人教版新课标A必修3第二章 统计2.3 变量间的相关关系2.3.1变量之间的相关关系达标测试

2.3　变量间的相关关系

课时过关·能力提升

一、基础巩固

1.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是(　　)

A.都可以分析出两个变量的关系

B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系

C.都可以作出散点图

D.都可以用确定的表达式表示两者的关系

解析:由两个变量的数据统计,不能分析出两个变量的关系,A错;不具有线性相关的两个变量不能用一条直线近似地表示它们的关系,更不能用确定的表达式表示它们的关系,B,D错.

答案:C

2.若有一个回归方程为=2-1.5x,则变量x每增加1个单位长度时,变量y(　　)

A.平均增加1.5个单位长度

B.平均增加2个单位长度

C.平均减少1.5个单位长度

D.平均减少2个单位长度

解析:由于回归方程=2-1.5x是关于x的减函数,因此y随x的增加而减少,即排除选项A,B;由于回归方程=2-1.5x的一次项系数为-1.5,因此变量x每增加1个单位长度时,变量y平均减少1.5个单位长度.

答案:C

3.已知x,y的取值如下表:

从散点图(图略)可以看出y与x线性相关,且回归方程为=0.95x+,则=(　　)

A.3.25 B.2.6 C.2.2 D.0

解析:线性回归方程一定经过样本中心点(),由取值表可计算=2,=4.5,知回归方程为=0.95x+,又经过点(2,4.5),代入得=2.6.

答案:B

4.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论不正确的是(　　)

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心()

C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg

D.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg

解析:对A,∵x的系数大于0,∴y与x具有正的线性相关关系,故正确;

对B,由回归直线必过样本中心点(),故B正确;

对C,由单调性知正确;

对D,体重应约为58.79 kg,是估计变量,故D不正确.

答案:D

5.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:

①y与x负相关,且=2.347x-6.423;

②y与x负相关,且=-3.476x+5.648;

③y与x正相关,且=5.437x+8.493;

④y与x正相关,且=-4.326x-4.578.

其中一定不正确的结论的序号是(　　)

A.①② B.②③

C.③④ D.①④

解析:正相关指的是y有随x的增大而增大的趋势,负相关指的是y有随x的增大而减小的趋势,故不正确的为①④.

答案:D

6.由x与y的观测数据求得样本平均数=5,=8.8,且当x=8时,预测y=14.8,则由这组观测数据求得的回归方程是(　　)

A.=x+3.8

B.=2x-1.2

C.=0.5x+10.8

D.=-0.5x+11.3

解析:可设回归方程为=ax+b,因为样本中心点()在回归直线上,即点(5,8.8)在回归直线上,结合点(8,14.8)也在回归直线上,可得解得故回归方程为=2x-1.2,故选B.

答案:B

7.某考察团对全国10个城市的职工人均工资水平x(单位:千元)与居民人均消费水平y(单位:千元)进行统计调查,y与x具有相关关系,回归方程为=0.66x+1.562.若某城市居民人均工资为9 000元,则其居民人均消费水平约为　　　　　千元. 

解析:当x=9千元时,y=0.66×9+1.562=7.502.

答案:7.502

8.已知由样本数据求得的回归直线方程为=1.23x+0.08,且=4.若去掉两个数据点(4.1,5.7)和(3.9,4.3)后重新求得的回归直线l的斜率估计值为1.2,则此回归直线l的方程为　　　　　. 

解析:因为=1.23x+0.08,

所以=1.23×4+0.08=5.

因为去掉两个数据点(4.1,5.7)和(3.9,4.3),而=4,=5,所以剩余样本的中心点为(4,5),所以新回归直线l过点(4,5).

设回归直线l的方程为=1.2x+a,则1.2×4+a=5,解得a=0.2.

故回归直线l的方程为=1.2x+0.2.

答案:=1.2x+0.2

9.某电脑公司有6名产品推销员,其中工作年限与年推销金额数据如下表:

(1)请画出上表数据的散点图;

(2)求年推销金额y关于工作年限x的回归方程;

(3)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额.

.

解:(1)散点图如图所示.

(2)由(1)知y与x具有线性相关关系.

=6,=4,=200,xiyi=134,

∴=0.7,=-0.2.

∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为=0.7x-0.2.

(3)由(2)知,当x=11时,=0.7×11-0.2=7.5.可以估计第6名推销员的年推销金额为7.5万元.

二、能力提升

1.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图①.对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断(　　)

图①　　　　　　　　　　图②

A.变量x与y正相关,u与v正相关

B.变量x与y正相关,u与v负相关

C.变量x与y负相关,u与v正相关

D.变量x与y负相关,u与v负相关

解析:由题图①知,散点图在从左上角到右下角的带状区域内,则变量x与y负相关;由题图②知,散点图在从左下角到右上角的带状区域内,则变量u与v正相关.

答案:C

2.某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表:

由最小二乘法求得回归方程为=0.67x+54.9,现发现表中有一个数据模糊不清,请推断该数据的值为(　　)

A.60 B.62

C.68 D.68.3

解析:由题意可得=30,代入回归方程得=75.

设看不清的数为a,则62+a+75+81+89=75×5,

所以a=68.

答案:C

3.已知x与y之间的几组数据如下表:

假设根据上表数据所得回归直线方程为x+.若某同学根据上表中的最后两组数据(5,2)和(6,0)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是(　　)

A.>b',>a'

B.>b',<a'

C.<b',<a'

D.<b',>a'

解析:由,

得=-,

.

∵b'=-2,a'=12,

∴>b',a'>,故选B.

答案:B

★4.一般来说,一个人脚越长,他的身高就越高.现对10名成年人的脚长x与身高y进行测量,得如下数据(单位:cm):

作出散点图后,发现样本点散落在一条直线附近.经计算得到一些数据:=24.5, =171.5,xiyi=42 595,=6 085,10=42 017.5,10=6 002.5.

某刑侦人员在某案发现场发现一对脚印,量得每个脚印长26.5 cm,则估计案发嫌疑人的身高为　　　　　 cm. 

答案:185.5

5.已知具有线性相关的五个样本点A1(0,0),A2(2,2),A3(3,2),A4(4,2),A5(6,4),用最小二乘法得到回归直线l1的方程为y=bx+a,过点A1,A2的直线l2的方程为y=mx+n,则下列4个结论中,

①m>b,a>n;

②直线l1过点A3;

③(yi-bxi-a)2≥;

④|yi-bxi-a|≥|yi-mxi-n|,

正确结论的序号是　　　　　. 

解析:由所给数据计算可得,=3,=2,回归直线l1的方程为y=0.6x+0.2,过点A1,A2的直线l2的方程为y=x.

①b=0.6,a=0.2,m=1,n=0,则m>b,a>n,故①正确;

②回归直线过样本中心点(3,2),即直线l1过点A3,故②正确;

③代入数据求得(yi-bxi-a)2=0.8,(yi-mxi-n)2=9,故③错误;

④代入数据求得|yi-bxi-a|=1.6,|yi-mxi-n|=5,故④错误.

综上可得,正确结论的序号是①②.

答案:①②

6.某种产品的广告费支出 x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据:

(1)画出散点图;

(2)从散点图中判断销售额与广告费支出有什么样的关系?

解:(1)以x对应的数据为横坐标,以y对应的数据为纵坐标,所作的散点图如图所示:

(2)从图中可以发现广告费支出与销售额之间具有相关关系,并且当广告费支出由小变大时,销售额也大多由小变大,图中的数据大致分布在某条直线的附近,即x与y成正相关关系.

★7.在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验,得到数据列表如下(单位:kg):

(1)画出散点图;

(2)求水稻产量y与施化肥量x之间的回归直线方程;

(3)当施化肥量为60 kg时,对水稻的产量予以估计;

(4)是否施化肥越多产量越高?

解:(1)画出散点图如图:

(2)借助计算器列表如下:

计算得:

≈4.75,

≈399.3-4.75×30≈257.

即得线性回归直线方程为=4.75x+257.

(3)当施化肥量为60 kg时,可以估计水稻产量为542 kg.

(4)由=4.75x+257可知,两个随机变量为正相关,因此产量随施用化肥量的增加而增加.但是从实际问题出发考虑,化肥的施用量应当控制在一定的范围内.