2023年江苏省无锡市惠山区重点中学中考数学三模试卷

2023年江苏省无锡市惠山区重点中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  分式中的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如表所示，该食堂销售午餐盒饭的平均价格是(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

5.  底面半径为，高为的圆锥的侧面展开图的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  正八边形的每一个内角都是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的直径，，是的切线，是的中点，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  菱形具有而矩形不一定具有的性质是(    )

A. 对边平行 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角互补

9.  已知一次函数的图象上存在两个点，这两个点关于轴的对称点恰好在反比例函数的图象上，则的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在四边形中，，，，，点从点出发，沿以的速度运动；点从点出发，沿以的速度运动，直到与相遇就停止运动在运动过程中，四边形的面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  分解因式：______．

12.  我市年总量为亿元，这个数据用科学记数法可表示为        ．

13.  二元一次方程组的解是        ．

14.  数学中很多图形拥有对称之美，请你在所学习的几何图形中，写出一个既是中心对称图形又是轴对称图形的图形：        ．

15.  下列命题中，真命题有        请填写命题前的标号
有公共顶点的两个角是对顶角；
三角形中最大的内角是直角；
有一个角是直角的菱形是正方形；
两直线平行，同旁内角互补．

16.  已知中，，，，则        ．

17.  如图，某游乐场的大型摩天轮的半径是，摩天轮的中心离地面距离为，摩天轮旋转周需要小明乘坐摩天轮从底部处出发开始观光，已知处离地面的距离为，小明第一次到达处需要        ．

18.  如图，在中，，，，点、分别在、上，点关于的对称点落在上，设若，则        ；设，请写出关于的函数表达式：        ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
解方程：；
解不等式组：．

21.  本小题分
如图，、、、在一条直线上，，，．
求证：≌；
连接、，求证四边形为平行四边形．

22.  本小题分
某校研究性学习小组根据某居民家庭全年消费支出的统计数据，制作了年消费支出条形图单位：元和预计年消费支出扇形图如图预计年该居民家庭全年消费支出比年消费支出提高解答下列问题：

年的“其他类消费支出”与年的“其他类消费支出”哪一年高？
预计年“养生支出”为元，则        ．
预计年“教育支出”比年减少多少元？

23.  本小题分
袋中有白球红球，袋中有白球红球，某人第一次从袋中任意摸出一个球，放入袋中，再将袋中的球摇匀后第二次从袋中任意摸出一个球，放入袋．
第一次摸出的是白球的概率是        ；
经过二次摸球后，袋中有白球红球的概率请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程
 

24.  本小题分
某水果店出售一种水果，每箱定价元时，每周可卖出箱试销发现：每箱水果每降价元，每周可多卖出箱；每涨价元，每周将少卖出箱已知每箱水果的进价为元，每周每箱水果的平均损耗费为元．
若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？
根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？

25.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，为的中点，交于点，．
求证：∽；
求线段的长．

26.  本小题分
“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用如图，点把线段分成两部分，如果，那么称线段被点黄金分割，点为线段的黄金分割点与的比称为黄金比，它们的比值为请在图中完成相应的问题：
已知，，点在边上，．
请在边上用无刻度的直尺和圆规作出点，使得与的比为黄金比；不写作法，保留作图痕迹
的面积        ．

 

27.  本小题分
如图，矩形中，，，将绕点旋转到位置，设交直线于点．
当点恰好落在边上时，求与矩形重叠部分的面积；
如图，当点、、恰好在一直线上时，求的长度．

 

28.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于点、在左侧，点，点在对称轴上．
求、两点坐标；
设直线与抛物线的另一个交点为，求点坐标；
设关于直线、的对称点分别为、，求以为直径的圆面积的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可得结果．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，
解得，
故选：．
由分母不等于列式计算即可．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义时，分母不等于．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，幂的乘方，积的乘方法则，同底数幂的乘，除法法则分别判断即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：

元．
该食堂销售午餐盒饭的平均价格为元．
故选：．
根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．
本题考查的是加权平均数的求法，本题易出现的错误是求，，这三个数的平均数，解题的关键是掌握求加权平均数的方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，高为，
圆锥的母线为，
圆锥的侧面展开图的面积为，
故选：．
先求出圆锥的母线，再根据圆锥的侧面展开图的面积列式计算即可．
本题考查圆锥的计算，解题的关键是求出圆锥的母线和掌握圆锥的侧面展开图的面积公式．
 

6.【答案】 

【解析】解：正八边形的内角和为：，
每一个内角的度数为．
故选：．
首先根据多边形内角和定理：且为正整数求出内角和，然后再计算一个内角的度数．
本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：且为整数．
 

7.【答案】 

【解析】解：为中点，是的中点，
是的中位线，
，
是的直径，是的切线，
，
，
故选：．
由为中点，是的中点，可得，根据是的切线和勾股定理即可求得答案．
本题考查圆的切线，涉及三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握圆的切线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：对边平行，对角线互相平分是矩形，菱形都具有的性质，故A，不符合题意，
对角互补是矩形具有，而菱形不具有的性质，故D不符合题意；
菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故C符合题意；
故选：．
根据矩形，菱形的性质即可解答．
本题考查矩形，菱形的性质，解题的关键是掌握矩形对角线相等，菱形对角线互相垂直．
 

9.【答案】 

【解析】解：设一次函数的图象上的点坐标为，它关于轴的对称点坐标为，
根据题意，有两个解，即有两个不相等的实数根，
，即，
解得，
，
，
故选：．
设一次函数的图象上的点坐标为，可知有两个解，即有两个不相等的实数根，再由一元二次方程根的判别式列不等式可解得答案．
本题考查一次函数，反比例函数图象上点坐标的特征，涉及一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意，把所求问题转化为判断一元二次方程根的情况．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，
作于，作于，
，
，
，
四边形是平行四边形，
▱是矩形，
，，
，
≌，
，
，，
梯形的面积，
如图，
当点在上时，
当点和点重合时，四边形的面积最大．此时，
四边形的面积，
如图，
当点在上，点在上时，设四边形的面积为，
，
，
，
当时，最大，
因为，
故选：．
作于，作于，可求得，，的值，进而求得四边形的面积；当点在上时，当点和点重合时，四边形的面积，当点在上，点在上时，设四边形的面积为，求得，求得当时，最大，进一步得出结果．
本题考查了解直角三角形，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据科学记数法定义，把写出的形式即可．
本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法定义，确定中的和．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
得：
，
，
把代入得：
，
，
．
故答案为：．
用加减消元法先消去，把二元转化为一元，即可解得方程组．
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法，把“二元“转化为“一元“．
 

14.【答案】正方形，矩形，菱形，圆答案不唯一，写出一个即可． 

【解析】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的图形较多，比例：正方形，矩形，菱形，圆；
故答案为：正方形，矩形，菱形，圆答案不唯一，写出一个即可．
写出有对称中心和对称轴的一个图形即可．
本题考查中心对称图形和轴对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的特征．
 

15.【答案】 

【解析】解：有公共顶点的两个角不一定是对顶角，故是假命题；
三角形中最大的内角不一定是直角，故是假命题；
有一个角是直角的菱形是正方形，故是真命题；
两直线平行，同旁内角互补，故是真命题；
真命题有：；
故答案为：．
根据对顶角定义，三角形分类，正方形判定，平行线性质逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
 

16.【答案】 

【解析】解：过作于，如图：

，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
解得负值舍去，
故答案为：．
：过作于，由，得，而，知，由勾股定理有，即可解得答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是掌握含，角的直角三角形三边的关系．
 

17.【答案】 

【解析】解：过作地面所在直线的垂线，垂足为，于，如图：

根据题意，，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
小明第一次到达处需要．
故答案为：．
过作地面所在直线的垂线，垂足为，于，证明四边形是矩形，由锐角三角函数定义求出，得，再列式计算可得答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是读懂题意，画出图形，求出所对的圆心角．
 

18.【答案】   

【解析】解：连接，，如图：

点关于的对称点落在上，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得或舍去，
若，则，过作于，如图：

，，，
，
，
，，
∽，
，即，
，，
，
在中，
，
．
故答案为：，．
连接，，由点关于的对称点落在上，，可得，四边形是菱形，即知，而，在中，可得，解得；若，过作于，由∽，可得，，在中，有，变形可得答案．
本题考查勾股定理，涉及直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，利用勾股定理列方程解决问题．
 

19.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先算负整数指数幂，去绝对值，把特殊角三角函数值代入，再算加减即可；
先通分，根据同分母分式相加的法则计算，再约分即可．
本题考查实数运算和分数化简，解题的关键是掌握实数，分式的相关的运算法则．
 

20.【答案】解：，
，
或，
，；
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为． 

【解析】用配方法解方程即可；
求出每个不等式的解集，再找公共解集即可．
本题考查解一元二次方程和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握配方法和求公共解集的方法．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
≌，
如图：

由知≌，
，，
，
四边形为平行四边形． 

【解析】由可证≌；
结合，用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可解答．
本题考查全等三角形判定与性质和平行四边形判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和平行四边形判定定理．
 

22.【答案】 

【解析】解：预计年该居民家庭全年消费支出比年消费支出提高，
年该居民家庭全年消费支出为元，
年的“其他类消费支出”是元，
而，
年的“其他类消费支出”高；
由知，年该居民家庭全年消费支出为元，
，
，
故答案为：；
预计年“教育支出”为元，
元，
预计年“教育支出”比年减少元．
根据“预计年该居民家庭全年消费支出比年消费支出提高“求出预计年该居民家庭全年消费支出，再列式计算年的“其他类消费支出”，比较可得答案；
由年“养生支出”为元，列式算出年“养生支出”的百分比，即可得到答案；
先求出年“教育支出”，再用年“教育支出”减去年“教育支出”即可．
本题考查扇形统计图和条形统计图，解题的关键是读懂题意，能从统计图中获取有用的信息．
 

23.【答案】 

【解析】解：袋中有白球红球，
第一次从袋中任意摸出一个球，摸出的是白球的概率是；
故答案为：；


由树状图可知，共有种等可能结果，满足袋中有白球红球第一次摸到白球，第二次摸到红球的结果有种，
经过二次摸球后，袋中有白球，红球的概率为．
由概率公式直接可得答案；
画树状图，列出所有可能，再用概率公式可得答案．
本题考查列表树状图求概率，解题的关键是掌握画树状图，列出所有可能的情况．
 

24.【答案】解：，元，
若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为元；
若每箱水果降价元，这种水果的每周销售利润为元，
根据题意得：，
由二次函数性质可知，当时，的最大值为元；
若每箱水果涨价元，这种水果的每周销售利润为元，
根据题意得：，
由二次函数性质可知，当时，的最大值为元；
综上所述，当每箱水果定价为元时，这种水果的每周销售利润最大为元． 

【解析】根据已知列式计算即可；
分两种情况：若每箱水果降价元，这种水果的每周销售利润为元，可得：，若每箱水果涨价元，这种水果的每周销售利润为元，有，由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，分情况列出函数关系式．
 

25.【答案】证明：是的中点．
，
，
，
∽；
解：由知，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，

．
答：线段的长为． 

【解析】由是的中点，可得，又，故∽；
根据，为的直径，可得，又，可得，，从而．
本题考查相似三角形的性质与判定，涉及圆周角定理，勾股定理等的应用，解题的关键是掌握相似三角形判定定理．
 

26.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
可得，
先作线段的垂直线平分线，交线段于点，再过点作的垂线，
以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，
可得，则，
然后以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，
最后以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，
此时．
如图，点即为所求．

过点作于点，
在中，，
的面积为．
故答案为：．
先作线段的垂直线平分线，交线段于点，再过点作的垂线，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，然后以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，最后以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，此时点即为所求．
过点作于点，在中，可得，再利用三角形面积公式可得答案．
本题考查作图应用与设计作图、黄金分割、勾股定理、三角形的面积，理解题意，熟练掌握线段垂直平分线和垂线的作图方法是解答本题的关键．
 

27.【答案】解：作于，如图：

绕点旋转到，
，，
，
，，
∽，
即，
，
，
，
；
与矩形重叠部分的面积是；
作，如图：

绕点旋转到，
，，，，
，
，
，
，，
∽，
，
，即，
设，
，
化简得：，
解得：舍去或，
答：的长度为． 

【解析】作于，证明∽，可得，，即得，而，故；
作，由绕点旋转到，得，，，，用面积法可得，证明∽，有，故C，设，故，即可得的长度为．
本题考查矩形的性质，涉及旋转变换，相似三角形的判定与旋转，解题的关键是掌握旋转的旋转，能熟练应用相似三角形判定定理．
 

28.【答案】解：在中，
令得：，
解得或，
，；
设直线对应的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得
直线对应的函数表达式为，
联立，
解得或，
；
设交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线交于，连接，，过作轴于，过作于，如图：

由得抛物线对称轴为直线，
在中，令得，
，
，
，
，关于对称，
，，
，是等腰直角三角形，
设，，则，
，
，
，关于对称，
，为的中点，
，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
，
为的中点，
，
由，可得直线解析式为，
把代入得：
，
，
，
，
，
的最小值为，
以为直径的圆面积最小为，
答：以为直径的圆面积最小为 

【解析】在中，令可解得，；
用待定系数法求出直线对应的函数表达式为，再联立解析式可得；
设交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线交于，连接，，过作轴于，过作于，求出，由，关于对称，可得，是等腰直角三角形，设，，则，，证明∽，即得，故F，，把代入可得，从而，得，再由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及函数图形三点坐标的特征，待定系数法，相似三角形判定与性质，对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．