高考数学一轮复习 第2章 第11节 课时分层训练14

这是一份高考数学一轮复习 第2章 第11节 课时分层训练14，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( )
A．(0,1)B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
A [函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是(0,1)．]
2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图2­11­2所示，则下列叙述正确的是( )
【导学号：31222083】
图2­11­2
A．f(b)＞f(c)＞f(d)
B．f(b)＞f(a)＞f(e)
C．f(c)＞f(b)＞f(a)
D．f(c)＞f(e)＞f(d)
C [依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a)．因此C正确．]
3．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的
( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A [f′(x)＝eq \f(3,2)x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．]
4．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为( )
【导学号：31222084】
A．(－∞，2)B．(－∞，2]
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2)))
D [∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋eq \f(1,x)恒成立．
令g(x)＝x＋eq \f(1,x)，g′(x)＝1－eq \f(1,x2)，
∴当x＞2时，g′(x)＞0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴m≤2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)，故选D.]
5．(2016·湖北枣阳第一中学3月模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )
A．(－1,1)B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)
B [由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1，故选B.]
二、填空题
6．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________.
【导学号：31222085】
单调递增 [在(0,2π)上有f′(x)＝1－cs x＞0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．]
7．函数f(x)＝eq \f(ln x,x)的单调递增区间是________．
(0，e) [由f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln x,x)))′＝eq \f(1－ln x,x2)＞0(x＞0)，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－ln x＞0，,x＞0，))解得x∈(0，e)．]
8．若函数y＝ax＋sin x在R上单调递增，则a的最小值为________．
1 [函数y＝ax＋sin x在R上单调递增等价于y′＝a＋cs x≥0在R上恒成立，即a≥－cs x在R上恒成立，因为－1≤－cs x≤1，所以a≥1，即a的最小值为1.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝eq \f(ln x＋k,ex)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
[解] (1)由题意得f′(x)＝eq \f(\f(1,x)－ln x－k,ex)，
又f′(1)＝eq \f(1－k,e)＝0，故k＝1.5分
(2)由(1)知，f′(x)＝eq \f(\f(1,x)－ln x－1,ex).
设h(x)＝eq \f(1,x)－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－eq \f(1,x2)－eq \f(1,x)＜0，
即h(x)在(0，＋∞)上是减函数.8分
由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；
当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，
单调递减区间是(1，＋∞).12分
10．(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－eq \f(4,3)处取得极值．
(1)确定a的值；
(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．
[解] (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，2分
因为f(x)在x＝－eq \f(4,3)处取得极值，
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝0，
即3a·eq \f(16,9)＋2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝eq \f(16a,3)－eq \f(8,3)＝0，解得a＝eq \f(1,2).5分
(2)由(1)得g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x3＋x2))ex，
故g′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x2＋2x))ex＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x3＋x2))ex
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x3＋\f(5,2)x2＋2x))ex
＝eq \f(1,2)x(x＋1)(x＋4)ex.8分
令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.
当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；
当－40，故g(x)为增函数；
当－1当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．
综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，c＝f(3)，则( ) 【导学号：31222086】
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．c＜a＜bD．b＜c＜a
C [依题意得，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；
又f(3)＝f(－1)，且－1＜0＜eq \f(1,2)＜1，
因此有f(－1)＜f(0)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，
即有f(3)＜f(0)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，c＜a＜b.]
2．(2017·石家庄质检(二))设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＞0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．
(－2,0)∪(2，＋∞) [令g(x)＝eq \f(fx,x)，则g′(x)＝eq \f(xf′x－fx,x2)＞0，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(－x)＝eq \f(f－x,－x)＝eq \f(－fx,－x)＝eq \f(fx,x)＝g(x)，则g(x)是偶函数，g(－2)＝0＝g(2)，则f(x)＝xg(x)＞0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞0，,gx＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜0，,gx＜0，))解得x＞2或－2＜x＜0，故不等式f(x)＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．]
3．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)ax＋b.
(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；
(2)若φ(x)＝eq \f(mx－1,x＋1)－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．
[解] (1)由已知得f′(x)＝eq \f(1,x)，∴f′(1)＝1＝eq \f(1,2)a，a＝2.
又∵g(1)＝0＝eq \f(1,2)a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1.5分
(2)∵φ(x)＝eq \f(mx－1,x＋1)－f(x)＝eq \f(mx－1,x＋1)－ln x在[1，＋∞)上是减函数，
∴φ′(x)＝eq \f(－x2＋2m－2x－1,xx＋12)≤0在[1，＋∞)上恒成立，
即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
则2m－2≤x＋eq \f(1,x)，x∈[1，＋∞).9分
∵x＋eq \f(1,x)∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.
故实数m的取值范围是(－∞，2].12分