2018年无锡市惠山区西漳镇中考数学一模试卷

这是一份2018年无锡市惠山区西漳镇中考数学一模试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −5 的倒数是
A. 5B. −5C. 15D. −15

2. 函数 y=1−x 中自变量 x 的取值范围是
A. x>1B. x≥1C. x≤1D. x≠1

3. 下列图案是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 下列计算正确的是 ．
A. x+x2=x3B. 2x+3x=5xC. x23=x5D. x6÷x3=x2

5. 分式方程 2x−3=3x 的解为
A. x=0B. x=3C. x=5D. x=9

6. 下列说法中，正确的是
A. 为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式
B. 两名同学连续五次数学测试的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
C. 抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是 13
D. “打开电视，正在播放广告”是必然事件

7. 如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是
A. 15πB. 24πC. 20πD. 10π

8. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90∘，AB=BC=22，点 E，F 分别是 AD，CD 的中点，连接 BE，BF，EF．若四边形 ABCD 的面积为 6，则 △BEF 的面积为
A. 2B. 94C. 52D. 3

9. 如图，在 △ABC 中，点 D 为 AB 边上一点，E 为 CD 中点，AC=2，∠ABC=30∘，∠A=∠BED=45∘，则 BD 的长为
A. 12B. 3+1−5C. 3−12D. 5−1

10. 如图，△ABC 为 ⊙O 的内接三角形，BC=24，∠A=60∘，点 D 为弧 BC 上一动点，CE 垂直直线 OD 于点 E，当点 D 由 B 点沿弧 BC 运动到点 C 时，点 E 经过的路径长为
A. 83πB. 183C. 1633πD. 36

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 分解因式：x3−2x2+x= ．

12. 据统计，今年无锡南长区“古运河之光”旅游活动节期间，访问南长历史文化街区的国内外游客约 908 万人次，908 万人次用科学记数法可表示为 人次．

13. 已知一元二次方程 x2−3x−6=0 有两个实数根 x1，x2，直线 l 经过点 Ax1+x2,0，B0,x1⋅x2，则直线 l 不经过第 象限．

14. 命题“同位角相等”的逆命题是 ．

15. 如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，AB=5，AC=3，则 tan∠ADC= ．

16. 已知抛物线 y=−x2−2x+3，当 −2≤x≤2 时，对应的函数值 y 的取值范围为 ．

17. 如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，将 △ABC 绕点 C 逆时针旋转，旋转后的图形是 △AʹBʹC，点 A 的对应点 Aʹ 落在中线 AD 上，且点 Aʹ 是 △ABC 的重心，AʹBʹ 与 BC 相交于点 E，那么 BE:CE= ．

18. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数 y=x 的图象上，从左向右第 3 个正方形中的一个顶点 A 的坐标为 8,4，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为 S1 、 S2 、 S3 、 ⋯ 、 Sn，则 Sn 的值为 ．（用含 n 的代数式表示，n 为正整数）

三、解答题（共10小题；共130分）
19. （1）计算 6sin60∘−13−2−12；
（2）化简：m−15m2−9−23−m．

20. （1）解方程：x2−4x−3=0．
（2）解不等式组：x−1>4x+2,2x+13>2x.

21. 已知：如图，平行四边形 ABCD 中，O 是 CD 的中点，连接 AO 并延长，交 BC 的延长线于点 E．
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接 AC，DE，当 ∠B=∠AEB= ∘ 时，四边形 ACED 是正方形?请说明理由．

22. 初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）在这次评价中，一共抽查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 度；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）如果全市有 6000 名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人?

23. 为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有 4 个不同的操作实验题目，物理用番号①，②，③，④代表，化学用字母a，b，c，d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．
（1）请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况；
（2）小张同学对物理的①，②和化学的b，c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少?

24. 如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是 ∠DCA=30∘ 和 ∠DCB=60∘，如果斑马线的宽度是 AB=3 米，驾驶员与车头的距离是 0.8 米，这时汽车车头与斑马线的距离 x 是多少?

25. 重庆市的重大惠民工程——公租房建设已陆续竣工，计划 10 年内解决低收入人群的住房问题，前 6 年，每年竣工投入使用的公租房面积 y（单位：百万平方米），与时间 x 的关系是，y=−16x+5（x 单位：年，1≤x≤6 且 x 为整数）；后 4 年，每年竣工投入使用的公租房面积 y（单位：百万平方米），与时间 x 的关系是 y=−18x+194（x 单位：年，7≤x≤10 且 x 为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第 x 年投入使用的公租房的租金 z（单位：元/m2）与时间 x（单位：年，1≤x≤10 且 x 为整数）满足一次函数关系如表：
z元/m25052545658⋯x年12345⋯
（1）求出 z 与 x 的函数关系式；
（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；
（3）若第 6 年竣工投入使用的公租房可解决 20 万人的住房问题，政府计划在第 10 年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第 6 年人均住房面积提高 a%，这样可解决住房的人数将比第 6 年减少 1.35a%，求 a 的值．（参考数据：315≈17.7，319≈17.8，321≈17.9）

26. 已知 A2,0，B6,0，CB⊥x 轴于点 B，连接 AC．
（1）画图操作：在 y 正半轴上求作点 P，使得 ∠APB=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）理解应用：在（1）的条件下，①若 tan∠APB=12，求点 P 的坐标；
②当点 P 的坐标为 时，∠APB 最大．
（3）拓展延伸：若在直线 y=43x+4 上存在点 P，使得 ∠APB 最大，求点 P 的坐标．

27. 如图 1，直线 AD 对应的函数关系式为 y=−2x−2，与抛物线交于点 A（在 x 轴上），点 D．抛物线与 x 轴另一交点为 B3,0，抛物线与 y 轴交点 C0,−6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 2，连接 CD，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为点 E，直线 AD 与 y 轴交点为 F，若点 P 由点 D 出发以每秒 1 个单位的速度沿 DE 边向点 E 移动，1 秒后点 Q 也由点 D 出发以每秒 3 个单位的速度沿 DC，CO，OE 边向点 E 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点 P 的移动时间为 t 秒，当 PQ⊥DF 时，求 t 的值；（图 3 为备用图）
（3）如果点 M 是直线 BC 上的动点，是否存在一个点 M，使 △ABM 中有一个角为 45∘?若存在，直接写出所有满足条件的 M 点坐标；如果不存在，请说明理由．

28. （1）问题提出
如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=a，AB=b，填空：当点 A 位于 时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 （用含 a，b 的式子表示）．
（2）问题探究
点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=6，AB=3，如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE，找出图中与 BE 相等的线段，请说明理由，并直接写出线段 BE 长的最大值．
（3）问题解决：
①如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 2,0，点 B 的坐标为 5,0，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA=2，PM=PB，∠BPM=90∘，求线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标．
②如图 4，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=60∘，BC=42，若对角线 BD⊥CD 于点 D，请直接写出对角线 AC 的最大值．
答案
第一部分
1. D
2. C【解析】由题意得，1−x≥0，解得 x≤1．
3. A【解析】只有A选项中的图形能找到一条直线，沿这条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合．
4. B
5. D
【解析】去分母得 2x=3x−9，
移项、合并同类项得 x=9，
经检验，x=9 是分式方程的解．
6. A【解析】A．为检测我市正在销售的酸奶质量，此事件调查难度较大破坏性强，应该采用抽样调查的方式，故此选项正确；
B．两名同学连续五次数学测试的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定，故此选项错误；
C．抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是 12，故此选项错误；
D．“打开电视，正在播放广告”是随机事件，故此选项错误．
7. B【解析】根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为 4，母线长为 5，圆锥底面圆的直径为 6，
∴圆锥的底面圆的面积=π×622=9π，
圆锥的侧面积=12×5×π×6=15π，
∴圆锥的全面积=9π+15π=24π．
8. C【解析】S△BEF=S四边形ABCD−S△ABE−S△BCF−S△FED，
易知 S△ABE+S△BCF=12S四边形ABCD=3，S△EDF=12，
∴S△BEF=S四边形ABCD−S△ABE−S△BCF−S△FED=6−3−12=52．
9. D【解析】如图，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，过点 B 作 BG⊥CD 于点 G，
在 Rt△BEG 中，∠BED=45∘，则 GE=GB．
在 Rt△AFC 中，∠A=45∘，AC=2，则 AF=CF=2×sin45∘=1，
在 Rt△BFC 中，∠ABC=30∘，CF=1，则 BC=2CF=2，BF=3CF=3，
设 DF=x，CE=DE=y，则 BD=3−x，
∵∠CDE=∠BDG，∠CFD=∠BGD，
∴△CDF∽△BDG，
∴CDBD=DFDG=CFBG，
∴2y3−x=xDG=1BG，
∴DG=x3−x2y，BG=3−x2y，
∵GE=GB，DE+EG=GB，
∴y+x3−x2y=3−x2y，
∴2y2+x3−x=3−x，
在 Rt△CDF 中，
∵CF2+DF2=CD2，
∴1+x2=4y2，
∴2y2=1+x22，
∴1+x22+x3−x=3−x，
整理得：x2−23+2x+23−1=0，
解得 x=1+3−5 或 5x=1+3+5（舍去），
∴BD=3−x=5−1．
10. C
【解析】如图，过点 O 作 OH⊥BC 于点 H，设 OC 的中点为点 K．
∵OH⊥BC，
∴BH=CH=12，
∵∠A=60∘，
∴∠COH=60∘，
∴∠OCH=30∘，
∴OC=CHcs30∘=83，
∵∠CEO=90∘，
∴ 当 E 的运动轨迹是以 OC 为直径的圆弧，圆心角为 240∘，
∴ 点 E 经过的路径长 =240⋅π⋅43180=1633π．
第二部分
11. xx−12
12. 9.08×106
【解析】将 908 万用科学记数法表示为 9.08×106．
13. 二
【解析】∵x1+x2=3，x1⋅x2=−6，
∴A 点坐标为 3,0，B 点坐标为 0,−6，
设直线 l 的解析式为 y=kx+b，
把 A3,0，B0,−6 代入得 3k+b=0,b=−6, 解得 k=2,b=−6,
∴ 直线 l 的解析式为 y=2x−6，
∵k=2>0，
∴ 直线 l 过第一、三象限，
∵b=−6<0，
∴ 直线 l 与 y 轴的交点在 x 轴下方，
∴ 直线 l 不经过第二象限．
14. 相等的角是同位角
【解析】命题“同位角相等”的逆命题是相等的角是同位角．
15. 34
【解析】∵AB 是直径，AB=5，AC=3，
∴BC=AB2−AC2=4，
∵∠ADC=∠B，∠ACB=90∘，
∴tan∠ADC=tan∠B=ACBC=34．
16. −5≤y≤4
【解析】y=−x2−2x+3=−x+12+4，
∵x=−1 时，y=4，x=2 时，y=−4−4+3=−5，
∴ 当 −2≤x≤2 时，−5≤y≤4．
17. 4:3
【解析】∵∠BAC=90∘，点 Aʹ 是 △ABC 重心，
∴BD=DC=AD，DAʹ=12AAʹ=13AD=16BC，
∵△AʹCBʹ 是由 △ABC 旋转得到，
∴CAʹ=CA，BC=CBʹ，∠ACB=∠AʹCBʹ=∠DAC，∠CAʹBʹ=90∘，
∴∠CAAʹ=∠CAʹA=∠DAC，∠DAʹBʹ+∠CAʹA=90∘，∠Bʹ+∠AʹCBʹ=90∘，
∴∠DA′B′=∠B′，
∴DAʹ∥CBʹ，
∴DAʹCBʹ=DEBC=16，
设 DE=k，则 EC=6k，BD=DC=7k，BE=8k，
∴BE:CE=8k:6k=4:3．
18. 24n−5
【解析】∵ 函数 y=x 与 x 轴的夹角为 45∘，
∴ 直线 y=x 与正方形的边及 x 轴围成的三角形是等腰直角三角形，
∵A8,4，
∴ 第四个正方形的边长为 8，第三个正方形的边长为 4，第二个正方形的边长为 2，第一个正方形的边长为 1⋯，第 n 个正方形的边长为 2n−1．
由图可知，
S1=12×1×1+12×1+2×2−12×1+2×2=12,
S2=12×4×4+12×2+4×4−12×2+4×4=8,
⋯
Sn 为第 2n 与第 2n−1 个正方形中的阴影部分，第 2n 个正方形的边长为 22n−1，第 2n−1 个正方形的边长为 22n−2．
Sn=12⋅22n−2⋅22n−2=24n−5.
第三部分
19. （1） 原式=6×32−9−23=3−9.
（2） 原式=m−15m+3m−3+2m−3=m−15m+3m−3+2m+3m−3m+3=3m−3m+3m−3=3m+3.
20. （1）
x2−4x−3=0.x2−4x+4=3+4.x−22=7.x=2±7.x1=2+7,x2=2−7.
（2）
x−1>4x+2, ⋯⋯①2x+13>2x. ⋯⋯②
由 ① 得：
x<−1.
由 ② 得：
x<14,∴
原不等式组的解集为：
x<−1.
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．
又 OC=OD，
∴△AOD≌△EOC．
（2）
当 ∠B=∠AEB=45∘ 时，四边形 ACED 是正方形．
∵△AOD≌△EOC，
∴OA=OE．
又 OC=OD，
∴ 四边形 ACED 是平行四边形．
∵∠B=∠AEB=45∘，
∴AB=AE，∠BAE=90∘．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠COE=∠BAE=90∘．
∴ 平行四边形 ACED 是菱形．
∵AB=AE，AB=CD，
∴AE=CD．
∴ 菱形 ACED 是正方形．
22. （1） 560
【解析】调查的总人数是：224÷40%=560（人）．
（2） 54
【解析】“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：360×84560=54∘．
（3） “讲解题目”的人数是：560−84−168−224=84（人）．
（4） 在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有：6000×168560=1800（人）．
23. （1） 画树状图得：
如图，可得某个同学抽签的所有等可能情况有 16 种．
（2） ∵ 小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b，①c，②b，②c共 4 种情况，
∴ 他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是 416=14．
24. 如图：延长 AB，分别与车间所在位置水平线和司机所在位置水平线交于点 E，点 F．
∵ CD∥AB，
∴ ∠CAB=∠DCA=30∘，∠CBF=∠DCB=60∘，
∴ ∠BCA=60∘−30∘=30∘，即 ∠BAC=∠BCA；
∴ BC=AB=3（米）；
Rt△BCF 中，BC=3（米），∠CBF=60∘；
∴ BF=12BC=1.5（米）；
故 x=BF−EF=1.5−0.8=0.7（米）．
答：这时汽车车头与斑马线的距离 x 是 0.7 米．
25. （1） 由题意，z 与 x 是一次函数关系，设 z=kx+bk≠0，
把 1,50，2,52 代入，得
∴k+b=50,2k+b=52⇒k=2,b=48,
∴z=2x+48．
（2） 当 1≤x≤6 时，设收取的租金为 W1 百万元，则
W1=−16x+5⋅2x+48=−13x2+2x+240.
∵ 对称轴 x=−b2a=3，而 1≤x≤6，
∴ 当 x=3 时，W1 最大 =243（百万元），
当 7≤x≤10 时，设收取的租金为 W2 百万元，则
W2=−18x+194⋅2x+48=−14x2+72x+228.
∵ 对称轴 x=−b2a=7，而 7≤x≤10，
∴ 当 x=7 时，W2 最大 =9614（百万元），
∵243>9614，
∴ 第 3 年收取的租金最多，最多为 243 百万元．
（3） 当 x=6 时，y=−16×6+5=4 百万平方米 =400 万平方米；
当 x=10 时，y=−18×10+194=3.5 百万平方米 =350 万平方米，
∵ 第 6 年可解决 20 万人住房问题，
∴ 人均住房为：400÷20=20 平方米．
由题意：20×1−1.35a%×20×1+a%=350，
设 a%=m，化简为：54m2+14m−5=0，
Δ=142−4×54×−5=1276，
∴m=−14±12762×54=−7±31954，
∵319≈17.8，
∴m1=0.2，m2=−62135（不符题意，舍去），
∴a%=0.2，
∴a=20．
答：a 的值为 20．
26. （1） ∠APB 如图所示．
（2） ①如图 2 中，
∵∠APB=∠ACB，
∴tan∠ACB=tan∠APB=12=ABBC，
∵A2,0，B6,0，
∴AB=4，BC=8，
∴C6,8，
∴AC 的中点 K4,4，
以 K 为圆心 AK 为半径画圆，交 y 轴于 P 和 Pʹ，
易知 P0,2，Pʹ0,6．
② 0,23
【解析】当 ⊙K 与 y 轴相切时，∠APB 的值最大，此时 AK=PK=4，AC=8，
∴BC=AC2−AB2=43，
∴C6,43，
∴K4,23，
∴P0,23．
（3） 如图 3 中，
当经过 AB 的圆与直线相切时，∠APB 最大．
∵ 直线 y=43x+4 交 x 轴于点 M−3,0，交 y 轴于点 N0,4，
∵MP 是切线，
∴∠MPA=∠MBP，
∵∠PMA=∠BMP，
∴△PMA∽△BMP，
∴MPBM=MAMP，
∴MP2=MA⋅MB，
∴MP=35，
过点 P 作 PK⊥OA 于点 K．
∵ON∥PK，
∴ONPK=OMMK=NMMP，
∴4PK=3MK=535，
∴PK=1255，MK=955，
∴OK=955−3，
∴P955−3,1255．
27. （1） 令 y=0，则 −2x−2=0，解得 x=−1，
∴ 点 A 坐标 −1,0，
设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，
∵A−1,0，B3,0，C0,−6 在抛物线上，
∴a−b+c=0,9a+3b+c=0,c=−6, 解得 a=2,b=−4,c=−6,
∴ 抛物线解析式为 y=2x2−4x−6．
（2） y=2x−2，令 x=0，y=−2，
∴F0,−2，
由 y=−2x−2,y=2x2−4x−6 解得 x=−1,y=0 或 x=2,y=−6,
∴ 点 D 坐标 2,−6．
∵ 点 C0,−6，
∴CD⊥CF，
∴∠DCF=90∘，
由题意：P 点移动的路程为 DP=t，Q 点移动的路程为 3t−1=3t−3，
当 Q 点在 CD 上时，即 0<3t−3≤2 时，1如图 1 中，
若 PQ⊥DF，则有 Rt△QDP∽Rt△FCD，
∴PDQD=CDCF，即 t3t−3=12，
∴t=3，3>53，
∴ 此时 t 不合题意．
当点 Q 在 CO 上时，2<3t−3≤8，53如图 2 中，过点 P 作 PK⊥OC 于点 K，
∴CK=PD=t，CQ=3t−1−2=3t−5，QK=CK−CQ=t−3t−5=−2t+5，
若 PQ⊥DF，则有 Rt△PKQ∽Rt△FCD，
∴QKPK=CDCF，即 −2t+52=24，
∴t=2，
∵53 ∴t=2 符合题意．
当点 Q 在 OE 上时，即 8≤3t−3≤10，113≤t≤133 时，
如图 3 中，若 PQ⊥DF，过点 Q 作 QG∥DF 交 DE 于点 G，
则 QG⊥QP，即 ∠GQP=90∘，
∴∠QPE>90∘，这与 △QPE 内角和为 180∘ 矛盾，此时 PQ 不与 DF 垂直，
综上所述：当 t=2 时，有 PQ⊥DF．
（3） 满足条件的点 M 坐标为 195,85 或 35,−245 或 7,8 或 53,−83．
【解析】如图 4 中，构造等腰直角三角形 △AEB，△AFB，使得 AE=EB=AF=BF，∠AEB=∠AFB=90∘，分别以点 E，F 为圆心 EA 为半径画圆交直线 BC 于点 M3，M4，
则 ∠AM3B=∠AM4B=45∘，
∵ 直线 BC 的解析式为 y=2x−6，E1,2，F1,−2，设 Mm,2m−6，
由 EM3=EA=22，可得 m−12+2m−82=8，解得 m=3舍去或195，
∴M3195,85，同法可得 M435,−245，
分别延长 AE，AF 交直线 BC 于点 M1，M2，此时 ∠M1AB=∠M2AB=45∘，
∵ 直线 AE 的解析式为 y=x+1，
由 y=x+1,y=2x−6 解得 x=7,y=6,
∴M17,8，同法可得 M253,−83，
综上所述，满足条件的点 M 坐标为 195,85 或 35,−245 或 7,8 或 53,−83．
28. （1） CB 的延长线上；a+b
【解析】∵ 点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=a，AB=b，
∴ 当点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 BC+AB=a+b．
（2） ① CD=BE，
理由：
∵△ABD 与 △ACE 是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60∘，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即 ∠CAD=∠EAB，
在 △CAD 与 △EAB 中，
AD=AB,∠CAD=∠EAB,AC=AE,
∴△CAD≌△EABSAS，
∴CD=BE；
② ∵ 线段 BE 长的最大值 = 线段 CD 的最大值，
∴ 由（1）知，当线段 CD 的长取得最大值时，点 D 在 CB 的延长线上，
∴ 最大值为 BD+BC=AB+BC=3+6=9．
（3） 如图 1，连接 BM，
∵ 将 △APM 绕着点 P 顺时针旋转 90∘ 得到 △PBN，连接 AN，则 △APN 是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM，
∵A 的坐标为 2,0，点 B 的坐标为 5,0，
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴ 线段 AM 长的最大值 = 线段 BN 长的最大值，
∴ 当点 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值，
最大值 =AB+AN，
∵AN=2AP=22，
∴ 最大值为 22+3；
如图 2，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，
∵△APN 是等腰直角三角形，
∴PE=AE=2，
∴OE=BO−AB−AE=5−3−2=2−2，
∴P2−2,2．
②如图 4 中，
以 BC 为边作等边三角形 △BCM，等边三角形 ABD，
∵∠ABD=∠CBM=60∘，
∴∠ABC=∠DBM，
∵AB=DB，BC=BM，
∴△ABC≌△DBMSAS，
∴AC=MD，
∴ 欲求 AC 的最大值，只要求出 DM 的最大值即可，
∵BC=42=定值，∠BDC=90∘，
∴ 点 D 在以 BC 为直径的 ⊙O 上运动，
由图象可知，当点 D 在 BC 上方，DM⊥BC 时，DM 的值最大，最大值 =22+26，
∴AC 的最大值为 22+26．