2021年江苏省无锡市惠山区中考数学一模试卷

这是一份2021年江苏省无锡市惠山区中考数学一模试卷，共30页。

A．B．C．2D．﹣2
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a6B．2a+3a＝5a2C．a8÷a4＝a2D．a2•a3＝a6
3．（3分）下面4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则这个圆锥的全面积是（ ）
A．60πcm2B．96πcm2C．132πcm2D．168πcm2
6．（3分）现有一数据：3，4，5，5，6，6，6，7，则下列说法正确的是（ ）
A．众数是5和6B．众数是5.5
C．中位数是5.5D．中位数是6
7．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
8．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（ ）
A．3.5B．2.5C．2D．1.2
10．（3分）如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2＝10，则k的值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应的位置）
11．（2分）分解因式：2a2﹣8＝ ．
12．（2分）2020年12月9日世卫组织公布，全球新冠肺炎确诊病例超6810万例，请用科学记数法表示6810万例为 例．
13．（2分）函数中自变量x的取值范围是 ．
14．（2分）某个函数具有性质：当x＜0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是 （只要写出一个符合题意的答案即可）．
15．（2分）已知一个多边形的内角和与外角和之比是3：2，则这个多边形的边数为 ．
16．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝100°，则∠A+∠C＝ ．
17．（2分）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于 ．
18．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为 ．
三．解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）+（）﹣1﹣cs60°
（2）（2x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）
20．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0；
（2）解不等式组：．
21．（8分）已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，DE＝BF．求证：
（1）AD＝BC；
（2）AE∥CF．
22．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取 名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？
23．（8分）从2021年起，湖南省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率 ．
24．（6分）在四边形ABCD中，P为CD边上一点，且△ADP∽△PCB，分别在图①和图②中用尺规作出所有满足条件的点P．（保留作图轨迹，不写作法）
（1）如图①，四边形ABCD是矩形；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝60°．
25．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
26．（10分）“夕阳红”养老院共有普通床位和高档床位共500张．已知今年一月份入住普通床位老人300人，入住高档床位老人90人，共计收费51万元；今年二月份入住普通床位老人350人，入住高档床位老人100人，共计收费58万元．
（1）求普通床位和高档床位每月收费各多少元？
（2）根据国家养老政策规定，为保障普通居民的养老权益，所有入住高档床位数不得超过普通床位数的三分之一；另外为扶持养老企业发展国家民政局财政对每张入住的床位平均每年都是给予养老院企业2400元的补贴．经测算，该养老院普通床位的运营成本是每月1200元/张，入住率为90%；高档床位的运营成本是每月2000元/张，入住率为70%．问该养老院应该怎样安排500张床的普通床位和高档床位数量，才能使每月的利润最大，最大为多少元？（月利润＝月收费﹣月成本+月补贴）
27．（10分）[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 ；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．
28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx的图象经过点A（﹣4，0），顶点为B，一次函数y＝x+2的图象交y轴于点M，P是抛物线上一点，点M关于直线AP的对称点N恰好落在抛物线的对称轴直线BH上（对称轴直线BH与x轴交于点H）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是E，连接OG，点F是线段OG上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形BDEF是正方形，求点G的坐标．
2021年江苏省无锡市惠山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．）
1．（3分）的绝对值是（ ）
A．B．C．2D．﹣2
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣的绝对值是．
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a6B．2a+3a＝5a2C．a8÷a4＝a2D．a2•a3＝a6
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、（a3）2＝a6，故此选项正确；
B、2a+3a＝5a，故此选项错误；
C、a8÷a4＝a4，故此选项错误；
D、a2•a3＝a5，故此选项错误；
故选：A．
3．（3分）下面4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故正确．
故选：D．
4．（3分）下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据图中的主视图解答即可．
【解答】解：A、的主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，
B、的主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
C、的主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
D、的主视图是第一层两个小正方形，第二层左一个小正方形，
故选：A．
5．（3分）已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则这个圆锥的全面积是（ ）
A．60πcm2B．96πcm2C．132πcm2D．168πcm2
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可利用扇形的面积公式出圆锥的侧面积，然后把侧面积加上底面积得到它的全面积．
【解答】解：根据题意，这个圆锥的全面积＝×2π×6×10+π×62＝60π+36π＝96π（cm2）．
故选：B．
6．（3分）现有一数据：3，4，5，5，6，6，6，7，则下列说法正确的是（ ）
A．众数是5和6B．众数是5.5
C．中位数是5.5D．中位数是6
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】解：数据：3，4，5，5，6，6，6，7的众数是6、中位数是＝5.5，
故选：C．
7．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故选：D．
8．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角
【分析】根据矩形和菱形的性质得出即可．
【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：B．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（ ）
A．3.5B．2.5C．2D．1.2
【分析】连接OC，由垂径定理得OC⊥AB，再由圆周角定理得点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定E（0，﹣3），D（4，0），则DE＝5，然后证△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH的长，得MP、NH的长，当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，然后计算出S△NED和S△MED得到S的范围，即可求解．
【解答】解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE＝＝5，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝，
∴MP＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝，
∴S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，
设△CDE面积为S，
当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，
∴S的范围为2≤S≤7，
∴△CDE面积的最小值为2．
故选：C．
10．（3分）如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2＝10，则k的值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
【分析】先利用函数图象“上加下减”的平移规律，得出直线l的方程为y＝x﹣b，与反比例函数联立消去y后，得到关于x的方程，整理后得到x2＝bx+k，并令直线l方程中y＝0，求出x的值，确定出B的坐标，得出OB2，设出A的坐标，利用勾股定理表示出OA2，化简OA2﹣OB2＝2k，由OA2﹣OB2＝10，即可求出k的值．
【解答】解：直线y＝x向下平移b个单位后得直线l：y＝x﹣b，
∴B（b，0），
∵l与函数y＝（x＞0）相交于点A，
∴x﹣b＝，则x2﹣bx﹣k＝0．
∴x2＝bx+k．
设点A的坐标为（x，x﹣b），
∵OA2﹣OB2＝x2+（x﹣b）2﹣b2＝2x2﹣2bx＝2（bx+k）﹣2bx＝2k，
∴2k＝10，
∴k＝5．
故选：A．
二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应的位置）
11．（2分）分解因式：2a2﹣8＝ 2（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4），
＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
12．（2分）2020年12月9日世卫组织公布，全球新冠肺炎确诊病例超6810万例，请用科学记数法表示6810万例为 6.81×107 例．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：6810万＝68100000＝6.81×107．
故选：6.81×107．
13．（2分）函数中自变量x的取值范围是 x≥﹣5 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：x+5≥0，解不等式求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+5≥0，
解得x≥﹣5．
14．（2分）某个函数具有性质：当x＜0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是 y＝2x （只要写出一个符合题意的答案即可）．
【分析】由正比例函数当k＞0时，y随x增大而增大即可解决问题．
【解答】解：∵y随x的增大而增大，
∴可设函数表达式为：y＝2x．
15．（2分）已知一个多边形的内角和与外角和之比是3：2，则这个多边形的边数为 5 ．
【分析】设这个多边形的边数为n，依据多边形的内角和与外角和之比是3：2，即可得到n的值．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意得：
（n﹣2）180°＝×360°，
解得n＝5．
故这个多边形的边数为5．
故答案为：5．
16．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝100°，则∠A+∠C＝ 220° ．
【分析】连接AB，根据切线长定理得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣100°）＝40°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论．
【解答】解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝100°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣100°）＝40°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+40°＝220°，
故答案为：220°．
17．（2分）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于 ．
【分析】利用相似三角形的性质求出BC长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF的长即可．
【解答】解：如图所示：
∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，
∴AC2＝BC•AD，
∵AC＝，AD＝，
∴CB＝2，
∵△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴CB∥AD，
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，
∴∠AFC＝90°，
∵CB∥AD，
∴∠FAE＝∠AFC＝90°，
∵AC＝，
∴AF＝，
∵AD＝，E为AD中点，
∴AE＝，
∴EF＝＝＝．
故答案为：．
18．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为 ．
【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到ED和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．
【解答】解：作CH⊥AB于点H，
∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，
∴CH＝2，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴，
∵DF＝DE，
∴＝，
∴，
∴，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝2，
∴GO＝，
∴EG的最小值是2＝，
故答案为：．
三．解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）+（）﹣1﹣cs60°
（2）（2x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）
【分析】（1）原式利用算术平方根定义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝2+2﹣＝3；
（2）原式＝4x2﹣4xy+y2﹣x2+y2＝3x2﹣4xy+2y2．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）可用配方法求解；
（2）先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝3+4，
（x﹣2）2＝7，
x﹣2＝±，
解得x1＝2﹣，x2＝2+；
（2），
解不等式①得x＜3，
解不等式②得x≥﹣1，
故不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
21．（8分）已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，DE＝BF．求证：
（1）AD＝BC；
（2）AE∥CF．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ADB＝∠CBD，根据全等三角形的判定得出△ADB≌△CBD，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）求出∠EDA＝∠FBC，根据全等三角形的判定得出△EDA≌△FBC，根据全等三角形的性质得出∠E＝∠F即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥CB，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△ADB和△CBD中
∴△ADB≌△CBD（AAS），
∴AD＝BC；
（2）∵∠ADB＝∠CBD，∠ADB+∠EDA＝180°，∠CBD+∠FBC＝180°，
∴∠EDA＝∠FBC，
在△EDA和△FBC中
∴△EDA≌△FBC（SAS），
∴∠E＝∠F，
∴AE∥CF．
22．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取 50 名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为 72° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？
【分析】（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），D类所对应的扇形圆心角的大小360°×＝72°；
（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），据此补充条形统计图；
（3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×＝690（人）．
【解答】解：（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），
D类所对应的扇形圆心角的大小360°×＝72°，
故答案为50，72°；
（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），
条形统计图补充如下
（3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×＝690（人），
答：该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人；
23．（8分）从2021年起，湖南省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率 ．
【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，
因此选择生物的概率为．
故答案为：；
（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有12种等可能的结果数，其中选中“化学”“生物”的有2种，
则P（化学生物）＝＝．
故答案为：．
24．（6分）在四边形ABCD中，P为CD边上一点，且△ADP∽△PCB，分别在图①和图②中用尺规作出所有满足条件的点P．（保留作图轨迹，不写作法）
（1）如图①，四边形ABCD是矩形；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝60°．
【分析】（1）以AB为直径作圆，与线段CD的交点即为所求的点．
（2）以AB为边向下作等边三角形，作这个等边三角形的外接圆，圆与线段CD的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图①中，点P即为所求；
（2）如图②中，点P即为所求．
25．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB＝90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）在直角三角形OBD中，设OF＝OD＝x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．
【解答】解：（1）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（2）设OF＝OD＝x，则OB＝OF+BF＝x+2，
根据勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，即（x+2）2＝x2+12，
解得：x＝2，即OD＝OF＝2，
∴OB＝2+2＝4，
∵Rt△ODB中，OD＝OB，
∴∠B＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴S扇形DOF＝＝，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF＝×2×2﹣＝2﹣．
故阴影部分的面积为2﹣．
26．（10分）“夕阳红”养老院共有普通床位和高档床位共500张．已知今年一月份入住普通床位老人300人，入住高档床位老人90人，共计收费51万元；今年二月份入住普通床位老人350人，入住高档床位老人100人，共计收费58万元．
（1）求普通床位和高档床位每月收费各多少元？
（2）根据国家养老政策规定，为保障普通居民的养老权益，所有入住高档床位数不得超过普通床位数的三分之一；另外为扶持养老企业发展国家民政局财政对每张入住的床位平均每年都是给予养老院企业2400元的补贴．经测算，该养老院普通床位的运营成本是每月1200元/张，入住率为90%；高档床位的运营成本是每月2000元/张，入住率为70%．问该养老院应该怎样安排500张床的普通床位和高档床位数量，才能使每月的利润最大，最大为多少元？（月利润＝月收费﹣月成本+月补贴）
【分析】（1）设普通床位和高档床位每月收费为x，y元，根据题意列出方程组解答即可；
（2）设安排普通床位a张，根据题意列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设普通床位和高档床位每月收费为x，y元，
可得：，
解得：，
答：普通床位和高档床位每月收费分别为800元，3000元；
（2）设安排普通床位a张，可得：0.7（500﹣a）≤0.9×a×，
解得：a≥350，
每张床位月平均补贴＝2400÷12＝200元，
设月利润总额为w，根据题意可得：w＝90%×800a+70%×3000（500﹣a）﹣90%×1200a﹣70%×2000（500﹣a）+200a×90%+200（500﹣a）×70%＝﹣1020a+420000，
∵﹣1020＜0，
∴w随着a的增大而减小，要使w取得最大值，a应该取最小值，
∴当a＝350时，w有最大值＝﹣1020×350+420000＝63000，
答：应该安排普通床位350张，高档床位150张，才能使每月的利润最大，最大为63000元．
27．（10分）[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 AM＝BM ；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可．
（3）①证明△BCM∽△BAC，推出＝＝，由此即可解决问题．
②证明△PFA′∽△MFC，推出＝，因为CM＝5，推出＝即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，
∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分线段BC，
∴CN＝BN，
∵∠MNB＝∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∵CN＝BN，
∴AM＝BM．
故答案为AM＝BM．
（2）如图②中，
∵CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B，
由题意MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM，
∴∠B＝∠MCB，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣＝，
∴＝＝．
（3）①如图③中，
由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴＝＝
∴＝，
∴BM＝4，
∴AM＝CM＝5，
∴＝，
∴AC＝．
②如图③﹣1中，
∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，
∴△PFA′∽△MFC，
∴＝，
∵CM＝5，
∴＝，
∵点P在线段OB上运动，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，
∴≤PA′≤，
∴≤≤．
28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx的图象经过点A（﹣4，0），顶点为B，一次函数y＝x+2的图象交y轴于点M，P是抛物线上一点，点M关于直线AP的对称点N恰好落在抛物线的对称轴直线BH上（对称轴直线BH与x轴交于点H）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是E，连接OG，点F是线段OG上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形BDEF是正方形，求点G的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）分两种情形：如图1中，当点P在第一象限时，如图2中，当点P在第三象限时，想办法求出直线AP的解析式，构建方程组确定交点坐标即可．
（3）如图3中，设G（m，m2+2m），过点F作FN⊥GE于N，过点F作FP⊥BH于P，设直线BH交GE于Q，设GE交y轴于K．证明四边形PFNQ是正方形，设正方形边长为a，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx的图象经过点A（﹣4，0），
∴0＝8﹣4b，
∴b＝2，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x．
（2）如图1中，当点P在第一象限时，
由题意A（﹣4，0），H（﹣2，0），M（0，2），
∵点M，N关于AP对称，
∴AN＝AM＝＝2，
∴NH＝＝4，
∴N（﹣2，4），
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+2，
∵PA⊥MN，
∴直线PA的解析式为y＝x+4，
由，解得或，
∴P（2，6）．
如图2中，当点P在第三象限时，同法可得N（﹣2，﹣4），
∴直线MN的解析式为y＝3x+2，
∵AP⊥MN，
∴直线AP的解析式为y＝﹣x﹣，
由，解得或﹣，
∴P（﹣，﹣），
综上所述，满足条件的点P坐标为（2，6）或（﹣，﹣）．
（3）如图3中，设G（m，m2+2m），过点F作FN⊥GE于N，过点F作FP⊥BH于P，设直线BH交GE于Q，设GE交y轴于K．
∵四边形EFBD是正方形，
∴EF＝BF，∠EFB＝90°，
∵∠ENF＝∠FPB＝90°，∠PNQ＝∠FPQ＝∠NQP＝90°，
∴四边形PFNQ是矩形，
∴∠NFP＝∠EFB，
∴∠EFN＝∠BFP，
∴△ENF≌△BPF（AAS），
∴PF＝FN，EN＝BP，
∴四边形PFNQ是正方形，设PF＝FN＝NQ＝PQ＝a，
∵FN∥OK，
∴＝，
∴＝，
∴GN＝﹣，
∵NE＝PB，
∴﹣2﹣m+a＝﹣4﹣2m+＝m2+2m﹣a+2，
解得m＝﹣6或﹣4（舍弃），
∴G（﹣6，6）．