高三数学一轮复习： 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性

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1．函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
【导学号：01772032】
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.－eq \f(1,2)
B [依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴b＝0且a＝eq \f(1,3)，则a＋b＝eq \f(1,3).]
3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝eq \r(1＋x2) B.y＝x＋eq \f(1,x)
C．y＝2x＋eq \f(1,2x) D.y＝x＋ex
D [A选项定义域为R，由于f(－x)＝eq \r(1＋－x2)＝eq \r(1＋x2)＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－eq \f(1,x)＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋eq \f(1,2－x)＝eq \f(1,2x)＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝eq \f(1,ex)－x，所以是非奇非偶函数．]
4．(2016·四川高考)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0－2 [∵f(x)是周期为2的奇函数，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－4eq \f(1,2)＝－2，f(2)＝f(0)＝0，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＋f(2)＝－2＋0＝－2.]
5．(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________.
x(1－x) [当x＜0时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，
∴f(x)＝x(1－x)．]
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3－2x；
(2)f(x)＝(x＋1)eq \r(\f(1－x,1＋x))；
(3)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x＞0，,x2－x，x＜0.))
[解] (1)定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)．
∴该函数为奇函数.4分
(2)由eq \f(1－x,1＋x)≥0可得函数的定义域为(－1,1]．
∵函数定义域不关于原点对称，
∴函数为非奇非偶函数.8分
(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，
则当x＜0时，－x＞0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数.12分
[规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：
2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．
[变式训练1] (1)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
(2)判断函数f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)的奇偶性．
(1)C [A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数，A错．
B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，B错．
C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．
D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，D错．]
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，∴x＝±eq \r(3)，3分
即函数f(x)的定义域为{－eq \r(3)，eq \r(3)}，
从而f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)＝0.8分
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.12分
(1)(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋eq \r(a＋x2))为偶函数，则a＝________.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________.
(1)1 (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x，x＞0，,0，x＝0，,－x2－4x，x＜0)) [(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋eq \r(a＋x2))－xln(x＋eq \r(a＋x2))＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.
(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即f(x)＝－x2－4x(x＜0)，
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x，x＞0，,0，x＝0，,－x2－4x，x＜0.))]
[规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；
2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程(组)，从而可得f(x)的值或解析式．
[变式训练2] 设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
【导学号：01772033】
A．－3 B.－1
C．1 D.3
A [因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.]
设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________.
1 009 [∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.
又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1.
∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＝1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.]
[迁移探究1] 若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？
[解] ∵f(x＋1)＝－f(x)，
∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x).5分
故函数f(x)的周期为2.8分
由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.12分
[迁移探究2] 若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝eq \f(1,fx)”，则结论如何？
[解] ∵f(x＋1)＝eq \f(1,fx)，
∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝eq \f(1,fx＋1)＝f(x).5分
故函数f(x)的周期为2.8分
由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.12分
[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．
2．函数周期性的三个常用结论：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a，
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则T＝2a(a＞0)．
[变式训练3] 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.
339 [∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.
∵当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；
当－1≤x＜3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，
f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)＝1×eq \f(2 016,6)＝336.
又f(2 017)＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝3，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339.]
[思想与方法]
1．函数奇偶性的三个常用性质
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(2)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．
(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．利用函数奇偶性可以解决以下问题
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．
3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
[易错与防范]
1．判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．
3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
函数奇偶性的判断
函数奇偶性的应用
函数的周期性及其应用