高考数学一轮复习 第7章 第4节 课时分层训练41

这是一份高考数学一轮复习 第7章 第4节 课时分层训练41，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )
【导学号：31222255】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β，且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．]
2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
图7­4­5
A．①③ B．②③
C．①④D．②④
C [对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]
3．(2017·山东济南模拟)如图7­4­6所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
图7­4­6
A．异面 B．平行
C．相交D．以上均有可能
B [在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1.
∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC.
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，
∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.]
4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
B [若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．]
5．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为( )
【导学号：31222256】
A．3B．2
C．1D．0
C [①中，当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l，m；②中，l与m也可能异面；③中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l∥γ，,l⊂α，,α∩γ＝n))⇒l∥n，同理，l∥m，则m∥n，正确．]
二、填空题
6．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：
①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号).
【导学号：31222257】
②④ [在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．
由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．
在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，从而α∥β，④满足．]
7．如图7­4­7所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
图7­4­7
eq \r(2) [在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，
∴AC＝2eq \r(2).
又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，
平面ADC∩平面AB1C＝AC，
∴EF∥AC，∴F为DC中点，
∴EF＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(2).]
8．(2016·衡水模拟)如图7­4­8，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
图7­4­8
平面ABC，平面ABD [连接AM并延长交CD于E，则E为CD的中点．
由于N为△BCD的重心，
所以B，N，E三点共线，
且eq \f(EM,MA)＝eq \f(EN,NB)＝eq \f(1,2)，所以MN∥AB.
于是MN∥平面ABD且MN∥平面ABC.]
三、解答题
9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图7­4­9所示．
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．
图7­4­9
[解] (1)点F，G，H的位置如图所示.5分
(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：
因为ABCD­EFGH为正方体，
所以BC∥FG，BC＝FG.7分
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，
于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.9分
又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
所以BE∥平面ACH.
同理BG∥平面ACH.
又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.12分
10．(2017·西安质检)如图7­4­10，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.
图7­4­10
求证：(1)DE∥平面AA1C1C；
(2)BC1⊥AB1.
[证明] (1)由题意知，E为B1C的中点，
又D为AB1的中点，因此DE∥AC.2分
又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.5分
(2)因为棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.7分
因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.10分
因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，
因此BC1⊥B1C.
因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，
所以BC1⊥平面B1AC.
又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是
( ) 【导学号：31222258】
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
C [因为截面PQMN是正方形，
所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，
由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，
同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，
则AC⊥BD，故A，B正确．
又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]
2．如图7­4­12所示，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．
图7­4­12
1 [设BC1∩B1C＝O，连接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，
∴A1B∥OD.
∵四边形BCC1B1是菱形，
∴O为BC1的中点，
∴D为A1C1的中点，
则A1D∶DC1＝1.]
3．如图7­4­13所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为PA，AC的中点．
图7­4­13
(1)求证：DE∥平面PBC.
(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：∵点E是AC中点，点D是PA的中点，∴DE∥PC.2分
又∵DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.5分
(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.7分
证明如下：
取AB的中点F，连接EF，DF.
由(1)可知DE∥平面PBC.
∵点E是AC中点，点F是AB的中点，
∴EF∥BC.10分
又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴EF∥平面PBC.
又∵DE∩EF＝E，
∴平面DEF∥平面PBC，
∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．
故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行.12分