2021年江苏省无锡市锡山区中考数学一模试卷（word版 含答案）

这是一份2021年江苏省无锡市锡山区中考数学一模试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省无锡市锡山区中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2． 函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．24，25 B．24，24 C．25，24 D．25，25
6．已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
7．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，平行于y轴的直线分别交与的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是

A．16 B．15 C．14 D．13

二、填空题
11．因式分解： =___．
12．人均是衡量一个地区经济繁荣程度的重要指标，2020年无锡市的人均约为187700元，其中数据187700用科学记数法表示为__．
13．圆锥的母线长为6cm，底面圆半径为4cm，则这个圆锥的侧面积为_____ cm2．
14．请写出“两直线平行，同位角相等”的逆命题：_____________________________．
15．如图，在中，为直径，为圆上一点，若，则的度数为__．

16．如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是___________．

17．如图，矩形中，为边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，连接交于点，连接．若，，则__．

18．如图，在第一象限，其面积为16，点从点出发，沿的边从运动一周，在点运动的同时，作点关于原点的对称点，再以为边作等边三角形，点在第二象限，点随点运动所形成的图形的面积为__．

19．如图①，将□ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0,4），直线MN：沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被□ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图②所示．
（1）填空：点C的坐标为 ；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？ ；（填“B”或“D”）
（2）点B的坐标为 ，n＝ ，a＝ ；
（3）在平移过程中,求该直线扫过□ABCD的面积y与t的函数关系式．


三、解答题
20．（1）计算：.
（2）化简：.
21．（1）解方程：．
（2）解不等式组：．
22．如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．

23．随着延时服务的全面展开，某校组织了丰富多彩的社团活动，小红和小明分别打算从以下四个社团：、3D制作打印，、趣味数学，、文学欣赏，、乐高机器人中，选择一个社团参加．
（1）小红选择趣味数学的概率为　　．
（2）用画树状图或列表的方法求小红和小明选择同一个社团的概率．
24．随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t（单位：），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表．
在线阅读时间频数分布表
组别
在线阅读时间t
（人数）
A

4
B

8
C

a
D

16
E

2


根据以上图表，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有______人，______，_____；
（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；
（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于?
25．如图，已知点是中边上的一点，点位于线段上，利用直尺（无刻度）和圆规求作，使过点且与相切．

26．如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．

（1）求证：；
（2）若，求的值．
27．2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数（人）与时间（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9-15表示）
时间（分钟）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9~15
人数（人）
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810

（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
28．如图，抛物线y＝14x2＋bx＋c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A(－3，0)和B．将抛物线y＝14x2＋bx＋c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1，A1为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．
(1)写出点B的坐标及求原抛物线的解析式：
(2)求证A，M，A1三点在同一直线上：
(3)设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大．如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．



参考答案
1．C
【分析】
由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】
∵，∴的倒数是.
故选C
2．B
【详解】
根据题意得：2x−4⩾0，
解得：x⩾2.
故选B.
3．D
【分析】
直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
【详解】
解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．B
【分析】
根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．掌握概念是解题关键．
5．A
【分析】
根据平均数的计算公式和中位数的定义分别进行解答即可．
【详解】
解：这组数据的平均数是：（21+23+25+25+26）÷5=24；
把这组数据从小到大排列为：21，23，25，25，26，最中间的数是25，则中位数是25；
故应选：A．
【点睛】
此题考查了平均数和中位数，掌握平均数的计算公式和中位数的定义是本题的关键．
6．B
【分析】
将方程的解代入方程2x-ay=6得到关于a的一元一次方程，解之即可．
【详解】
∵是方程的一个解，
∴4+a=6，
解得：a=2，
故选B．
【点睛】
考查了二元一次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．
7．D
【分析】
根据俯视图是从上面看到的图形解答即可．
【详解】
从上面看，左边和中间都是2个正方形，右上角是1个正方形，
故选D．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，关键是找准俯视图所看的方向．
8．B
【分析】
设A的坐标为（x，），B的坐标为（x，），然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：设A的坐标为（x，），B的坐标为（x，），
∴S△ABC==，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数和几何综合，设出A，B的坐标是解题关键．
9．A
【分析】
如图，取的中点，连接，，，DE由，推出，因为，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】
如图，取的中点，连接，，，DE．

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：A．
【点睛】
本题是一个动点问题，考查了矩形、圆、三角形相似的判定和性质、两点间线段最短等知识，本题的难点是点G的运动轨迹的探索，关键是构造两个相似的三角形．
10．C
【详解】
根据在OB上的两个交点之间的距离为，根据勾股定理可知两交点的横坐标的差为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解：
如图，

开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，
然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，
∴一共有7条抛物线．
同理可得开口向上的抛物线也有7条．
∴满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．故选C．
11．．
【详解】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：．
12．
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
13．24π
【详解】
试题解析：∵圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
∴圆锥的侧面积=×8π×6=24π（cm2）．
14．如果同位角相等，那么两直线平行
【分析】
命题是由题设和结论两部分组成的，把原命题的题设作结论，原命题的结论作题设，这样就将原命题变成了它的逆命题．
【详解】
解：原命题是：两直线平行，同位角相等．
改成如果…那么…的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等．
∴逆命题为：如果同位角相等，那么两直线平行，
故答案为：如果同位角相等，那么两直线平行．
【点睛】
本题是一道命题与定理的概念试题，考查了命题的组成，原命题与逆命题的关系．
15．52°
【分析】
根据等腰三角形的性质得出，求出，再根据圆周角定理求出，再求出答案即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
16．
【分析】
根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC=30°，∠B=∠BCD=120°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∵CD=3，
∴AD=2CD=6，
∴图中阴影部分的面积=S四边形ADEF+S扇形DAD′-S四边形AF′E′D′，
∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，
∴S四边形ADEF=S四边形AD′E′F′
∴图中阴影部分的面积=S扇形DAD′=
故答案为：3π．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
17．
【分析】
由折叠的性质得出，由条件得出，设，，由勾股定理得出，得出，则可得出答案．
【详解】
解：∵将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，
∴，
∵矩形中，，
∴四点共圆，
∴
∴，
设，，
∴，
∴，
∴AB=AE+BE=5x，
∴ ．
由折叠可得：是的垂直平分线，
∵∠BAD=∠ABF=90°,
∵∠BAF+∠DAF=90°, ∠ADE+∠DAF=90°,
∴∠DAF=∠ADE
∴，
∴,
∴ ，
解得AD× ．
AD=3x，
在中， ，
∴ ，

=-1（舍去），
∴AD=3x=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
18．48
【分析】
如图，设点对应的的点分别为，则是等边三角形，得出，同理可得，又，则，进一步可得，同理可得，，所以的面积是的3倍．即点随点运动所形成的图形的面积为48．
【详解】
解：如图，
∵点从点出发，沿的边从运动一周，且点关于原点与点对称，
∴点随点运动所形成的图形是关于的中心对称图形，
以为边作等边，点对应的的点分别为，
∵是等边三角形，
∴，
同理，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
同理，，，
∴的面积，
即点随点运动所形成的图形的面积为48．
故填：48．

【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，确定和的关系成为解答本题的关键．
19．（1）C（3，0），B；
（2）B（-2，0）， n=4，a=；
（3）当0≤t≤5时，y=0；当5＜t≤10时，y=；当10＜t≤时，y=t－18；当＜t＜时，y=20－；当t≥时，y=20．
【详解】
试题分析：根据题意得出点C、点B以及n和a的值；将t分成0≤t≤5、5＜t≤10、10＜t≤、＜t＜、t≥五种情况进行分别计算．
试题解析：（1）C（3，0），B
（2）由上面分析，结合图②，B（-2，0）， n=4，
（3）当时，
当，如图，该直线与BC、CD分别交于F、E，FC=t-5,有△CEF∽△COD，
当，直线与AB、CD分别交于G、E，与射线CB交于F,
这时，△CEF∽△COD∽△BGF,，
当,该直线与AB、AD分别交于G、E，与射线CB交于F,关键是求ED,这里考虑该直线过点D的时间是 ，ED∥BC，ED=

当

考点：二次函数的性质、三角形相似．
20．（1）;（2）.
【分析】
（1）先去绝对值、化简二次根式、零指数幂、特殊角的三角函数值，然后计算加减法．
（2）利用完全平方公式和单项式乘多项式法则解答．
【详解】
（1）
=
=
（2）.
=
.
【点睛】
考查实数的运算，完全平方公式，单项式乘多项式等知识点，注意：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，有时利用乘法结合律、加法结合律进行简便运算．
21．（1）；（2）
【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】
解：（1）分式方程变形得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
则分式方程的解为；
（2），
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】
此题考查了解分式方程，分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．证明见解析
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠B=∠DCF，
∵在△ABE和△DCF中，AB=DC，∠B=∠DCF，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠BAE=∠CDF．
23．（1）；（2）
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小红和小明选同一个社团的有4种结果，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）小红选择趣味数学的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小红和小明选同一个社团的有4种结果，
∴P（小明和小红选择同一个社团）=．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．（1）50，20，8；（2）115.2°；（3）722
【分析】
（1）根据B组人数和所占百分比求出被调查的学生总数，再根据C组所占百分比求出a值，最后根据A组人数求出所占百分比；
（2）求出D组所占百分比，再乘以360°即可；
（3）用样本中在线阅读时间不少于的总人数除以50，再乘以全校总人数即可.
【详解】
解：（1）∵B组的人数为8人，所占百分比为16%，
∴被调查的同学共有8÷16%=50人，
a=50×40%=20人，4÷50×100%=8%，
∴m=8，
故答案为：50，20，8；
（2）（1-40%-16%-8%-4%）×360°=115.2°，
则扇形统计图中扇形D的圆心角的度数为：115.2°；
（3）950×=722人，
∴全校有722学生平均每天的在线阅读时间不少于.
【点睛】
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．见解析
【分析】
作法：过点D作DF⊥AB交AC于点F，作∠AFD的角平分线交AB与点O，以点O为圆心OD的长为半径作圆O即为所求．
【详解】
解：如图，即为所求作．

【点睛】
考查作图-复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用同弧所对的圆周角相等可得，由得，根据等角对等边可得结论；
（2）先证明，，由ASA证明，得，；再求，，再证明得，利用可得结论.
【详解】
解：（1）在中，∵与都是所对的圆周角，
∴，
∵，
∴．
∴．

（2）∵是的切线，是的直径，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴．
∵
∴，
∴，．
在中，∵，，
∴，即．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∵，且，
∴，
∴，即．
∵与都是所对的圆周角，
∴．
在中，，
∴，即．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地识别图形是解题的关键．
27．（1）；（2）队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；（3）至少增加2个检测点
【分析】
（1）先根据表中数据的变化趋势猜想：①当时，是的二次函数．根据提示设出抛物线的解析式，再从表中选择两组对应数值，利用待定系数法求函数解析式，再检验其它数据是否满足解析式，从而可得答案；
（2）设第分钟时的排队人数是，列出与第分钟的函数关系式，再根据函数的性质求排队的最多人数，利用检测点的检测人数列方程求解检测时间；
（3）设从一开始就应该增加个检测点，根据题意列出不等式，利用不等式在正整数解可得答案．
【详解】
解：（1）根据表中数据的变化趋势可知：
①当时，是的二次函数．
∵当时，，
∴二次函数的关系式可设为．
当时，；当时，．
将它们分别代入关系式得
解得．
∴二次函数的关系式为．
将表格内的其他各组对应值代入此关系式，均满足．
②当时，．
∴与的关系式为．
（2）设第分钟时的排队人数是，根据题意，得

①当时，．
∴当时，．
②当时，，随的增大而减小，
∴．
∴排队人数最多时是490人．
要全部考生都完成体温检测，根据题意，
得，
解得．
∴排队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟．
（3）设从一开始就应该增加个检测点，
根据题意，得，
解得．
∵是整数，
∴的最小整数是2．
∴一开始就应该至少增加2个检测点．
【点睛】
本题考查的根据实际的数据探究各数据符合的函数形式，同时考查待定系数法求解函数解析式，考查二次函数的实际应用及二次函数的性质，同时考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握以上知识是解题的关键．
28．（1）（2）见试题解析；（3）∴点P的坐标为（，-7）使四边形PM1MD的面积最大，面积最大值为
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线的对称性即可写出B的坐标，根据对称轴是直线x=1，与x轴的交点为A（-3，0）代入即可得到方程组-b2×14=114×9-3b+c=0，解方程组即可求出b、c的值，即可得到答案；
（2）把x=1代入抛物线解析式即可得到M的坐标，根据旋转和图象即可求出M1、A1的坐标，设直线AM的表达式为y=kx+m，把A、M的坐标代入即可求出直线AM的解析式，根据以此函数图象上点的坐标特征确定点A1在直线AM上即可得到结论；
（3）连接M1D，如图，由于S△M1MD是定值，则要使四边形PM1MD的面积最大，只要S△M1PD最大，将△M1PD绕点B顺时针旋转90°，则点M1与点M重合，点P与点Q重合，点D与点F重合，利用旋转变换得点F的坐标为（-5，5），设点Q的坐标为（m，14m2-12m-154），易得直线MF的表达式为y=-32x-52，则根据三角形面积公式得到S△PDM1=S△QMF=12⋅（-32m-52-14m2+12m+154）×（5+1）=-34(m+2)2+274，根据二次函数的性质得当m=-2时，当m=-2时，S△M1PD最大=274，则点Q（-2，-74），利用旋转变换得点P的坐标为（274，-7），然后计算S△DM1M的面积=24，再计算出四边形PM1MD的面积为24+274=1234．
试题分析：（1）解：∵点B与点A（-3，0）关于直线x=1对称，
∴点B的坐标为（5，0），与x轴的交点为A（-3，0）代入即可得到方程组-b2×14=114×9-3b+c=0，解得；
（2）点M1的坐标为（9，-4），点A1的坐标为（5，-8），设直线AM的表达式为y=kx+m，把A（-3，0），M（1，-4）代入解得，直线AM的解析式为y=-x-3，当x=5代入y=-x-3=-8，∴点A1在直线AM上，∴∠AMA1=180°；
（3）解：存在点P使四边形PM1MD的面积最大．
连接M1D，如图，∵S△M1MD是定值，∴要使四边形PM1MD的面积最大，只要S△M1PD最大，将△M1PD绕点B顺时针旋转90°，则点M1与点M重合，点P与点Q重合，点D与点F重合，则点Q，F都在抛物线y=上，由于F点的纵坐标为5，当y=5时，解得x1=-5，x2=7（舍去），∴点F的坐标为（-5，5），设点Q的坐标为（m，）易得直线MF的表达式为y=
∴S△PDM1=S△QMF==
当m=-2时，S△M1PD最大=274∴点Q（-2，∴点P的坐标为（274，-7），
∵点M的坐标为（1，-4），点M1的坐标为（9，-4），D（0，-10），
∴S△DM1M的面积=24，∴四边形PM1MD的面积为24+274=1234，∴点P的坐标为（274，-7）使四边形PM1MD的面积最大，面积最大值为1234．

考点：二次函数综合题