高三数学一轮复习： 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性

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1．函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
【导学号：01772032】
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.－eq \f(1,2)
B [依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴b＝0且a＝eq \f(1,3)，则a＋b＝eq \f(1,3).]
3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝eq \r(1＋x2) B.y＝x＋eq \f(1,x)
C．y＝2x＋eq \f(1,2x) D.y＝x＋ex
D [A选项定义域为R，由于f(－x)＝eq \r(1＋－x2)＝eq \r(1＋x2)＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－eq \f(1,x)＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋eq \f(1,2－x)＝eq \f(1,2x)＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝eq \f(1,ex)－x，所以是非奇非偶函数．]
4．(2016·四川高考)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0