2020届高考数学一轮复习课时训练：第8章 立体几何 41(含解析)
展开【课时训练】第41节 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
一、选择题
1.(2018唐山统考)若向量a=(2x,1,3)，b=(1,3,9)，如果a与b为共线向量，则( )
A.x=1 B.x=
C.x= D.x=－
答案为：C
解析：∵a与b共线，∴==.
∴x=.
2.(2018鞍山模拟)已知向量a=(2,3，－4)，b=(－4，－3，－2)，b=x－2a，则x= ( )
A.(0,3，－6) B.(0,6，－20)
C.(0,6，－6) D.(6,6，－6)
答案为：B
解析：由b=x－2a，得x=4a＋2b=(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)=(0,6，－20).
3.(2018珠海模拟)空间四点A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为( )
A.共线 B.共面
C.不共面 D.无法确定
答案为：C
解析： =(2,0，－4)，=(－2，－3，－5)，=(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使=λ成立，知A，B，C不共线，故A，B，C，D不共线；假设A，B，C，D共面，则可设=x＋y (x，y为实数)，
即由于该方程组无解，故A，B，C，D不共面.故选C.
4.(2018山东德州模拟)已知a=(2,1，－3)，b=(－1,2,3)，c=(7,6，λ).若a，b，c三向量共面，则λ=( )
A.9 B.－9
C.－3 D.3
答案为：B
解析：由题意，知c=xa＋yb，即(7,6，λ)=x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
∴解得λ=－9.
5.(2018合肥模拟)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
答案为：C
解析：·=(＋)·=(·＋·)=(a2cos 60°＋a2cos 60°)=a2.
6.(2018武汉模拟)若平面α，β的法向量分别为n1=(2，－3,5)，n2=(－3,1，－4)，则( )
A.α∥β B.α⊥β
C.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确
答案为：C
解析：∵n1·n2=2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)=－29≠0，∴n1与n2不垂直.又n1，n2不共线，∴α与β相交但不垂直.
7.(2018河北邯郸一模)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是( )
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b＋c D.a－b＋c
答案为：A
解析：=＋=＋(－)=c＋(b－a)=－a＋b＋c.
8.(2018安徽安庆二模)如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A. B.
C.1 D.
答案为：D
解析：∵=＋＋，∴||2=||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·=1＋1＋1－=3－.故||=.
二、填空题
9.(2018四川宜宾模拟)已知向量a=(1,2，－2)，b=(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________.
答案为：－
解析：cos〈a，b〉==－.
10.(2018菏泽模拟)在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足点Q的坐标为________________.
答案为：(0，，)
解析：由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足点Q的坐标为(0，，).
11.(2018山东淄博模拟)已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1).若=2，则||的值是________.
答案为：
解析：设点P的坐标为(x，y，z)，∴=(x－1，y－2，z－1)，=(－1－x,3－y,4－z)，由=2，得点P的坐标为，又D(1,1,1)，∴||=.
12.(2018柳州模拟)在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________.
答案为：2
解析：由题意知·=0，||=||，又=(6，－2，－3)，=(x－4,3，－6)，
∴解得x=2.
三、解答题
13.(2018河北八市重点高中质检)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点.
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.
【证明】(1)连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.连接SO，由题意，知SO⊥平面ABCD.
以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.
设底面边长为a，则高SO=a，
于是S，D，
B，C，则=，=，
所以·=0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.
(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.理由如下：
由已知条件，知是平面PAC的一个法向量，且=， =，=.
设=t，则=＋=＋t=，
而·=0⇒t=，
即当SE∶EC=2∶1时，⊥.
而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.
