2020高考数学一轮复习检测：第1章 第5节　函数的奇偶性与周期性(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·唐山二模)函数f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为(　　)

A．－3　　　　　　　　　 B．－1

C．1  D．2

解析：选B.由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2.

∴f(－a)＝2－f(a)＝2－3＝－1，故选B.

2．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)

A．是奇函数，且在R上是增函数

B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数

D．是偶函数，且在R上是减函数

解析：选A.易知函数f(x)的定义域为R且关于原点对称．

∵f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

又∵y＝3x在R上是增函数，y＝－在R上是增函数，

∴f(x)＝3x－在R上是增函数．故选A.

3．(2018·南京模拟)已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f等于(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．2

解析：选D.设g(x)＝ln(－3x)＝f(x)－1，

g(－x)＝ln(＋3x)＝ln＝－g(x)．

∴g(x)是奇函数，

∴f(lg 2)－1＋f－1＝g(lg 2)＋g＝0，

因此f(lg 2)＋f＝2.

4．(2018·荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，则f＝(　　)

A.＋1  B．－1

C．－－1  D．－＋1

解析：选D.因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，f＝1－.

5．(2018·乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A.∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)，

∴f(|2x－1|)＜f，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x－1|＜，∴－＜2x－1＜，解得＜x＜，故选A.

6．已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)＝(　　)

A．－2  B．－1

C．0  D．2

解析：选D.当x＞时，由f＝f可得f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，又由题意知f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝2，故选D.

7．(2018·青岛模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)

A．0＜f(1)＜f(3)  B．f(3)＜0＜f(1)

C．f(1)＜0＜f(3)  D．f(3)＜f(1)＜0

解析：选C.由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，

所以f(3)＝f(－1)．

又f(x)在[0，2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，

即f(1)＜0＜f(3)，故选C.

8．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________．

解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(x)＝－f(－x)，

又∵f(x)的周期为2，

∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋2)＝－f(－x)，

即f(x＋2)＋f(－x)＝0，

令x＝－1，得f(1)＋f(1)＝0，∴f(1)＝0.

又∵f＝f＝－f＝－4＝－2.

∴f＋f(1)＝－2.

答案：－2

9．已知f(x)是奇函数，g(x)＝.若g(2)＝3，则g(－2)＝________．

解析：由题意可得g(2)＝＝3，则f(2)＝1，又f(x)是奇函数，则f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1.

答案：－1

10．(2018·武汉模拟)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：

①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________．

解析：依题意知，函数f(x)为奇函数且周期为2，

所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f

＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f

＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f

＝f＋f(1)＋f(0)

＝2－1＋21－1＋20－1＝.

答案：

B级　能力提升练

11．(2018·莆田模拟)对于函数f(x)＝asin x＋bx3＋cx＋1(a，b，c∈R)，选取a，b，c的一组值计算f(1)，f(－1)，所得出的正确结果可能是(　　)

A．2和1  B．2和0

C．2和－1  D．2和－2

解析：选B.设g(x)＝asin x＋bx3＋cx，显然g(x)为定义域上的奇函数，所以g(1)＋g(－1)＝0，所以f(1)＋f(－1)＝g(1)＋g(－1)＋2＝2，只有B选项中两个值的和为2.

12．(2018·佛山模拟)已知y＝f(x)是偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，而y＝f(x＋1)是奇函数，则a＝f(－3.5)，b＝f(7)，c＝f(12)的大小关系是(　　)

A．c＜b＜a  B．c＜a＜b

C．a＜c＜b  D．a＜b＜c

解析：选B.因为y＝f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，

因为y＝f(x＋1)是奇函数，所以f(x)＝－f(2－x)，

所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)．

所以函数f(x)的周期为4，

又因为当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，所以函数在[0，1]上单调递增，

因为a＝f(－3.5)＝f(－3.5＋4)＝f(0.5)；

b＝f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝f(1)，

c＝f(12)＝f(12－12)＝f(0)，

又因为f(x)在[0，1]上为增函数，

所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即c＜a＜b.

13．(2018·西安模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)  B．(－1，2)

C．(－2，1)  D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：选C.∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2x，∴－f(x)＝x2－2x，∴f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.

14．(2018·河北衡水中学一模)对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝(　　)

A．0  B．2

C．3  D．4

解析：选B.∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．

令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，

即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0.

则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，

即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B.

15．(2018·内蒙古包头模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0，2]上为增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________．

解析：因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，结合f(x)在[0，2]上为增函数，可得函数f(x)的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.

答案：－8

16．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，在区间上是增函数，且函数y＝f(x－3)为奇函数，则(　　)

A．f(－31)＜f(84)＜f(13)

B．f(84)＜f(13)＜f(－31)

C．f(13)＜f(84)＜f(－31)

D．f(－31)＜f(13)＜f(84)

解析：选A.根据题意，函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，则有f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，则函数f(x)为周期为6的周期函数．若函数y＝f(x－3)为奇函数，则f(x)的图象关于点(－3，0)成中心对称，则有f(x)＝－f(－6－x)，又由函数的周期为6，则有f(x)＝－f(－x)，函数f(x)为奇函数．又由函数在区间上是增函数，则函数f(x)在上为增函数，f(84)＝f(14×6＋0)＝f(0)，f(－31)＝f(－1－5×6)＝f(－1)，f(13)＝f(1＋2×6)＝f(1)，则有f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－31)＜f(84)＜f(13)，故选A.

C级　素养加强练

17．(2018·泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1，2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．

解析：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．

令x＝y＝0，

所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，

所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．

所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．

因为f(x)在x∈[－1，0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．

由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以周期T＝4，

即f(x)为周期函数．

f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．

又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，

所以函数关于x＝1对称．

由f(x)在[0，1]上为增函数，又关于x＝1对称，

所以f(x)在[1，2]上为减函数．

由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．

答案：①②③④