高中数学人教版新课标A必修3第二章 统计2.2 用样本估计总体2.2.2用样本的数字特征估计总体课时训练

2.2.2　用样本的数字特征估计总体的数字特征

课时过关·能力提升

一、基础巩固

1.甲、乙两台机床同时生产一种零件,现要检验它们的运行情况,统计10天中两台机床每天出的次品数.甲:0,1,0,2,2,0,3,1,2,4;乙:2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.则从平均数考虑,甲、乙两台机床出次品数较少的为(　　)

A.甲 B.乙 C.相同 D.不能比较

解析:(0+1+0+2+…+4)=1.5,

(2+3+…+1)=1.2.

.

答案:B

2.某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图如图所示,则其得分的中位数与众数分别为(　　)

A.3与3 B.23与3

C.3与23 D.23与23

解析:中位数是指一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列,处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平均数),从茎叶图中可知中位数为23;众数是指一组数据中出现次数最多的数,从茎叶图中可知23出现了3次,次数最多,因此众数也是23,所以选D.

答案:D

3.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:

90　89　90　95　93　94　93

去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为(　　)

A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8

解析:去掉一个最高分95与一个最低分89后,所得的5个数分别为90,90,93,94,93,所以=92,s2==2.8,故选B.

答案:B

4.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91分.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示.

则7个剩余分数的方差为(　　)

A. B. C.36 D.

解析:∵模糊的数为x,则90+x+87+94+91+90+90+91=91×7,x=4,

∴7个数分别为90,90,91,91,94,94,87,

方差为s2==.

答案:B

5.若数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,则3x1+5,3x2+5,…,3xn+5的平均数和方差分别为(　　)

A.,s2 B.3+5,s2

C.3+5,9s2 D.3+5,9s2+30s+25

答案:C

6.一组样本数据的频率分布直方图如图所示,试估计此样本数据的中位数为(　　)

A.13 B.12 C.11.52 D.

解析:设中位数为a,样本数据落在[2,6)上的频率为0.02×4=0.08,在[6,10)上的频率为0.08×4=0.32,-0.08-0.32=0.1,则0.1=(a-10)×0.09,故a=+10=.

答案:D

7.某班级有50名同学,一次数学测试平均成绩是92,其中学号为前30名的同学平均成绩为90,则后20名同学的平均成绩为　　　　　. 

解析:设学号为31号到50号同学的平均成绩为x,因为平均成绩是92,其中学号为前30名的同学平均成绩为90,所以92×50=90×30+20x,解得x=95.

答案:95

8.甲、乙两人在相同的条件下练习射击,每人打5发子弹,命中的环数如下.

甲:6,8,9,9,8;　乙:10,7,7,7,9.

则两人的射击成绩较稳定的是　　　　　. 

解析:=8,=1.2,=1.6,因为,所以甲稳定.

答案:甲

9.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则x2+y2=　　　　　. 

解析:由平均数为10,得(x+y+10+11+9)×=10,

则x+y=20;

又由于方差为2,则[(x-10)2+(y-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2]×=2,

整理得x2+y2-20(x+y)=-192,

则x2+y2=20(x+y)-192=20×20-192=208.

答案:208

10.某教育集团为了办好人民满意的教育,每年年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意的民主测评(满意度最高分120分,最低分0分,分数越高说明人民满意度越高,分数越低说明人民满意度越低).去年测评的数据如下.

甲校:96,112,97,108,100,103,86,98;

乙校:108,101,94,105,96,93,97,106.

(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数;

(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度的方差;

(3)根据以上数据你认为这两所学校哪所学校人民满意度比较好?

解:(1)甲校人民满意度的平均数为

=100,

甲校人民满意度的中位数为=99;

乙校人民满意度的平均数为

=100,

乙校人民满意度的中位数为=99.

(2)甲校人民满意度的方差

=55.25;

乙校人民满意度的方差

=29.5.

(3)由(1)(2)可知甲、乙两所学校人民满意度的平均数相同、中位数相同,而乙校人民满意度的方差小于甲校人民满意度的方差,所以乙校人民满意度比较好.

二、能力提升

1.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出100名司机,已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间,根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数是(　　)

A.31.6岁 B.32.6岁

C.33.6岁 D.36.6岁

解析:根据所给的信息可知,在区间[25,30)上的数据的频率为1-(0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.2.故中位数在第3组,且中位数估计为30+(35-30)×≈33.6(岁).

答案:C

2.甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学,在一次数学测试中,成绩统计用茎叶图表示,如图.若甲、乙小组的平均成绩分别是,则下列结论正确的是(　　)

A.,甲比乙成绩稳定

B.,乙比甲成绩稳定

C.,甲比乙成绩稳定

D.,乙比甲成绩稳定

解析:根据题中茎叶图可知,甲组5名同学的成绩分别是88,89,90,91,92,乙组5名同学的成绩分别是83,84,88,89,91,可得=90,=87,=2,=9.2,故有,所以甲比乙的成绩稳定,所以选A.

答案:A

3.一次考试成绩的频数分布直方图如图所示,根据该图可估计,这次考试的平均分数为(　　)

A.46分 B.36分

C.56分 D.60分

解析:根据题中频数分布直方图,可估计有4人成绩在[0,20)之间,其考试分数之和为4×10=40;有8人成绩在[20,40)之间,其考试分数之和为8×30=240;有10人成绩在[40,60)之间,其考试分数之和为10×50=500;有6人成绩在[60,80)之间,其考试分数之和为6×70=420;有2人成绩在[80,100]之间,其考试分数之和为2×90=180,由此可知,考生总人数为4+8+10+6+2=30,考试总成绩为40+240+500+420+180=1 380(分),平均分数为=46(分).

答案:A

4.一组数据从小到大的顺序排列为1,2,2,x,5,10,其中x≠5,已知该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的标准差为(　　)

A.9 B.4

C.3 D.2

解析:由题意得该组数据的中位数为(2+x)=1+;众数为2.

∴1+=2×=3,

∴x=4.

∴该组数据的平均数为

(1+2+2+4+5+10)=4,

∴该组数据的方差为s2=[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(10-4)2]=9,

∴该组数据的标准差为3.故选C.

答案:C

5.已知某同学的五次数学成绩分别是121,127,123,a,125,若其平均成绩是124,则这组数据的方差是　　　　　. 

解析:由题意得121+127+123+a+125=5×124,解得a=124,则这组数据的方差是s2=[(121-124)2+(127-124)2+(123-124)2+(124-124)2+(125-124)2]=4.

答案:4

★6.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为　　　　　. 

解析:由题中数据可得=90,=90.

于是[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2,

由,可知乙运动员成绩稳定.故成绩较为稳定的那位运动员的方差为2.

答案:2

★7.已知一组数据的分组和频数如下:[120.5,122.5),2;[122.5,124.5),3;[124.5,126.5),8;[126.5,128.5),4;[128.5,130.5],3.

(1)作出频率分布直方图;

(2)根据频率分布直方图求这组数据的众数和平均数.

解:(1)频率分布表如下:

频率分布直方图如图:

(2)在[124.5,126.5)中的数据最多,取这个区间的中点值作为众数的近似值,得众数为125.5.使用“组中值”求平均数:=121.5×0.1+123.5×0.15+125.5×0.4+127.5×0.2+129.5×0.15 =125.8.