD＝90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD＝10，
∴CD＝＝＝6，
故选：B．
7．解：∵m2+1＞7，
∴反比例函数y＝的图象在一，
∵点（﹣5，y1）的横坐标为﹣1＜7，
∴此点在第三象限，y1＜0；
∵（5，y2），（3，y4）的横坐标3＞2＞2，
∴两点均在第一象限y2＞0，y2＞0，
∵在第一象限内y随x的增大而减小，
∴y2＞y5＞0，
∴y2＞y6＞y1．
故选：D．
8．解：∵点A（m+1，﹣2）和点B（2，且直线AB∥x轴，
∴﹣2＝m﹣1
∴m＝﹣6
故选：A．
9．解：①∵a2﹣2|a|﹣7＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣8，
∴y＝x2﹣2|x|﹣7的图象关于y轴对称，
故①正确；
②∵y＝x2﹣2|x|﹣2＝（|x|﹣1）2﹣3，
∴当|x|＝1即x＝±1时，y有最小值为﹣5，
故②正确；
③当m＝﹣4时，方程x2﹣2|x|﹣3＝m为x2﹣6|x|﹣3＝﹣4，可化为（|x|﹣2）2＝0，解得x＝±4，此时m＝﹣4＜﹣3，
故③错误；
④∵直线y＝x+b与y＝x7﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，
∴方程x7﹣2|x|﹣3＝x+b，即x7﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝2有3个解，
∴方程x2﹣7x﹣3﹣b＝0（x≥6）与方程x2+x﹣3﹣b＝7（x＜0）一共有3个解，
∴当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝8（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣6﹣b＝0（x＜0）有两个相等的负数根；或当方程x7﹣3x﹣3﹣b＝3（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣2﹣b＝0（x＜0）有一个负数根；或方程x4﹣3x﹣3﹣b＝7（x≥0）有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程x2+x﹣2﹣b＝0（x＜0）有两个不相等的负数根．
即或或，
解得，b＝﹣，
∴当b＝﹣或b＝﹣3时6﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，
故④错误；
故选：B．
10．解：如图：
当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP6，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP3，
∴P1P2∥DE且P6P2＝DE
当点F在ED上除点D、E的位置处时
由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝5，E为BC的中点，
∴△ABE、△CDE1为等腰直角三角形，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90°
∴∠AP5P1＝90°
∴∠AP1P2＝45°
∴∠P2P1C＝90°，即CP4⊥P1P2，
∴CP的最小值为CP3的长
在等腰直角CDP1中，DP1＝CD＝7，
∴CP1＝4
∴PC的最小值是4．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：9899万＝98990000＝9.899×107．
故答案为：3.899×107．
12．解：如图，过点G作GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GM∥CD∥EN，
设∠CQF＝x，∠APE＝y，
∵QF平分∠CQE，PE平分线∠APG，
∴∠EQF＝∠CQF＝x，∠GPE＝∠APE＝y，
∵AB∥GM∥CD，
∴∠PGM＝180°﹣∠APG＝180°﹣2y，∠MGQ＝∠CQF＝x，
∴∠PGQ＝∠PGM+∠MGQ＝180°﹣2y+x，
∵AB∥CD∥EN，
∴∠APE＝∠PEN＝y，∠CQE＝∠QEN＝2x，
∴∠PEQ＝∠PEN﹣∠QEN＝y﹣2x，
∵2∠PEQ+∠PGQ＝120°，
∴7（y﹣2x）+180°﹣2y+x＝120°，
∴x＝20°，
∴∠CQE＝4×20°＝40°，
故答案为：40°．
13．解：原式＝2（n2﹣8）
＝2（n+2）（n﹣3）．
故答案为：2（n+2）（n﹣6）．
14．解：由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得此几何体为圆柱；
易得圆柱的底面直径为2，高为1，
∴侧面积＝4π×1＝2π，
故答案为：5π．
15．解：当F与C重合时，如图1，
由折叠得：B′C＝BC＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵AB＝DC＝6，
在Rt△B′DC中，B′D＝，
∴AB′＝10﹣2＝2；
当E与A重合时，如图2，
由折叠得：AB′＝AB＝3，
综上所述，AB′的取值范围是：2≤AB′≤6，
∴点B′运动的最大距离为2﹣2＝4．
故答案为8．
16．解：∵y1＞y2，
∴a﹣2ax5+c＞9a﹣6a+c，
∴a﹣2ax2﹣3a＞0，
∵a＜4，
∴函数y＝a﹣8ax1﹣3a开口向下，
令a﹣2ax4﹣3a＝0，
解得x2＝﹣1或3，
画出函数图象示意图：
由图象可得，当﹣6＜x＜3时，a1﹣3a＞2，
∴x1的取值范围是﹣1＜x4＜3，
故答案为：﹣1＜x8＜3．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．解：，
①+②×3得：10x＝50，
解得：x＝5，
把x＝8代入②得：y＝3，
则方程组的解为．
18．证明：∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠E，
∵∠ECB+∠D＝180°，∠ECB+∠ACB＝180°，
∴∠D＝∠ACB，
在△ABC与△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
19．解：原式＝•
＝2（a+3），
＝7a+6，
∵，
∴5≤a＜6，
∴a＝5，
∴原式＝10+2＝16．
20．解：（1）调查的学生共有：60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
（2）选择C的学生有：200×15%＝30（人），
选择A的学生有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）a%＝50÷200×100%＝25%，
∴a＝25，
话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，
故答案为：25，36；
（4）画树状图如图：
共有6个等可能的结果，两个小组选择A，
∴两个小组选择A、B话题发言的概率为＝．
21．解：（1）当a＝5时，一次函数y＝﹣x+a﹣1的解析式为：y＝﹣x+5，
联立，解得，，
∴当a＝5时，反比例函数与一次函数的交点坐标为（5，（3．
（2）存在实数a，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，
联立，整理得，x2﹣（a﹣1）x+4＝0，
∵方程组只有一组解，得△＝[﹣（a﹣1）]8﹣12＝0，
解得：a＝2+1或a＝﹣2．
22．解：（1）设第一次每支中性笔的进价是x元，则第二次每支中性笔的进价是（x+1）元，
依题意得：＝，
解得：x＝7，
经检验，x＝4是原方程的解且符合题意．
答：第一次每支中性笔的进价是4元．
（2）第一次购进中性笔的数量为600÷6＝150（支），
∴第二次购进中性笔150支．
设每支中性笔售价为y元，
依题意得：（150+150）y﹣600﹣750≥450，
解得：y≥6．
答：每支中性笔售价至少是6元．
23．解：如图，点P即为所求作．
24．解（1）如图1，连接BD．
∵＝，
∴∠BDC＝∠ADC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是圆O的直径．
（2）如图2，连接OG、BD．
则OA＝OD＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB，
∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝8∠BAD，
∵∠FGC＝2∠BAD，
∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD，
∴B、G、O、D四点共圆，
∴∠ODE＝∠OBG，
∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，
∴∠EBD＝45°＝∠EDB，
∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG，
∴BA平分∠FBE．
（3）如图3，连接AC、CO、EO．
∵AC＝BC，
∴AC＝BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，
延长CO交圆O于点K，则∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝3∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA，
连接DM、OM，
∵6∠MAD+∠FBA＝135°，
∴∠MOD+∠FBA＝135°，
∴2∠MOD+2∠FBA＝270°，
∴7∠MOD+∠DOK＝270°，
∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°，
∴∠AOM＝∠DOM，
∴AM＝DM，
连接MO并延长交AD于H，则∠MHA＝∠MHD＝90°，
设MH与BC交于点R，连接AR，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形，
∴∠BRH＝∠ARH＝45°
∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACR＝∠CBE，
∴△ACR≌△CBE（AAS），
∴CR＝BE＝ED，
作EQ⊥MN于Q，则∠EQN＝∠EQM＝90°，
连接OE，则OE垂直平分BD，
∴OE∥AD∥MN，
∴四边形OEQM是矩形，
∴OM＝EQ，OE＝MQ，
延长DB交MN于点P，
∵∠PBN＝∠EBD＝45°，
∴∠BNP＝45°，
∴△EQN是等腰直角三角形，
∴EQ＝QN＝EN＝13，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OM═13，AB＝2OA＝26，
∴BC＝OC＝26，
∵MN＝AB＝20，
∴OE＝MQ＝MN﹣QN＝20﹣13，
∵∠ORE＝45°，∠EOR＝90°，
∴△OER是等腰直角三角形，
∴RE＝OE＝14，
设BE＝CR＝x，则CE＝14+x，
在Rt△CBE中：BC2＝CE2+BE8，
∴262＝（x+14）2+x5，解得x＝10，
∴CD＝CR+RE+DE＝10+14+10＝34．
25．解：（1）∵OA＝2，OB＝OC＝6，
∴A（﹣4，0），0），6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），
把C点的坐标代入可得5＝﹣12a，
解得a＝．
∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣8）＝﹣x3+2x+6；
∴D（5，8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，﹣x2+7x+6），
则FG＝|﹣x2+2x+3|，
∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴．
∵B（6，0），4），
∴E（2，0），DE＝6，
∴BG＝6﹣x，
∴，
当点F在x轴上方时，有，
解得x＝﹣3或x＝6（舍去），
此时F点的坐标为（﹣1，），
当点F在x轴下方时，有，
解得x＝﹣3或x＝6（舍去），
此时F点的坐标为（﹣7，），
综上可知F点的坐标为（﹣5，）或（﹣6，）；
（3）如图2，设对角线MN，
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
QO′＝MO′＝PO′＝NO′，PQ⊥MN，
设Q（2，2n），n），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+7x+6的图象上．
∴n＝﹣（2﹣n）2+8（2﹣n）+6，
解得n＝﹣8+或n＝﹣1﹣，
∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2）或（2）．
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