高考数学一轮复习 第3章 第7节 课时分层训练23

这是一份高考数学一轮复习 第3章 第7节 课时分层训练23，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课时分层训练(二十三)正弦定理、余弦定理应用举例A组　基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图3­7­9所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　) 【导学号：31222135】图3­7­9A．a km 　　　　　　 B.a kmC.a km D．2a kmB　[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝a.]2．如图3­7­10，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)图3­7­10A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°D　[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) 【导学号：31222136】A．10海里 B．10海里C．20海里 D．20海里A　[如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．]4．如图3­7­11，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为  (　　)图3­7­11A．8 km/h B．6 km/hC．2 km/h D．10 km/hB　[设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.]5．如图3­7­12，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为  (　　)图3­7­12A．30°  B．45°C．60° D．75°B　[依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]二、填空题6．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米． 【导学号：31222137】16　[如图所示，设BD＝x m，则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，整理得x2－10x－96＝0，x＝－6(舍去)，x＝16，∴x＝16(米)．]7．如图3­7­13，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米. 【导学号：31222138】图3­7­1310　[在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10(米)．]8．如图3­7­14所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．图3­7­14　[由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，所以海轮航行的速度为＝(海里/分钟)．]三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)图3­7­15[解]　在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80.3分在△ABC中，＝，∴BC＝＝＝40.6分在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 60°＝(80)2＋(40)2－2×80×40×＝9 600.∴DC＝40，航模的速度v＝＝2米/秒.   12分10．如图3­7­16，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．图3­7­16(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解]　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.3分在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为＝14海里/小时.7分(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，9分即sin α＝＝＝.12分B组　能力提升(建议用时：15分钟)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 (　　) 【导学号：31222139】A．50 m B．100 mC．120 m D．150 mA　[设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos  60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m．]2．(2014·全国卷Ⅰ)如图3­7­17，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.图3­7­17150　[根据图示，AC＝100 m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝⇒AM＝100 m.在△AMN中，＝sin 60°，∴MN＝100×＝150(m)．]3．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．图3­7­18[解]　在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100，连接QM(图略)，在△PQM中，∠QPM＝60°，3分又PQ＝100，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100.6分在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，∴BQ＝100，cos θ＝.9分在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100)2，∴BA＝100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100米.12分