高考数学一轮复习 第3章 第6节 课时分层训练22

这是一份高考数学一轮复习 第3章 第6节 课时分层训练22，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
【导学号：31222130】
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
B [由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝eq \f(π,2).]
2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
【导学号：31222131】
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
C [由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(40×\f(\r(,3),2),20)＝eq \r(,3)＞1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]
3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝eq \r(,13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cs 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]
4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝eq \r(,3)，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(\r(,3),4)B.eq \f(3,4)
C.eq \f(\r(,3),2)D.eq \f(3,2)
B [依题意得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，C＝60°，因此△ABC的面积等于eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×eq \r(,3)×eq \f(\r(,3),2)＝eq \f(3,4)，故选B.]
5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝eq \f(π,4)，BC边上的高等于eq \f(1,3)BC，则sin A＝( )
A.eq \f(3,10)B.eq \f(\r(,10),10)
C.eq \f(\r(,5),5)D.eq \f(3\r(,10),10)
D [过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝eq \f(a,3).∵B＝eq \f(π,4)，∴AD＝BD，∴BD＝AD＝eq \f(a,3)，DC＝eq \f(2,3)a，∴AC＝eq \r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2)＝eq \f(\r(,5),3)a，在△ABC中，由正弦定理得eq \f(a,sin∠BAC)＝eq \f(\f(\r(,5),3)a,sin 45°)，
∴sin ∠BAC＝eq \f(3\r(,10),10)，故选D.]
二、填空题
6．(2017·郴州模拟)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cs B＝__________.
eq \f(\r(,6),3) [由正弦定理可得eq \f(15,\f(\r(,3),2))＝eq \f(10,sin B)，所以sin B＝eq \f(\r(,3),3)，再由b＜a，可得B为锐角，
所以cs B＝eq \r(,1－sin2B)＝eq \f(\r(,6),3).]
7．(2016·青岛模拟)如图3­6­1所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq \f(2\r(2),3)，AB＝3eq \r(2)，AD＝3，则BD的长为________．
图3­6­1
eq \r(3) [∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cs∠BAD＝eq \f(2\r(2),3)，
∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD－2AB·ADcs∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3eq \r(2)×3×eq \f(2\r(2),3)＝3，
∴BD＝eq \r(3).]
8．已知△ABC中，AB＝eq \r(,3)，BC＝1，sin C＝eq \r(,3)cs C，则△ABC的面积为________. 【导学号：31222132】
eq \f(\r(,3),2) [由sin C＝eq \r(,3)cs C得tan C＝eq \r(,3)＞0，所以C＝eq \f(π,3).
根据正弦定理可得eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AB,sin C)，即eq \f(1,sin A)＝eq \f(\r(,3),\f(\r(,3),2))＝2，
所以sin A＝eq \f(1,2).因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝eq \f(π,6)，所以B＝eq \f(π,2)，即三角形为直角三角形，
故S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(,3)×1＝eq \f(\r(,3),2).]
三、解答题
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cs B＝eq \f(3,5). 【导学号：31222133】
(1)求b的值；
(2)求sin C的值．
[解] (1)因为b2＝a2＋c2－2accs B＝4＋25－2×2×5×eq \f(3,5)＝17，所以b＝eq \r(,17).5分
(2)因为cs B＝eq \f(3,5)，所以sin B＝eq \f(4,5)，7分
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得eq \f(\r(,17),\f(4,5))＝eq \f(5,sin C)，
所以sin C＝eq \f(4\r(,17),17).12分
10．(2017·云南二次统一检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m＝(sin B,5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直．
(1)求sin A的值；
(2)若a＝2eq \r(,2)，求△ABC的面积S的最大值．
[解] (1)∵m＝(sin B,5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直，∴m·n＝5sin2B－6sin Bsin C＋5sin2C－5sin2A＝0，
即sin2B＋sin2C－sin2A＝eq \f(6sin Bsin C,5).3分
根据正弦定理得b2＋c2－a2＝eq \f(6bc,5)，
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(3,5).
∵A是△ABC的内角，
∴sin A＝eq \r(,1－cs2A)＝eq \f(4,5).6分
(2)由(1)知b2＋c2－a2＝eq \f(6bc,5)，
∴eq \f(6bc,5)＝b2＋c2－a2≥2bc－a2.8分
又∵a＝2eq \r(,2)，∴bc≤10.
∵△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(2bc,5)≤4，
∴△ABC的面积S的最大值为4.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·山东高考)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )
A.eq \f(3π,4)B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,4)D.eq \f(π,6)
C [∵b＝c，∴B＝C.
又由A＋B＋C＝π得B＝eq \f(π,2)－eq \f(A,2).
由正弦定理及a2＝2b2(1－sin A)得
sin2A＝2sin2B(1－sin A)，
即sin2A＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))(1－sin A)，
即sin2A＝2cs2eq \f(A,2)(1－sin A)，
即4sin2eq \f(A,2)cs2eq \f(A,2)＝2cs2eq \f(A,2)(1－sin A)，
整理得cs2eq \f(A,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－sin A－2sin2\f(A,2)))＝0，
即cs2eq \f(A,2)(cs A－sin A)＝0.
∵0＜A＜π，∴0＜eq \f(A,2)＜eq \f(π,2)，∴cs eq \f(A,2)≠0，
∴cs A＝sin A．又0＜A＜π，∴A＝eq \f(π,4).]
2．如图3­6­2，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为________．
图3­6­2
eq \f(5\r(,6),2) [在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，
由余弦定理得cs ∠ADC＝eq \f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝－eq \f(1,2)，
所以∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得eq \f(AB,sin ∠ADB)＝eq \f(AD,sin B)，
所以AB＝eq \f(5\r(,6),2).]
3．在△ABC中，cs C是方程2x2－3x－2＝0的一个根．
(1)求角C；
(2)当a＋b＝10时，求△ABC周长的最小值．
[解] (1)因为2x2－3x－2＝0，所以x1＝2，x2＝－eq \f(1,2).2分
又因为cs C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，
所以cs C＝－eq \f(1,2)，所以C＝eq \f(2π,3).5分
(2)由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－2ab·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝(a＋b)2－ab，7分
则c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75，
当a＝5时，c最小且c＝eq \r(,75)＝5eq \r(,3)，此时a＋b＋c＝10＋5eq \r(,3)，
所以△ABC周长的最小值为10＋5eq \r(,3).12分