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    2018年无锡市惠山区西漳镇中考数学一模试卷
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    2018年无锡市惠山区西漳镇中考数学一模试卷

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    这是一份2018年无锡市惠山区西漳镇中考数学一模试卷,共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(共10小题;共50分)
    1. −5 的倒数是
    A. 5B. −5C. 15D. −15

    2. 函数 y=1−x 中自变量 x 的取值范围是
    A. x>1B. x≥1C. x≤1D. x≠1

    3. 下列图案是轴对称图形的是
    A. B.
    C. D.

    4. 下列计算正确的是 .
    A. x+x2=x3B. 2x+3x=5xC. x23=x5D. x6÷x3=x2

    5. 分式方程 2x−3=3x 的解为
    A. x=0B. x=3C. x=5D. x=9

    6. 下列说法中,正确的是
    A. 为检测我市正在销售的酸奶质量,应该采用抽样调查的方式
    B. 两名同学连续五次数学测试的平均分相同,方差较大的同学数学成绩更稳定
    C. 抛掷一个正方体骰子,点数为奇数的概率是 13
    D. “打开电视,正在播放广告”是必然事件

    7. 如图是某几何体的三视图及相关数据,则该几何体的全面积是
    A. 15πB. 24πC. 20πD. 10π

    8. 如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90∘,AB=BC=22,点 E,F 分别是 AD,CD 的中点,连接 BE,BF,EF.若四边形 ABCD 的面积为 6,则 △BEF 的面积为
    A. 2B. 94C. 52D. 3

    9. 如图,在 △ABC 中,点 D 为 AB 边上一点,E 为 CD 中点,AC=2,∠ABC=30∘,∠A=∠BED=45∘,则 BD 的长为
    A. 12B. 3+1−5C. 3−12D. 5−1

    10. 如图,△ABC 为 ⊙O 的内接三角形,BC=24,∠A=60∘,点 D 为弧 BC 上一动点,CE 垂直直线 OD 于点 E,当点 D 由 B 点沿弧 BC 运动到点 C 时,点 E 经过的路径长为
    A. 83πB. 183C. 1633πD. 36

    二、填空题(共8小题;共40分)
    11. 分解因式:x3−2x2+x= .

    12. 据统计,今年无锡南长区“古运河之光”旅游活动节期间,访问南长历史文化街区的国内外游客约 908 万人次,908 万人次用科学记数法可表示为 人次.

    13. 已知一元二次方程 x2−3x−6=0 有两个实数根 x1,x2,直线 l 经过点 Ax1+x2,0,B0,x1⋅x2,则直线 l 不经过第 象限.

    14. 命题“同位角相等”的逆命题是 .

    15. 如图,⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E,AB=5,AC=3,则 tan∠ADC= .

    16. 已知抛物线 y=−x2−2x+3,当 −2≤x≤2 时,对应的函数值 y 的取值范围为 .

    17. 如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90∘,将 △ABC 绕点 C 逆时针旋转,旋转后的图形是 △AʹBʹC,点 A 的对应点 Aʹ 落在中线 AD 上,且点 Aʹ 是 △ABC 的重心,AʹBʹ 与 BC 相交于点 E,那么 BE:CE= .

    18. 如图,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点落在函数 y=x 的图象上,从左向右第 3 个正方形中的一个顶点 A 的坐标为 8,4,阴影三角形部分的面积从左向右依次记为 S1 、 S2 、 S3 、 ⋯ 、 Sn,则 Sn 的值为 .(用含 n 的代数式表示,n 为正整数)

    三、解答题(共10小题;共130分)
    19. (1)计算 6sin60∘−13−2−12;
    (2)化简:m−15m2−9−23−m.

    20. (1)解方程:x2−4x−3=0.
    (2)解不等式组:x−1>4x+2,2x+13>2x.

    21. 已知:如图,平行四边形 ABCD 中,O 是 CD 的中点,连接 AO 并延长,交 BC 的延长线于点 E.
    (1)求证:△AOD≌△EOC;
    (2)连接 AC,DE,当 ∠B=∠AEB= ∘ 时,四边形 ACED 是正方形?请说明理由.

    22. 初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查,其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况,绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图(均不完整),请根据图中所给信息解答下列问题:
    (1)在这次评价中,一共抽查了 名学生;
    (2)在扇形统计图中,项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 度;
    (3)请将频数分布直方图补充完整;
    (4)如果全市有 6000 名初三学生,那么在试卷评讲课中,“独立思考”的初三学生约有多少人?

    23. 为了备战初三物理、化学实验操作考试,某校对初三学生进行了模拟训练,物理、化学各有 4 个不同的操作实验题目,物理用番号①,②,③,④代表,化学用字母a,b,c,d表示,测试时每名学生每科只操作一个实验,实验的题目由学生抽签确定,第一次抽签确定物理实验题目,第二次抽签确定化学实验题目.
    (1)请用树形图法或列表法,表示某个同学抽签的各种可能情况;
    (2)小张同学对物理的①,②和化学的b,c号实验准备得较好,他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少?

    24. 如图:一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下,汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是 ∠DCA=30∘ 和 ∠DCB=60∘,如果斑马线的宽度是 AB=3 米,驾驶员与车头的距离是 0.8 米,这时汽车车头与斑马线的距离 x 是多少?

    25. 重庆市的重大惠民工程——公租房建设已陆续竣工,计划 10 年内解决低收入人群的住房问题,前 6 年,每年竣工投入使用的公租房面积 y(单位:百万平方米),与时间 x 的关系是,y=−16x+5(x 单位:年,1≤x≤6 且 x 为整数);后 4 年,每年竣工投入使用的公租房面积 y(单位:百万平方米),与时间 x 的关系是 y=−18x+194(x 单位:年,7≤x≤10 且 x 为整数).假设每年的公租房全部出租完.另外,随着物价上涨等因素的影响,每年的租金也随之上调,预计,第 x 年投入使用的公租房的租金 z(单位:元/m2)与时间 x(单位:年,1≤x≤10 且 x 为整数)满足一次函数关系如表:
    z元/m25052545658⋯x年12345⋯
    (1)求出 z 与 x 的函数关系式;
    (2)求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多,最多为多少百万元;
    (3)若第 6 年竣工投入使用的公租房可解决 20 万人的住房问题,政府计划在第 10 年投入的公租房总面积不变的情况下,要让人均住房面积比第 6 年人均住房面积提高 a%,这样可解决住房的人数将比第 6 年减少 1.35a%,求 a 的值.(参考数据:315≈17.7,319≈17.8,321≈17.9)

    26. 已知 A2,0,B6,0,CB⊥x 轴于点 B,连接 AC.
    (1)画图操作:在 y 正半轴上求作点 P,使得 ∠APB=∠ACB(尺规作图,保留作图痕迹);
    (2)理解应用:在(1)的条件下,①若 tan∠APB=12,求点 P 的坐标;
    ②当点 P 的坐标为 时,∠APB 最大.
    (3)拓展延伸:若在直线 y=43x+4 上存在点 P,使得 ∠APB 最大,求点 P 的坐标.

    27. 如图 1,直线 AD 对应的函数关系式为 y=−2x−2,与抛物线交于点 A(在 x 轴上),点 D.抛物线与 x 轴另一交点为 B3,0,抛物线与 y 轴交点 C0,−6.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)如图 2,连接 CD,过点 D 作 x 轴的垂线,垂足为点 E,直线 AD 与 y 轴交点为 F,若点 P 由点 D 出发以每秒 1 个单位的速度沿 DE 边向点 E 移动,1 秒后点 Q 也由点 D 出发以每秒 3 个单位的速度沿 DC,CO,OE 边向点 E 移动,当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动,点 P 的移动时间为 t 秒,当 PQ⊥DF 时,求 t 的值;(图 3 为备用图)
    (3)如果点 M 是直线 BC 上的动点,是否存在一个点 M,使 △ABM 中有一个角为 45∘?若存在,直接写出所有满足条件的 M 点坐标;如果不存在,请说明理由.

    28. (1)问题提出
    如图 1,点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=a,AB=b,填空:当点 A 位于 时,线段 AC 的长取得最大值,且最大值为 (用含 a,b 的式子表示).
    (2)问题探究
    点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=6,AB=3,如图 2 所示,分别以 AB,AC 为边,作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE,连接 CD,BE,找出图中与 BE 相等的线段,请说明理由,并直接写出线段 BE 长的最大值.
    (3)问题解决:
    ①如图 3,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为 2,0,点 B 的坐标为 5,0,点 P 为线段 AB 外一动点,且 PA=2,PM=PB,∠BPM=90∘,求线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标.
    ②如图 4,在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD=60∘,BC=42,若对角线 BD⊥CD 于点 D,请直接写出对角线 AC 的最大值.
    答案
    第一部分
    1. D
    2. C【解析】由题意得,1−x≥0,解得 x≤1.
    3. A【解析】只有A选项中的图形能找到一条直线,沿这条直线折叠,直线两旁的部分能完全重合.
    4. B
    5. D
    【解析】去分母得 2x=3x−9,
    移项、合并同类项得 x=9,
    经检验,x=9 是分式方程的解.
    6. A【解析】A.为检测我市正在销售的酸奶质量,此事件调查难度较大破坏性强,应该采用抽样调查的方式,故此选项正确;
    B.两名同学连续五次数学测试的平均分相同,方差较小的同学数学成绩更稳定,故此选项错误;
    C.抛掷一个正方体骰子,点数为奇数的概率是 12,故此选项错误;
    D.“打开电视,正在播放广告”是随机事件,故此选项错误.
    7. B【解析】根据三视图得到该几何体为圆锥,其中圆锥的高为 4,母线长为 5,圆锥底面圆的直径为 6,
    ∴圆锥的底面圆的面积=π×622=9π,
    圆锥的侧面积=12×5×π×6=15π,
    ∴圆锥的全面积=9π+15π=24π.
    8. C【解析】S△BEF=S四边形ABCD−S△ABE−S△BCF−S△FED,
    易知 S△ABE+S△BCF=12S四边形ABCD=3,S△EDF=12,
    ∴S△BEF=S四边形ABCD−S△ABE−S△BCF−S△FED=6−3−12=52.
    9. D【解析】如图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,过点 B 作 BG⊥CD 于点 G,
    在 Rt△BEG 中,∠BED=45∘,则 GE=GB.
    在 Rt△AFC 中,∠A=45∘,AC=2,则 AF=CF=2×sin45∘=1,
    在 Rt△BFC 中,∠ABC=30∘,CF=1,则 BC=2CF=2,BF=3CF=3,
    设 DF=x,CE=DE=y,则 BD=3−x,
    ∵∠CDE=∠BDG,∠CFD=∠BGD,
    ∴△CDF∽△BDG,
    ∴CDBD=DFDG=CFBG,
    ∴2y3−x=xDG=1BG,
    ∴DG=x3−x2y,BG=3−x2y,
    ∵GE=GB,DE+EG=GB,
    ∴y+x3−x2y=3−x2y,
    ∴2y2+x3−x=3−x,
    在 Rt△CDF 中,
    ∵CF2+DF2=CD2,
    ∴1+x2=4y2,
    ∴2y2=1+x22,
    ∴1+x22+x3−x=3−x,
    整理得:x2−23+2x+23−1=0,
    解得 x=1+3−5 或 5x=1+3+5(舍去),
    ∴BD=3−x=5−1.
    10. C
    【解析】如图,过点 O 作 OH⊥BC 于点 H,设 OC 的中点为点 K.
    ∵OH⊥BC,
    ∴BH=CH=12,
    ∵∠A=60∘,
    ∴∠COH=60∘,
    ∴∠OCH=30∘,
    ∴OC=CHcs30∘=83,
    ∵∠CEO=90∘,
    ∴ 当 E 的运动轨迹是以 OC 为直径的圆弧,圆心角为 240∘,
    ∴ 点 E 经过的路径长 =240⋅π⋅43180=1633π.
    第二部分
    11. xx−12
    12. 9.08×106
    【解析】将 908 万用科学记数法表示为 9.08×106.
    13. 二
    【解析】∵x1+x2=3,x1⋅x2=−6,
    ∴A 点坐标为 3,0,B 点坐标为 0,−6,
    设直线 l 的解析式为 y=kx+b,
    把 A3,0,B0,−6 代入得 3k+b=0,b=−6, 解得 k=2,b=−6,
    ∴ 直线 l 的解析式为 y=2x−6,
    ∵k=2>0,
    ∴ 直线 l 过第一、三象限,
    ∵b=−6<0,
    ∴ 直线 l 与 y 轴的交点在 x 轴下方,
    ∴ 直线 l 不经过第二象限.
    14. 相等的角是同位角
    【解析】命题“同位角相等”的逆命题是相等的角是同位角.
    15. 34
    【解析】∵AB 是直径,AB=5,AC=3,
    ∴BC=AB2−AC2=4,
    ∵∠ADC=∠B,∠ACB=90∘,
    ∴tan∠ADC=tan∠B=ACBC=34.
    16. −5≤y≤4
    【解析】y=−x2−2x+3=−x+12+4,
    ∵x=−1 时,y=4,x=2 时,y=−4−4+3=−5,
    ∴ 当 −2≤x≤2 时,−5≤y≤4.
    17. 4:3
    【解析】∵∠BAC=90∘,点 Aʹ 是 △ABC 重心,
    ∴BD=DC=AD,DAʹ=12AAʹ=13AD=16BC,
    ∵△AʹCBʹ 是由 △ABC 旋转得到,
    ∴CAʹ=CA,BC=CBʹ,∠ACB=∠AʹCBʹ=∠DAC,∠CAʹBʹ=90∘,
    ∴∠CAAʹ=∠CAʹA=∠DAC,∠DAʹBʹ+∠CAʹA=90∘,∠Bʹ+∠AʹCBʹ=90∘,
    ∴∠DA′B′=∠B′,
    ∴DAʹ∥CBʹ,
    ∴DAʹCBʹ=DEBC=16,
    设 DE=k,则 EC=6k,BD=DC=7k,BE=8k,
    ∴BE:CE=8k:6k=4:3.
    18. 24n−5
    【解析】∵ 函数 y=x 与 x 轴的夹角为 45∘,
    ∴ 直线 y=x 与正方形的边及 x 轴围成的三角形是等腰直角三角形,
    ∵A8,4,
    ∴ 第四个正方形的边长为 8,第三个正方形的边长为 4,第二个正方形的边长为 2,第一个正方形的边长为 1⋯,第 n 个正方形的边长为 2n−1.
    由图可知,
    S1=12×1×1+12×1+2×2−12×1+2×2=12,
    S2=12×4×4+12×2+4×4−12×2+4×4=8,

    Sn 为第 2n 与第 2n−1 个正方形中的阴影部分,第 2n 个正方形的边长为 22n−1,第 2n−1 个正方形的边长为 22n−2.
    Sn=12⋅22n−2⋅22n−2=24n−5.
    第三部分
    19. (1) 原式=6×32−9−23=3−9.
    (2) 原式=m−15m+3m−3+2m−3=m−15m+3m−3+2m+3m−3m+3=3m−3m+3m−3=3m+3.
    20. (1)
    x2−4x−3=0.x2−4x+4=3+4.x−22=7.x=2±7.x1=2+7,x2=2−7.
    (2)
    x−1>4x+2, ⋯⋯①2x+13>2x. ⋯⋯②
    由 ① 得:
    x<−1.
    由 ② 得:
    x<14,∴
    原不等式组的解集为:
    x<−1.
    21. (1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
    ∴AD∥BC.
    ∴∠D=∠OCE,∠DAO=∠E.
    又 OC=OD,
    ∴△AOD≌△EOC.
    (2)
    当 ∠B=∠AEB=45∘ 时,四边形 ACED 是正方形.
    ∵△AOD≌△EOC,
    ∴OA=OE.
    又 OC=OD,
    ∴ 四边形 ACED 是平行四边形.
    ∵∠B=∠AEB=45∘,
    ∴AB=AE,∠BAE=90∘.
    ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
    ∴AB∥CD,AB=CD.
    ∴∠COE=∠BAE=90∘.
    ∴ 平行四边形 ACED 是菱形.
    ∵AB=AE,AB=CD,
    ∴AE=CD.
    ∴ 菱形 ACED 是正方形.
    22. (1) 560
    【解析】调查的总人数是:224÷40%=560(人).
    (2) 54
    【解析】“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是:360×84560=54∘.
    (3) “讲解题目”的人数是:560−84−168−224=84(人).
    (4) 在试卷评讲课中,“独立思考”的初三学生约有:6000×168560=1800(人).
    23. (1) 画树状图得:
    如图,可得某个同学抽签的所有等可能情况有 16 种.
    (2) ∵ 小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b,①c,②b,②c共 4 种情况,
    ∴ 他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是 416=14.
    24. 如图:延长 AB,分别与车间所在位置水平线和司机所在位置水平线交于点 E,点 F.
    ∵ CD∥AB,
    ∴ ∠CAB=∠DCA=30∘,∠CBF=∠DCB=60∘,
    ∴ ∠BCA=60∘−30∘=30∘,即 ∠BAC=∠BCA;
    ∴ BC=AB=3(米);
    Rt△BCF 中,BC=3(米),∠CBF=60∘;
    ∴ BF=12BC=1.5(米);
    故 x=BF−EF=1.5−0.8=0.7(米).
    答:这时汽车车头与斑马线的距离 x 是 0.7 米.
    25. (1) 由题意,z 与 x 是一次函数关系,设 z=kx+bk≠0,
    把 1,50,2,52 代入,得
    ∴k+b=50,2k+b=52⇒k=2,b=48,
    ∴z=2x+48.
    (2) 当 1≤x≤6 时,设收取的租金为 W1 百万元,则
    W1=−16x+5⋅2x+48=−13x2+2x+240.
    ∵ 对称轴 x=−b2a=3,而 1≤x≤6,
    ∴ 当 x=3 时,W1 最大 =243(百万元),
    当 7≤x≤10 时,设收取的租金为 W2 百万元,则
    W2=−18x+194⋅2x+48=−14x2+72x+228.
    ∵ 对称轴 x=−b2a=7,而 7≤x≤10,
    ∴ 当 x=7 时,W2 最大 =9614(百万元),
    ∵243>9614,
    ∴ 第 3 年收取的租金最多,最多为 243 百万元.
    (3) 当 x=6 时,y=−16×6+5=4 百万平方米 =400 万平方米;
    当 x=10 时,y=−18×10+194=3.5 百万平方米 =350 万平方米,
    ∵ 第 6 年可解决 20 万人住房问题,
    ∴ 人均住房为:400÷20=20 平方米.
    由题意:20×1−1.35a%×20×1+a%=350,
    设 a%=m,化简为:54m2+14m−5=0,
    Δ=142−4×54×−5=1276,
    ∴m=−14±12762×54=−7±31954,
    ∵319≈17.8,
    ∴m1=0.2,m2=−62135(不符题意,舍去),
    ∴a%=0.2,
    ∴a=20.
    答:a 的值为 20.
    26. (1) ∠APB 如图所示.
    (2) ①如图 2 中,
    ∵∠APB=∠ACB,
    ∴tan∠ACB=tan∠APB=12=ABBC,
    ∵A2,0,B6,0,
    ∴AB=4,BC=8,
    ∴C6,8,
    ∴AC 的中点 K4,4,
    以 K 为圆心 AK 为半径画圆,交 y 轴于 P 和 Pʹ,
    易知 P0,2,Pʹ0,6.
    ② 0,23
    【解析】当 ⊙K 与 y 轴相切时,∠APB 的值最大,此时 AK=PK=4,AC=8,
    ∴BC=AC2−AB2=43,
    ∴C6,43,
    ∴K4,23,
    ∴P0,23.
    (3) 如图 3 中,
    当经过 AB 的圆与直线相切时,∠APB 最大.
    ∵ 直线 y=43x+4 交 x 轴于点 M−3,0,交 y 轴于点 N0,4,
    ∵MP 是切线,
    ∴∠MPA=∠MBP,
    ∵∠PMA=∠BMP,
    ∴△PMA∽△BMP,
    ∴MPBM=MAMP,
    ∴MP2=MA⋅MB,
    ∴MP=35,
    过点 P 作 PK⊥OA 于点 K.
    ∵ON∥PK,
    ∴ONPK=OMMK=NMMP,
    ∴4PK=3MK=535,
    ∴PK=1255,MK=955,
    ∴OK=955−3,
    ∴P955−3,1255.
    27. (1) 令 y=0,则 −2x−2=0,解得 x=−1,
    ∴ 点 A 坐标 −1,0,
    设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,
    ∵A−1,0,B3,0,C0,−6 在抛物线上,
    ∴a−b+c=0,9a+3b+c=0,c=−6, 解得 a=2,b=−4,c=−6,
    ∴ 抛物线解析式为 y=2x2−4x−6.
    (2) y=2x−2,令 x=0,y=−2,
    ∴F0,−2,
    由 y=−2x−2,y=2x2−4x−6 解得 x=−1,y=0 或 x=2,y=−6,
    ∴ 点 D 坐标 2,−6.
    ∵ 点 C0,−6,
    ∴CD⊥CF,
    ∴∠DCF=90∘,
    由题意:P 点移动的路程为 DP=t,Q 点移动的路程为 3t−1=3t−3,
    当 Q 点在 CD 上时,即 0<3t−3≤2 时,1如图 1 中,
    若 PQ⊥DF,则有 Rt△QDP∽Rt△FCD,
    ∴PDQD=CDCF,即 t3t−3=12,
    ∴t=3,3>53,
    ∴ 此时 t 不合题意.
    当点 Q 在 CO 上时,2<3t−3≤8,53如图 2 中,过点 P 作 PK⊥OC 于点 K,
    ∴CK=PD=t,CQ=3t−1−2=3t−5,QK=CK−CQ=t−3t−5=−2t+5,
    若 PQ⊥DF,则有 Rt△PKQ∽Rt△FCD,
    ∴QKPK=CDCF,即 −2t+52=24,
    ∴t=2,
    ∵53 ∴t=2 符合题意.
    当点 Q 在 OE 上时,即 8≤3t−3≤10,113≤t≤133 时,
    如图 3 中,若 PQ⊥DF,过点 Q 作 QG∥DF 交 DE 于点 G,
    则 QG⊥QP,即 ∠GQP=90∘,
    ∴∠QPE>90∘,这与 △QPE 内角和为 180∘ 矛盾,此时 PQ 不与 DF 垂直,
    综上所述:当 t=2 时,有 PQ⊥DF.
    (3) 满足条件的点 M 坐标为 195,85 或 35,−245 或 7,8 或 53,−83.
    【解析】如图 4 中,构造等腰直角三角形 △AEB,△AFB,使得 AE=EB=AF=BF,∠AEB=∠AFB=90∘,分别以点 E,F 为圆心 EA 为半径画圆交直线 BC 于点 M3,M4,
    则 ∠AM3B=∠AM4B=45∘,
    ∵ 直线 BC 的解析式为 y=2x−6,E1,2,F1,−2,设 Mm,2m−6,
    由 EM3=EA=22,可得 m−12+2m−82=8,解得 m=3舍去或195,
    ∴M3195,85,同法可得 M435,−245,
    分别延长 AE,AF 交直线 BC 于点 M1,M2,此时 ∠M1AB=∠M2AB=45∘,
    ∵ 直线 AE 的解析式为 y=x+1,
    由 y=x+1,y=2x−6 解得 x=7,y=6,
    ∴M17,8,同法可得 M253,−83,
    综上所述,满足条件的点 M 坐标为 195,85 或 35,−245 或 7,8 或 53,−83.
    28. (1) CB 的延长线上;a+b
    【解析】∵ 点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=a,AB=b,
    ∴ 当点 A 位于 CB 的延长线上时,线段 AC 的长取得最大值,且最大值为 BC+AB=a+b.
    (2) ① CD=BE,
    理由:
    ∵△ABD 与 △ACE 是等边三角形,
    ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60∘,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即 ∠CAD=∠EAB,
    在 △CAD 与 △EAB 中,
    AD=AB,∠CAD=∠EAB,AC=AE,
    ∴△CAD≌△EABSAS,
    ∴CD=BE;
    ② ∵ 线段 BE 长的最大值 = 线段 CD 的最大值,
    ∴ 由(1)知,当线段 CD 的长取得最大值时,点 D 在 CB 的延长线上,
    ∴ 最大值为 BD+BC=AB+BC=3+6=9.
    (3) 如图 1,连接 BM,
    ∵ 将 △APM 绕着点 P 顺时针旋转 90∘ 得到 △PBN,连接 AN,则 △APN 是等腰直角三角形,
    ∴PN=PA=2,BN=AM,
    ∵A 的坐标为 2,0,点 B 的坐标为 5,0,
    ∴OA=2,OB=5,
    ∴AB=3,
    ∴ 线段 AM 长的最大值 = 线段 BN 长的最大值,
    ∴ 当点 N 在线段 BA 的延长线时,线段 BN 取得最大值,
    最大值 =AB+AN,
    ∵AN=2AP=22,
    ∴ 最大值为 22+3;
    如图 2,过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E,
    ∵△APN 是等腰直角三角形,
    ∴PE=AE=2,
    ∴OE=BO−AB−AE=5−3−2=2−2,
    ∴P2−2,2.
    ②如图 4 中,
    以 BC 为边作等边三角形 △BCM,等边三角形 ABD,
    ∵∠ABD=∠CBM=60∘,
    ∴∠ABC=∠DBM,
    ∵AB=DB,BC=BM,
    ∴△ABC≌△DBMSAS,
    ∴AC=MD,
    ∴ 欲求 AC 的最大值,只要求出 DM 的最大值即可,
    ∵BC=42=定值,∠BDC=90∘,
    ∴ 点 D 在以 BC 为直径的 ⊙O 上运动,
    由图象可知,当点 D 在 BC 上方,DM⊥BC 时,DM 的值最大,最大值 =22+26,
    ∴AC 的最大值为 22+26.
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