2019年江苏省无锡市惠山区中考二模数学试卷

这是一份2019年江苏省无锡市惠山区中考二模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 4 的倒数是
A. 4B. 14C. −14D. −4

2. 函数 y=xx−2 中自变量 x 的取值范围是
A. x≠2B. x≠0
C. x≠0 且 x≠2D. x>2

3. 下列运算中，正确的是
A. x3+x3=x6B. x3⋅x6=x18C. x23=x5D. x2÷x=x

4. 下列图案属于轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 某校九年级（1）班全体学生 2015 年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：
成绩分35394244454850人数人2566876
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是
A. 该班一共有 40 名同学
B. 该班学生这次考试成绩的众数是 45 分
C. 该班学生这次考试成绩的中位数是 45 分
D. 该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分

6. 一个多边形的内角和是 1800∘，则这个多边形是 边形．
A. 9B. 10C. 11D. 12

7. 如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为
A. 15π cm2B. 51π cm2C. 66π cm2D. 24π cm2

8. 如图，A，D 是 ⊙O 上的两个点，BC 是直径，若 ∠D=32∘，则 ∠AOC=
A. 64∘B. 58∘C. 72∘D. 55∘

9. 如图，在直角坐标系中，已知点 A−3,0，B0,4，将 △OAB 连续向右做无滑动的翻滚，翻滚三次后得到三角形可看作由原三角形向右平移
A. 9 个单位长度B. 12 个单位长度C. 15 个单位长度D. 7 个单位长度

10. 已知直线 y=−x+7a+1 与直线 y=2x−2a+4 同时经过点 P，点 Q 是以 M0,−1 为圆心，MO 为半径的圆上的一个动点，则线段 PQ 的最小值为
A. 103B. 163C. 85D. 183

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 分解因式：a3−a= ．

12. 月球的直径约为 3500000 米，将 3500000 这个数用科学记数法表示应为 ．

13. 已知 m，n 是关于 x 的方程 x2+2x−1=0 的两个不相等的实数根，则 m+n= ．

14. 若点 A1,−6 、点 Bm,3 在同一反比例函数的图象上，则 m 的值为 ．

15. 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”，这是个 命题．（填“真”、“假”）

16. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点处，则 sin∠ABC 的值等于 ．

17. 当 −1≤x≤3 时，不等式 mx+4>0 始终成立，则 m 的取值范围是 ．

18. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B=90∘，∠D=45∘，AB=BC=2，点 E 为四边形 ABCD 内部一点，且满足 CE2−AE2=2BE2，则点 E 在运动过程中所形成的图形的长为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：
（1）2−10−−22+∣−6∣；
（2）a−b2−ba+b．

20. 解答下列问题．
（1）解方程：1−xx−3=13−x−2；
（2）解不等式组：x−1>2x,12x+3<−1.

21. 如图，已知 AC，BD 相交于点 O，AD=BC，AC=BD，求证；OA=OB．

22. 家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调査．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是 ．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；
②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；
③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调査发现，接受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
① m= ，n= ；
②补全条形统计图；
③扇形统计图中扇形C的圆心角度数是 ；
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有 180 万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．

23. 甲、乙两人要某风景区游玩，每天某一时段开往该景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不清楚这三辆车的舒适程度，也不知道汽车开来的顺序，两人采用了不同的乘车方案：
甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车辆的舒适状况，如果第二辆车状况比第一辆好，他就上第二辆车，如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．这三辆车的舒适程度为上、中、下三等，请解决下面的问题：
（1）请用画树形图或列表的方法分析这三辆车出现的先后顺序，写出所有可能的结果；（用上中下表示）
（2）分析甲、乙两人采用的方案，谁的方案使自己坐上上等车的可能性大，说明理由．

24. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠CAB=60∘，点 O 为斜边 AB 上一点，且 OA=2，以 OA 为半径的 ⊙O 与 BC 相切于 D，与 AC 交于点 E，连接 AD．
（1）求线段 CD 的长；
（2）求 ⊙O 与 Rt△ABC 重叠部分的面积．（结果保留准确值）

25. 如图，已知矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，P 是线段 BC 上的一动点．
（1）请用不带刻度的直尺和圆规，按下列要求作图：（不要求写作法，但保留作图痕迹），在 CD 边上确定一点 E，使得 ∠DEP+∠APB=180∘．
（2）在（1）的条件下，点 P 从点 B 移动到点 C 的过程中，对应点 E 随之运动，则移动过程中点 E 经过的总路程长为 ．

26. 某店因为经营不善欠下 38000 元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店 30000 元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）已知该店代理的某品牌服装的进价为每件 40 元，该品牌服装日的售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．
（1）求日销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式．
（2）当销售价为多少元时，该店的日销售利润最大．
（3）该店每天支付工资和其它费用共 250 元，该店能否在一年内还清所有债务．

27. 如图，y=−x2+mx+3m>0y 轴交于点 C，与 x 轴的正半轴交于点 k，过点 C 作 CB∥x 轴交抛物线于另一点 B，点 D 在 x 轴的负半轴上，连接 BD 交 y 轴于点 A，若 AB=2AD．
（1）用含 m 的代数式表示 BC 的长；
（2）当 m=2 时，判断点 D 是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）过点 B 作 BE∥y 轴交 x 轴于点 F，延长 BF 那至 E，使得 EF=12BC，连接 DE 交 y 轴于点 G，连接 AE 交 x 轴于点 M，若 △DOG 的面积与 △MFE 的面积之比为 1:2，则求出抛物线的解析式．

28. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，∠ABC=60∘，AB=4，BC=m，E 为 BC 边上的动点，连接 AE，作点 B 关于直线 AE 的对称点 F．
（1）若 m=6，
①当点 F 恰好落在 ∠BCD 的平分线上时，求 BE 的长；
②当 E，C 重合时，求点 F 到直线 BC 的距离；
（2）当点 F 到直线 BC 的距离 d 满足条件：23−2≤d≤23+4，求 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】4 的倒数是 14．
2. A【解析】由题意得 x−2≠0，
解得 x≠2．
3. D【解析】x3+x3=2x3，
∴ A错误；
x3⋅x6=x3+6=x9，
∴ B错误；
x23=x2×3=x6，
∴ C错误；
x2÷x=x2−1=x，
∴ D正确．
4. A【解析】A、能找出一条对称轴，故A是轴对称图形；
B、不能找出对称轴，故B不是轴对称图形；
C、不能找出对称轴，故C不是轴对称图形；
D、不能找出对称轴，故D不是轴对称图形．
5. D
【解析】该班人数为：2+5+6+6+8+7+6=40，
得 45 分的人数最多，众数为 45，
第 20 和 21 名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：45+452=45，
平均数为：35×2+39×5+42×6+44×6+45×8+48×7+50×640=44.425．
故错误的为D．
6. D【解析】根据题意得：
n−2180=1800，
解得：n=12．
故选：D．
7. D【解析】由三视图，得：OB=3 cm，OA=4 cm，
由勾股定理，得 AB=32+42=5 cm，
圆锥的侧面积 12×6π×5=15πcm2，
圆锥的底面积 π×622=9πcm2，
圆锥的表面积 15π+9π=24πcm2．
8. A【解析】∵∠D=32∘，
∴∠B=∠D=32∘．
∴∠AOC=2∠B=64∘，
故选：A．
9. B【解析】∵ 点 B−3,0，A0,4，
∴OB=3，OA=4，
∴AB=32+42=5，
∵ 将 △OAB 连续向右做无滑动的翻滚，翻滚三次后回到原来的状态，
∴ 翻滚三次后得到三角形可看作由原三角形向右平移了 3+4+5=12 个单位，
故选：B．
10. C
【解析】解方程组 y=−x+7a+1,y=2x−2a+4 得 x=3a−1,y=4a+2.
∴P 点坐标为 3a−1,4a+2，
设 x=3a−1，y=4a+2，
∴y=43x+103，
即点 P 为直线 y=43x+103 上一动点，
设直线 y=43x+103 与坐标的交点为 A，B，如图，则 A−52,0，B0,103，
∴AB=522+1032=256，
过 M 点作 MP⊥ 直线 AB 于 P，交 ⊙M 于 Q，此时线段 PQ 的值最小，
∵∠MBP=∠ABO，
∴Rt△MBP≌Rt△ABO，
∴MP:OA=BM:AB，即 MP:52=133:256，
∴MP=135，
∴PQ=135−1=85，
即线段 PQ 的最小值为 85．
第二部分
11. aa+1a−1
【解析】a3−a=aa2−1=aa+1a−1.
12. 3.5×106
【解析】3500000=3.5×106．
13. −2
【解析】∵m，n 是关于 x 的方程 x2+2x−1=0 的两个不相等的实数根，
∴m+n=−2．
14. −2
【解析】设反比例函数解析式为 y=kx，则 xy=k，
∵ 点 A1,−6 、点 Bm,3 在同一反比例函数的图象上，
∴1×−6=3m，
解得，m=−2．
15. 假
【解析】对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误，是假命题．
16. 45
【解析】过点 D 作 AD⊥BC 于点 D．
由勾股定理可知：AB=5，AC=13，BC=25，
设 BD=x，
∴CD=25−x，
∴ 由勾股定理可知：5−x2=13−25−x2，解得：x=355，
∴ 由勾股定理可求出 AD=455，
∴sin∠ABC=ADAB=45．
17. −43【解析】令 y=mx，由不等式 mx+4>0 得到 y>−4，即在 −1≤x≤3 时，y>−4 恒成立．
①当 m>0 时，把 −1,−4 代入 y=mx，得 −4=−m，此时 m=4，则 0②当 m<0 时，把 3,−4 代入 y=mx，得 −4=3m，此时 m=−43，则 −43③当 m=0 时，得到：4>0，不等式 mx+4>0 始终成立．
综上所述，m 的取值范围是 −4318. 22π
【解析】如图，将 △ABE 绕点 B 顺时针旋转 90∘，得到 △BCF．
则 △EBF 是等腰直角三角形，EF=2BE，
∵CE2−AE2=2BE2，AE=CF，
∴CE2=CF2+EF2，
∴∠EFC=90∘，
∵∠EFB=45∘，
∴∠AEB=∠BFC=135∘，
∴ 点 E 的运动轨迹是弧 AB，圆心角 ∠AOB=90∘，
∵OA=OB，AB=2，
∴OA=OB=2，
∴ 点 E 在运动过程中所形成的图形的长 =90⋅π⋅2180=22π．
第三部分
19. （1） 2−10−−22+∣−6∣=1−4+6=3.
（2） a−b2−ba+b=a2−2ab+b2−ab−b2=a2−3ab.
20. （1） 去分母，得
1−x=−1−2x−3.
去括号，得
1−x=−1−2x+6.
解得
x=4.x=4
时，分母 x−3≠0，
故原分式方程的解为 x=4．
（2）
x−1>2x, ⋯⋯①12x+3<−1. ⋯⋯②
解不等式①，得
x<−1.
解不等式②，得
x<−8.∴
原不等式组的解集为 x<−8．
21. 在 △ABC 与 △BAD 中，AD=BC,AB=BA,BD=AC,
∴△ABC≌△BADSSS，
∴∠ABD=∠BAC，
∴OA=OB．
22. （1） ③
【解析】选取样本的方法最合理的一种是③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2） ① 20；6
②C类户数为：1000−80+510+200+60+50=100，
条形统计图补充如下：
③ 36∘
④ 180×10%=18（万户）．
答：若该市有 180 万户家庭，估计大约有 18 万户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【解析】①抽样调査的家庭总户数为：80÷8%=1000（户），
m%=2001000=20%，m=20，
n%=601000=6%，n=6．
③扇形统计图中扇形C的圆心角度数是 360∘×10%=36∘．
23. （1） 三辆车开来的先后顺序列表如表 1 所示：
顺序上、中、下上、下、中中、上、下中、下、上下、上、中下、中、上
表 1
所有可能的结果有 6 种．
（2） 列表如表 2 所示：
顺序甲乙上、中、下上下上、下、中上中中、上、下中上中、下、上中上下、上、中下上下、中、上下中
表 2
甲坐上上等车的概率 =26=13，
乙坐上上等车的概率 =36=12，
∴ 乙坐上上等车的可能性大．
24. （1） 连接 OD，如图 1 所示：
∵ 以 OA 为半径的 ⊙O 与 BC 相切于 D，
∴∠ODB=90∘，
∵OD=OA=2，∠C=90∘，∠CAB=60∘，
∴∠B=30∘，
∴OB=2OD=4，BD=3OD=23，
∴AB=OA+OB=6，
∴AC=12AB=3，
∴BC=3AC=33，
∴CD=BC−BD=3．
（2） 连接 OE，如图 2 所示：
则 OA=OE，
∵∠CAB=60∘，
∴△OAE 是等边三角形，
∴∠AOE=60∘，
∴∠EOG=120∘，
作 EF⊥OA 于 F，
则 OF=1，EF=3OF=3，
∴⊙O与Rt△ABC重叠部分的面积=△AOE的面积+扇形OEDG的面积=12×2×3+120π×22360=3+43π.
25. （1） 如图点 E 即为所求．
（2） 256
【解析】设 PB=x，EC=y，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=5，∠B=∠C=90∘，
∵∠APE=90∘，
∴∠APB+∠EPC=90∘，∠EPC+∠PEC=90∘，
∴∠APB=∠PEC，
∴△ABP∽△PCE，
∴ABPC=PBEC，
∴35−x=xy，
∴y=−13x2+53x=−13x−522+2512，
∵−13<0，
∴x=52 时，y 有最大值，最大值为 2512，
观察图象可知：当点 P 从 B 运动到 C 时，CE 的值从 0 增加到 2512，然后逐渐减小到 0，
∴ 点 E 的运动路径的长 =2×2512=256，
故答案为 256．
26. （1） 由图象可得，
当 40≤x<58 时，设 y=k1x+b1，代入得
60=40k1+b1,24=58k1+b1, 解得 k1=−2,b1=140.
∴y=−2x+14040≤x<58，
当 58≤x≤71 时，设 y=k2x+b2，代入得
24=58k2+b2,11=71k2+b2, 解得 k2=−1,b2=82,
∴y=−x+8258≤x≤71，
故日销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系为：y=−2x+140,40≤x<58−x+82,58≤x≤71．
（2） 由（1）得利润 w=x−40−2x+140,40≤x<58x−40−x+82,58≤x≤71．
整理得 w=−2x2+220x−5600,40≤x<58−x2+122x−3280,58≤x≤71，
故当 40≤x<58 时，w=−2x−552+450．
∵−2<0，
∴ 当 x=55 时，有最大值 450 元．
当 58≤x≤71 时，w=x−612+441．
∵−1<0，
∴ 当 x=61 时，有最大值 441 元．
综上可得当销售价为 55 元时，该店的日销售利润最大，最大利润为 450 元．
（3） 由（2）可知每天的最大利润为 450 元，
则有 450−250=200 元．
一年的利润为：200×365=73000 元，
所有债务为：30000+38000=68000 元，
∵73000>68000，
∴ 该店能在一年内还清所有债务．
27. （1） ∵y=−x2+mx+3m>0，
∵ 抛物线的对称轴为 x=m2，
∴BC=m．
（2） 当 m=2 时，BC=2，y=−x2+2x+3，
∵CB∥x 轴，
∴△AOD∽△ACB，
∴DO:BC=AD:AB=1:2，
∴DO=1，即点 D−1,0，
当 x=−1 时，y=−−12+2×−1+3=0，
∴ 当 m=2 时，点 D 落在抛物线上．
（3） ∵ 过点 B 作 BE∥y 轴交 x 轴于点 F，延长 BF 至 E，使得 EF=12BC，
∴ 点 Em,−m2，
∵C0,3，OD:BC=OA:AC=AD:AB=1:2，
∴OA=1，OD=m2，
∴A0,1，D−m2,0，
设直线 AE 表达式为 y=kx+b，
∴b=1,0=−m2k+b,
解得 k=−m+22m,b=1,
∴ 直线 AE 表达式为 y=−m+22mx+1，
∴ 点 M 坐标为 2mm+2,0，
设直线 DE 表达式为 y=ax+t，
将 D−m2,0，Em,−m2 代入，
同理可得直线 DE 表达式为 y=−13x−m6，
∴ 点 G 坐标为 0,−m6，
∵△DOG 的面积与 △MFE 的面积之比为 1:2，
∴2×12×m2×m6=12×m2×m−2mm+2，
∵m>0，
∴m=1，
故该抛物线解析式是：y=−x2+x+3．
28. （1） ①如图 1，过 F 作 FT⊥BC 于 T，延长 BA 交 ∠BCD 的平分线于 G，连接 BF，EF，AF，
∵ 平行四边形 ABCD，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∵∠ABC=60∘，
∴∠BCD=120∘，∠ADC=60∘，
∵CG 平分 ∠BCD，
∴∠BCG=∠DCG=60∘，
∴△BCG，△CDH 均为等边三角形，
∴CG=BC=BG=6，∠G=60∘，DH=CD=4，
∴AG=AH=2，
∵B，F 关于直线 AE 对称，
∴AF=AB=4，EF=BE，∠AFE=∠ABC=60∘，
∴∠AFG+∠CFE=120∘，∠AFG+∠FAG=120∘，
∴∠CFE=∠FAG，
∴△CEF∽△GFA，
∴CFEF=AGAF=24，即：CF=12EF，
设 BE=EF=x，则 CF=12x，
∵∠CFT=30∘，
∴CT=12CF=14x，FT=34x，
∵ET2+FT2=EF2，
∴6−x−12x2+34x2=x2，
解得：x1=10+213（不符合题意，舍去），x2=10−213，
∴BE=10−213，
②如图 2，设 BF 交 AC 于 T，过 T 作 TR⊥BC 于 R，
过 F 作 FH⊥BC 于 H，过 A 作 AG⊥BC 于 G，连接 AF，FC，
∵∠AGB=90∘，∠ABC=60∘，
∴∠BAG=30∘，
∴BG=12AB=2，AG=23，GH=BH−BG=4，
∴AC=AG2+GH2=232+42=27，
∵B，F 关于 AC 对称，
∴BF⊥AC，BT=TF，
∵BT⋅AC=AG⋅BC，即 BT⋅27=23×6，
∴BT=6217，BF=12217，
在 Rt△BCT 中，CT=BC2−BT2=62−62172=1277，
∵TR⋅BC=BT⋅CT，即 6TR=6217×1277，
∴TR=1237，
∵TR⊥BC，FH⊥BC，
∴TR∥FH，
∴△BTR∽△BFH，
∴FHTR=BFBT=21，
∴FH=2TR=2437，
故点 F 到直线 BC 的距离为 2437．
（2） 如图 3，作 AG⊥BC 于 G，
当点 F，A，G 三点共线时，点 F 到直线 BC 的距离 d 最大，此时 FG=23+4，
由（1）知，BG=2，AG=23，
∴BF=BG2+FG2=22+23+42=26+22，
∴BH=12BF=6+2，
∵∠BHC=∠BGF=90∘，∠CBH=∠FBG，
∴△CBH∽△FBG，
∴BCBH=BFBG，即 m6+2=26+222，解得：m=8+43，
∴ 当 m≥8+43 时，d≤23+4，
如图 4，作 AG⊥BC 于 G，FH⊥BC 于 H，FR⊥AG 于 R，
连接 AF，设 BF 交 AC 于 T，
则 AG=23，BG=2，CG=BC−BG=m−2，FH=23−2，
显然，FHGR 是矩形，
∴RG=FH=23−2，AR=AG−RG=2，
∵B，F 关于 AC 对称，
∴BF⊥AC，BT=TF，AF=AB=4，
∴RF=GH=AF2−AR2=42−22=23，
∴BH=BG+GH=2+23，
∴BF=BH2+FH2=2+232+23−22=42，
∴BT=TF=12BF=22，
∵△BCT∽△BFH，
∴BCBT=BFBH，即 m22=422+23，解得 m=43−4，
∴m 的最小值为 43−4．
综上所述，m≥43−4．