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2019-2020学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级下学期期末数学试卷 解析版
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这是一份2019-2020学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级下学期期末数学试卷 解析版，共32页。试卷主要包含了下列代数式中属于分式的是，下列说法正确的是，如图，△ABC中，A，若点等内容，欢迎下载使用。
1．下列代数式中属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
4．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
6．如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
7．若点（﹣6，y1），（2，y2），（3，y3）都是反比例函数的图象上的点，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，连接AE交BD于点F，若OF＝1，则BF的长为（ ）
A．2B．3C．D．4
9．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．若m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个根，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．﹣3B．3C．﹣1D．1
11．如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程+＝3有非负数解，则所有符合条件的整数m的值之和是（ ）
A．﹣2B．0C．3D．5
12．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，
其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的答案接填在箐题卡中对应横线上．
13．（3分）已知＝，则＝ ．
14．（3分）因式分解：3a3b﹣12ab＝ ．
15．（3分）在同一副扑克牌中，取出牌面数字为6、7、8、9的4张牌，洗匀后背面朝上放在桌上，现从中随机摸出两张牌，则这两张牌上的数字之和为偶数的概率为 ．
16．（3分）我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示．若此时眼睛到食指距离l约为63cm，食指AB长约为7cm，旗杆CD高度为28米，则对方与我军距离d约为 米．
17．（3分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
18．（3分）如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△ABO的面积为6，若双曲线y＝（k＜0）恰好经过线段AB的中点M，则k的值为 ．
19．（3分）某天上午，北关物流公司安排甲、乙两辆货车，各自运送抗疫物资从重庆前往西安，乙车出发半小时后，甲车才出发．甲车在行驶1.5小时后到达接货点，停下来装货．1个小时后，满载物资的甲车在原速基础上，降速20千米/小时继续前进，直到西安．已知甲、乙两车全程以各自的速度匀速行驶，两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间x（小时）之间的关系如图所示，则甲车到达西安时，乙车距离西安还有 千米．
20．（3分）相传在很久以前，北关城外的津南村里有一户做宽面生意的吴姓财主，为了考察两个儿子的数学能力，某日上午各给了兄弟俩一笔相同的款项，让他们分别去同一家瓷器店里买大、中、小三种不同规格的碗，要求三种碗都要买，而且钱必须刚好花完．中午时分，两兄弟带着碗陆续回到家里，管家检查发现都符合要求，吴财主大喜过望．管家点数之后接着汇报：兄弟俩买回来的碗总数是一个两位数，且各自买回来的相同规格的碗数量之差小于4，其中小碗的总数超过23个，总价是中碗总价的，同时是大碗总价的，已知中碗的单价是小碗的2倍，大碗的单价是小碗的3倍，则哥哥所买的中碗比小碗多 个．
三、解答题：（本大题7个小题，21题、22题各8分，其余每题各10分，共66分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
21．（8分）化简下列各式：
（1）（m﹣1）2﹣（m+3）（m﹣3）；
（2）÷（a﹣）．
22．（8分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）若∠ADC＝150°，∠CDF＝50°，求∠EDB的度数．
23．（10分）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如表：
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）目前该校七年级和八年级共有500人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？
（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．
24．（10分）阅读材料：用均值不等式求最值．
已知x、y为非负实数，∵x+y﹣2＝（）2+（）2﹣2＝（﹣）2≥0，∴x+y≥2，当且仅当“x＝y”时，等号成立．我们把不等式x+y≥2（x≥0，y≥0）叫做均值不等式，利用均值不等式可以求一些函数的最值．
例：已知x＞0，求函数y＝2x+的最小值．
解：y＝2x+≥2＝4，当且仅当2x＝，即x＝1时，“＝”成立．
∴当x＝1时，函数有最小值y＝4
根据以上材料，解决下列问题：
（1）当x＞0时，求函数y＝x++1的最小值；
（2）若函数y＝4x+（x＞0，a＞0），当且仅当x＝3时取得最小值，求实数a的值．
25．（10分）描点画图是探究未知函数图象变化规律的一个重要方法，下面是通过描点画图感知函数y＝x图象的变化规律的过程：
请根据学习函数的经验，利用上述表格所反映的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究．
（1）函数y＝x的自变量x的取值范围是 ；
（2）表中是y与x的对应值，则m＝ ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请你先描出点（﹣3，m），然后画出该函数的图象；
（4）若关于x的不等式kx+b＞x的解集是﹣3＜x＜1，则k﹣b的值为 ．
26．（10分）疫情未退，学生到校仍需随身携带口罩等个人防护用品，某商家推出了“经济型”和“豪华型”两种便携式防疫包，“经济型”的售价是“豪华型”的．
（1）六月第一周该商家两种防疫包的总销售额为3600元，“豪华型”的销售额是“经济型”的2倍，销售量比“经济型”多40个，求“经济型”防疫包销售了多少个？
（2）为增加销量，该商家第二周决定将“豪华型”的售价下调a%，“经济型”的售价保持不变，结果与第一周相比，“豪华型”便携式防疫包的销量增加了2a%，“经济型“的销量增加了a%，最终第二周的销售额比第一周的销售额增加了a%，求a的值．
27．（10分）在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．
（1）如图1，求证：EB＝EF；
（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF＝AH；
（3）如图3，在（2）的条件下连接OF，当OF∥BE，AB＝6时，直接写出线段OH的长．
四、解答题：（本大题1个小题，共12分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在箸题卡中对应的位置上.
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+12与双曲线y＝﹣交于A、B两点（点A在点B左边），过A、O两点作直线，与双曲线的另一交点为D，过B作直线AO的平行线交双曲线于点C．
（1）则点A坐标为 ，点B坐标为 ，并求直线BC的解析式；
（2）如图2，点P在y轴负半轴上，连接PB，交直线AO于点E，连接CE、PA，且S△PAB＝S△BCE，将线段PO在y轴上移动，得到线段P′O′（如图3），请求出|P′B﹣O′D|的最大值；
（3）如图4，点M在x轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为AB、C、D的四个答案，其中只有-个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．下列代数式中属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
B．是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
C．是分式，故本选项符合题意；
D．是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．如图，下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义结合选项图形进行判断．
【解答】解：A、图形既是中心对称图形又是轴对称图形形，故此选项符合题意；
B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、整式的乘法，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：B．
4．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
【分析】把x＝﹣1代入方程即可求得a﹣b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【解答】解：∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2020+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．
故选：C．
5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形分别进行分析即可．
【解答】解：A、对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，说法错误，
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；
故选：D．
6．如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标得出位似比，进而求出△ABC的面积．
【解答】解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，D（1，2），
∴位似比为：2：1，
∵△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为：4×4＝16．
故选：D．
7．若点（﹣6，y1），（2，y2），（3，y3）都是反比例函数的图象上的点，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
【分析】根据题意画出图形，再根据其增减性解答即可．
【解答】解：k＝﹣a2﹣1＜0，函数图象如图，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵﹣6＜0＜2＜3，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，连接AE交BD于点F，若OF＝1，则BF的长为（ ）
A．2B．3C．D．4
【分析】根据平行四边形的性质知AD＝2BE，BC∥AD，BO＝OD，设BF＝a，得DF＝a+2，由BC∥AD知△BEF∽△DAF，据此得＝＝，即＝，解之即可得出答案．
【解答】解：∵点E是BC中点，
∴BC＝2BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，BO＝OD，
∴AD＝2BE，
设BF＝a，
∵OF＝1，
∴BO＝DO＝a+1，
则DF＝a+2，
由BC∥AD知△BEF∽△DAF，
∴＝＝，即＝，
解得a＝2，即BF＝2，
故选：A．
9．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量＝所用A型包装箱的数量﹣6，由此可得到所求的方程．
【解答】解：根据题意，得：．
故选：C．
10．若m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个根，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．﹣3B．3C．﹣1D．1
【分析】由韦达定理得出m+n和mn的值，再代入计算可得．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2，
则m+n﹣mn＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
故选：D．
11．如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程+＝3有非负数解，则所有符合条件的整数m的值之和是（ ）
A．﹣2B．0C．3D．5
【分析】不等式组变形后，根据解集确定出m的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负数解，确定出满足条件m的值，进而求出之和．
【解答】解：解不等式≤1，得：x≤m+3，
解不等式x﹣4＞3（x﹣2），得：x＜1，
∵不等式组的解集为x＜1，
∴m+3≥1，
解得：m≥﹣2，
解分式方程：+＝3得x＝，
∵分式方程有非负数解，
∴≥0且≠1，
解得m＜3且m≠2，
则﹣2≤m＜3且m≠2，
则所有符合条件的整数m的值之和是﹣2﹣1+0+1＝﹣2．
故选：A．
12．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，
其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE＝AB，从而得到AE＝AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE＝∠AED＝67.5°，根据平角等于180°求出∠CED＝67.5°，从而判断出①正确；
②求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确；
③求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH＝HF，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF＝HE，然后根据HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝2HE，判断出④正确；
⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AE＝AD，
在△ABE和△AHD中，，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正确；
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正确；
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；
∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，
∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④．
故选：D．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的答案接填在箐题卡中对应横线上．
13．（3分）已知＝，则＝ ﹣ ．
【分析】直接利用同一未知数表示出x，y的值，进而代入求出答案．
【解答】解：∵＝，
∴设x＝3a，y＝4a，
则＝＝﹣．
故答案为：﹣．
14．（3分）因式分解：3a3b﹣12ab＝ 3ab（a+2）（a﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3ab（a2﹣4）
＝3ab（a+2）（a﹣2）．
故答案为：3ab（a+2）（a﹣2）．
15．（3分）在同一副扑克牌中，取出牌面数字为6、7、8、9的4张牌，洗匀后背面朝上放在桌上，现从中随机摸出两张牌，则这两张牌上的数字之和为偶数的概率为 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两张牌上的数字之和为偶数的有4种结果，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，两张牌上的数字之和为偶数的有4种结果，
∴两张牌上的数字之和为偶数的概率为＝；
故答案为：．
16．（3分）我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示．若此时眼睛到食指距离l约为63cm，食指AB长约为7cm，旗杆CD高度为28米，则对方与我军距离d约为 252 米．
【分析】将实际问题转化为三角形相似问题求解进而得出答案．
【解答】解：63cm＝0.63m，AB＝7cm＝0.07m，
∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴＝，
即＝，
d＝252（m），
故答案为：252．
17．（3分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 m≤且m≠﹣2 ．
【分析】根据方程根的情况，利用根的判别式及一元二次方程的定义列出关于m的不等式，解之可得．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，
解得m≤且m≠﹣2．
故答案为：m≤且m≠﹣2．
18．（3分）如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△ABO的面积为6，若双曲线y＝（k＜0）恰好经过线段AB的中点M，则k的值为 ﹣3 ．
【分析】设点A（a，0），点B（0，b），由三角形面积公式可求ab＝﹣12，由中点坐标公式可求点C（，），代入解析式可求k的值．
【解答】解：设点A（a，0），点B（0，b），
∴OA＝a，OB＝﹣b，
∵△ABO的面积为6，
∴a•（﹣b）＝6，
∴ab＝﹣12，
∵点C是AB中点，
∴点C（，），
∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝×＝﹣3，
故答案为﹣3．
19．（3分）某天上午，北关物流公司安排甲、乙两辆货车，各自运送抗疫物资从重庆前往西安，乙车出发半小时后，甲车才出发．甲车在行驶1.5小时后到达接货点，停下来装货．1个小时后，满载物资的甲车在原速基础上，降速20千米/小时继续前进，直到西安．已知甲、乙两车全程以各自的速度匀速行驶，两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间x（小时）之间的关系如图所示，则甲车到达西安时，乙车距离西安还有 40 千米．
【分析】设甲车原来的速度是x千米/小时，乙车是y千米/小时，则甲车降速后的速度是（x﹣20）千米/小时，由图像可知甲车装满货物之后用了3小时追上乙车，追击路程为60千米，甲车停下来装货时，乙车行驶了2小时，此时两车相距的路程为y＝1.5x﹣2y+60，根据题意建立方程组求解即可．
【解答】解：设甲车原来的速度是x千米/小时，乙车是y千米/小时，则甲车降速后的速度是（x﹣20）千米/小时，由图像可知甲车装满货物之后用了3小时追上乙车，追击路程为60千米，甲车停下来装货时，乙车行驶了2小时，此时两车相距的路程为y＝1.5x﹣2y+60，由题意得：
，
解得：，
∴重庆到西安的距离为：120×1.5+（120﹣20）×5＝680（千米），
甲车到达西安时，乙车距离西安还有680﹣80×8＝40（千米），
故答案为：40．
20．（3分）相传在很久以前，北关城外的津南村里有一户做宽面生意的吴姓财主，为了考察两个儿子的数学能力，某日上午各给了兄弟俩一笔相同的款项，让他们分别去同一家瓷器店里买大、中、小三种不同规格的碗，要求三种碗都要买，而且钱必须刚好花完．中午时分，两兄弟带着碗陆续回到家里，管家检查发现都符合要求，吴财主大喜过望．管家点数之后接着汇报：兄弟俩买回来的碗总数是一个两位数，且各自买回来的相同规格的碗数量之差小于4，其中小碗的总数超过23个，总价是中碗总价的，同时是大碗总价的，已知中碗的单价是小碗的2倍，大碗的单价是小碗的3倍，则哥哥所买的中碗比小碗多 6 个．
【分析】可设小碗的单价为a元，则中碗的单价为2a元，大碗的单价为3a元，大碗的数量为x个，中碗的数量为y个，大碗的数量为z个，进而求得它们之比为8：9：6，令x＝8m，y＝9m，z＝6m，然后由各自买回来的相同规格的碗数量之差小于4，其中小碗的总数超过23个，可求m的值，然后进行分类讨论即可求解．
【解答】解：设小碗的单价为a元，则中碗的单价为2a元，大碗的单价为3a元，大碗的数量为x个，中碗的数量为y个，大碗的数量为z个，根据题意得
az＝×2ay＝×3ax，
则x：y：z＝8：9：6，
令x＝8m，y＝9m，z＝6m，
∵其中小碗的总数超过23个，
∴6m＞23，
解得m＞，
∵m为整数，且兄弟俩买回来的碗总数是一个两位数，
∴m＝4，
∴中碗的数量为36个，大碗的数量为24个，
由各自买回来的相同规格的碗数量之差小于4，
∴哥哥和弟弟买回中碗的可能是18，18和19，17两种可能，买回小碗的可能是12，12和13，11两种可能
∴哥哥所买的中碗比小碗多6个．
故答案为：6．
三、解答题：（本大题7个小题，21题、22题各8分，其余每题各10分，共66分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
21．（8分）化简下列各式：
（1）（m﹣1）2﹣（m+3）（m﹣3）；
（2）÷（a﹣）．
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）（m﹣1）2﹣（m+3）（m﹣3）
＝m2﹣2m+1﹣m2+9
＝﹣2m+10；
（2）÷（a﹣）
＝
＝
＝
＝
＝．
22．（8分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）若∠ADC＝150°，∠CDF＝50°，求∠EDB的度数．
【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“SAS”即可证明△ADE≌△CDF；
（2）根据△ADE≌△CDF，得到∠ADE＝∠CDF，然后根据四边形ABCD是菱形，∠ADC＝150°进一步得到∠ADB＝∠ADC＝75°，从而∠EDB＝∠ADB﹣∠ADE＝∠ADB﹣∠CDF＝25°．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝150°，
∵∠ADB＝∠ADC＝75°，
∵∠CDF＝50°，
∴∠EDB＝∠ADB﹣∠ADE＝∠ADB﹣∠CDF＝25°．
23．（10分）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如表：
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）填空：a＝ 4 ，b＝ 74 ，c＝ 77 ；
（2）目前该校七年级和八年级共有500人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？
（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．
【分析】（1）根据众数和中位数的概念解答即可；
（2）根据样本估计总体解答即可；
（3）根据数据调查信息解答即可．
【解答】解：（1）观察发现：八年级及格的人数是4，
所以a＝4，
∵八年级中成绩为74的最多，
∴b＝74，
中位数＝＝77；
故答案为：4；74；77；
（2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有500×＝75人；
（3）根据以上数据可得：优秀人数多，不及格的人数最少，七年级学生的体质健康情况更好．
24．（10分）阅读材料：用均值不等式求最值．
已知x、y为非负实数，∵x+y﹣2＝（）2+（）2﹣2＝（﹣）2≥0，∴x+y≥2，当且仅当“x＝y”时，等号成立．我们把不等式x+y≥2（x≥0，y≥0）叫做均值不等式，利用均值不等式可以求一些函数的最值．
例：已知x＞0，求函数y＝2x+的最小值．
解：y＝2x+≥2＝4，当且仅当2x＝，即x＝1时，“＝”成立．
∴当x＝1时，函数有最小值y＝4
根据以上材料，解决下列问题：
（1）当x＞0时，求函数y＝x++1的最小值；
（2）若函数y＝4x+（x＞0，a＞0），当且仅当x＝3时取得最小值，求实数a的值．
【分析】（1）根据阅读材料即可求解；
（2）根据阅读材料结合（1）利用基本不等式即可求得实数a的值．
【解答】解：（1）y＝x++1≥2+1＝2×3+1＝7，
当且仅当x＝，即x＝3时，“＝”成立．
所以当x＝3时，有函数的最小值y＝7；
（2）因为x＞0，a＞0，
所以y＝4x+≥2＝4，
当且仅当4x＝，即x＝时，“＝”成立，
因为当且仅当x＝3时取得最小值，
所以＝3，
解得a＝36．
25．（10分）描点画图是探究未知函数图象变化规律的一个重要方法，下面是通过描点画图感知函数y＝x图象的变化规律的过程：
请根据学习函数的经验，利用上述表格所反映的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究．
（1）函数y＝x的自变量x的取值范围是 x≥﹣4 ；
（2）表中是y与x的对应值，则m＝ ﹣3 ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请你先描出点（﹣3，m），然后画出该函数的图象；
（4）若关于x的不等式kx+b＞x的解集是﹣3＜x＜1，则k﹣b的值为 ．
【分析】（1）由x+4≥0即可求得；
（2）当x＝﹣3时，y＝x＝﹣3＝m；
（3）描点画出函数图象即可；
（4）经过待定系数法求得k和b的即可求得k﹣b的值．
【解答】解：（1）∵x+4≥0，
∴x≥﹣4，
∴函数y＝x的自变量x的取值范围是x≥﹣4，
故答案为x≥﹣4；
（2）当x＝﹣3时，y＝x＝﹣3，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3；
（3）描点画出如下函数图象：
（4）把点（﹣3，﹣3）和（1，）代入y＝kx+b得
解得，
∴k﹣b＝﹣＝，
故答案为：．
26．（10分）疫情未退，学生到校仍需随身携带口罩等个人防护用品，某商家推出了“经济型”和“豪华型”两种便携式防疫包，“经济型”的售价是“豪华型”的．
（1）六月第一周该商家两种防疫包的总销售额为3600元，“豪华型”的销售额是“经济型”的2倍，销售量比“经济型”多40个，求“经济型”防疫包销售了多少个？
（2）为增加销量，该商家第二周决定将“豪华型”的售价下调a%，“经济型”的售价保持不变，结果与第一周相比，“豪华型”便携式防疫包的销量增加了2a%，“经济型“的销量增加了a%，最终第二周的销售额比第一周的销售额增加了a%，求a的值．
【分析】（1）根据第一周该商家两种防疫包的销售总额及两种防疫包销售额之间的关系，可分别求出两种防疫包的销售额，设“经济型”防疫包销售了x个，则“豪华型”防疫包销售了（x+40）个，根据单价＝总价÷数量结合“经济型”的售价是“豪华型”的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据单价＝总价÷数量，可分别求出第一周两种防疫包的销售数量，根据总价＝单价×数量结合第二周的销售额比第一周的销售额增加了a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）第一周“经济型”防疫包的销售额为3600÷（1+2）＝1200（元），
第一周“豪华型”防疫包的销售额为1200×2＝2400（元）．
设“经济型”防疫包销售了x个，则“豪华型”防疫包销售了（x+40）个，
依题意，得：＝×，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：“经济型”防疫包销售了80个．
（2）第一周“经济型”防疫包的销售单价为1200÷80＝15（元），
第一周“豪华型”防疫包的销售单价为2400×（80+40）＝20（元）．
依题意，得：20（1﹣a%）×（80+40）（1+2a%）+15×80（1+a%）＝3600（1+a%），
整理，得：0.24a2﹣9.6a＝0，
解得：a1＝40，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为40．
27．（10分）在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．
（1）如图1，求证：EB＝EF；
（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF＝AH；
（3）如图3，在（2）的条件下连接OF，当OF∥BE，AB＝6时，直接写出线段OH的长．
【分析】（1）依据四边形ABCD是正方形，即可得出AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，进而得到∠5＝∠FBE，即可得到EF＝EB；
（2）连接DE，先判定△AOH≌△BOE，即可得出AH＝BE，再判定△DCE≌△BCE，即可得到DE＝BE＝AH＝EF，再根据△DEF是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）利用正方形的性质，判定△OFB∽△EFA，即可得到＝，求得OE的长，再根据△AOH≌△BOE，即可得到线段OH的长．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，
∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，
∵∠OME＝∠OEB，
∴∠3＝∠4，
∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，
∴EF＝EB；
（2）如图2，连接DE，
∵AN＝EN，
∴∠3＝∠5，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，AC⊥BD，
∴∠7＝∠8＝90°，
∵在△AOH和△BOE中，
，
∴△AOH≌△BOE（ASA），
∴AH＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠1＝∠2＝45°，
∵在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE＝BE＝AH＝EF，
∵AC⊥BD，
∴∠6＝∠AEB，
∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB＝90°，
∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF＝＝EF＝AH；
（3）如图3，∵四边形ABCD是正方形，AB＝，
∴AO＝BO＝6，
∵OF∥BE，
∴∠3＝∠FBE，
∵∠1＝∠FBE，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠AFE＝∠3+∠OFB＝180°，
∴∠AFE＝∠OFB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAB＝∠2＝45°，
∴△OFB∽△EFA，
∴＝，
∵OF∥BE，
∴＝＝，
∴＝，
∴OE＝﹣3+（舍负），
∵△AOH≌△BOE，
∴OH＝OE＝﹣3+3．
四、解答题：（本大题1个小题，共12分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在箸题卡中对应的位置上.
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+12与双曲线y＝﹣交于A、B两点（点A在点B左边），过A、O两点作直线，与双曲线的另一交点为D，过B作直线AO的平行线交双曲线于点C．
（1）则点A坐标为 （﹣6，4） ，点B坐标为 （﹣3，8） ，并求直线BC的解析式；
（2）如图2，点P在y轴负半轴上，连接PB，交直线AO于点E，连接CE、PA，且S△PAB＝S△BCE，将线段PO在y轴上移动，得到线段P′O′（如图3），请求出|P′B﹣O′D|的最大值；
（3）如图4，点M在x轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）联立方程组便可求得A、B两点的坐标，再用待定系数法求得直线OA的解析式，进而根据平行线的特性求得直线BC的解析式；
（2）利用三角形的面积求出点P（0，﹣4），将B向上平移4个单位，得到B1（﹣3，12），设B1，B2关于Y轴对称，则B2（3，12），连接DB2并延长交y轴于O′，推出|P′B﹣O′D|的最大值＝DB2，由此即可解决问题．
（3）分三种情形：若CD为对角线，若CD为边，且CD＝MD，若CD为边，且CD＝MC，分别求解即可．
【解答】解：（1）联立方程组，
解得，，
∴A（﹣6，4），B（﹣3，8），
设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），则4＝﹣6k，
解得，k＝﹣，
∴直线OA的解析式为：y＝x，
∵BC∥OA，
∴设直线BC的解析式为y＝x+b，则8＝﹣+b，
解得b＝6，
∴直线BC的解析式为y＝x+6，
故答案为：（﹣6，4），（﹣3，8）．
（2）∵A、D关于原点对称，A（﹣6，4），
∴D（6，﹣4），
设P（0，a），
∴，
∵S△BCE＝S△BCA＝[28﹣（﹣2）]•|（﹣3）﹣（﹣6）|＝45，
∴S△PAB＝24＝9﹣a，
∴a＝﹣4，
∴P（0，﹣4），
将B向上平移4个单位，得到B1（﹣3，12），
设B1，B2关于Y轴对称，则B2（3，12），
连接DB2并延长交y轴于O′，
∴|P′B﹣O′D|的最大值＝DB2＝＝．
（3）联立方程组，
解得，，
∴C（12，﹣2），
若CD为对角线，则M（8，0），N（10，﹣6）．
若CD为边，且CD＝MD，则M（6+2，0），N（12+2，2）或M（6﹣2，0）．N（12﹣2，2）
若CD为边，且CD＝MC，则M（6，0），N（0，﹣2）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（10，﹣6）或（12+2，2）或（12﹣2，2）或（0，﹣2）．
七年级
80
74
83
63
90
91
74
61
82
62
八年级
74
61
83
91
60
85
46
84
74
80
优秀
良好
及格
不及格
七年级
2
3
5
0
八年级
1
4
a
1
年级
平均数
众数
中位数
七年级
76
74
77
八年级
74
b
c
x
﹣4
﹣
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
0
﹣
m
﹣2
﹣
0
2
…
七年级
80
74
83
63
90
91
74
61
82
62
八年级
74
61
83
91
60
85
46
84
74
80
优秀
良好
及格
不及格
七年级
2
3
5
0
八年级
1
4
a
1
年级
平均数
众数
中位数
七年级
76
74
77
八年级
74
b
c
x
﹣4
﹣
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
0
﹣
m
﹣2
﹣
0
2
…
1．下列代数式中属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
4．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
6．如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
7．若点（﹣6，y1），（2，y2），（3，y3）都是反比例函数的图象上的点，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，连接AE交BD于点F，若OF＝1，则BF的长为（ ）
A．2B．3C．D．4
9．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．若m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个根，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．﹣3B．3C．﹣1D．1
11．如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程+＝3有非负数解，则所有符合条件的整数m的值之和是（ ）
A．﹣2B．0C．3D．5
12．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，
其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的答案接填在箐题卡中对应横线上．
13．（3分）已知＝，则＝ ．
14．（3分）因式分解：3a3b﹣12ab＝ ．
15．（3分）在同一副扑克牌中，取出牌面数字为6、7、8、9的4张牌，洗匀后背面朝上放在桌上，现从中随机摸出两张牌，则这两张牌上的数字之和为偶数的概率为 ．
16．（3分）我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示．若此时眼睛到食指距离l约为63cm，食指AB长约为7cm，旗杆CD高度为28米，则对方与我军距离d约为 米．
17．（3分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
18．（3分）如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△ABO的面积为6，若双曲线y＝（k＜0）恰好经过线段AB的中点M，则k的值为 ．
19．（3分）某天上午，北关物流公司安排甲、乙两辆货车，各自运送抗疫物资从重庆前往西安，乙车出发半小时后，甲车才出发．甲车在行驶1.5小时后到达接货点，停下来装货．1个小时后，满载物资的甲车在原速基础上，降速20千米/小时继续前进，直到西安．已知甲、乙两车全程以各自的速度匀速行驶，两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间x（小时）之间的关系如图所示，则甲车到达西安时，乙车距离西安还有 千米．
20．（3分）相传在很久以前，北关城外的津南村里有一户做宽面生意的吴姓财主，为了考察两个儿子的数学能力，某日上午各给了兄弟俩一笔相同的款项，让他们分别去同一家瓷器店里买大、中、小三种不同规格的碗，要求三种碗都要买，而且钱必须刚好花完．中午时分，两兄弟带着碗陆续回到家里，管家检查发现都符合要求，吴财主大喜过望．管家点数之后接着汇报：兄弟俩买回来的碗总数是一个两位数，且各自买回来的相同规格的碗数量之差小于4，其中小碗的总数超过23个，总价是中碗总价的，同时是大碗总价的，已知中碗的单价是小碗的2倍，大碗的单价是小碗的3倍，则哥哥所买的中碗比小碗多 个．
三、解答题：（本大题7个小题，21题、22题各8分，其余每题各10分，共66分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
21．（8分）化简下列各式：
（1）（m﹣1）2﹣（m+3）（m﹣3）；
（2）÷（a﹣）．
22．（8分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）若∠ADC＝150°，∠CDF＝50°，求∠EDB的度数．
23．（10分）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如表：
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）目前该校七年级和八年级共有500人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？
（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．
24．（10分）阅读材料：用均值不等式求最值．
已知x、y为非负实数，∵x+y﹣2＝（）2+（）2﹣2＝（﹣）2≥0，∴x+y≥2，当且仅当“x＝y”时，等号成立．我们把不等式x+y≥2（x≥0，y≥0）叫做均值不等式，利用均值不等式可以求一些函数的最值．
例：已知x＞0，求函数y＝2x+的最小值．
解：y＝2x+≥2＝4，当且仅当2x＝，即x＝1时，“＝”成立．
∴当x＝1时，函数有最小值y＝4
根据以上材料，解决下列问题：
（1）当x＞0时，求函数y＝x++1的最小值；
（2）若函数y＝4x+（x＞0，a＞0），当且仅当x＝3时取得最小值，求实数a的值．
25．（10分）描点画图是探究未知函数图象变化规律的一个重要方法，下面是通过描点画图感知函数y＝x图象的变化规律的过程：
请根据学习函数的经验，利用上述表格所反映的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究．
（1）函数y＝x的自变量x的取值范围是 ；
（2）表中是y与x的对应值，则m＝ ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请你先描出点（﹣3，m），然后画出该函数的图象；
（4）若关于x的不等式kx+b＞x的解集是﹣3＜x＜1，则k﹣b的值为 ．
26．（10分）疫情未退，学生到校仍需随身携带口罩等个人防护用品，某商家推出了“经济型”和“豪华型”两种便携式防疫包，“经济型”的售价是“豪华型”的．
（1）六月第一周该商家两种防疫包的总销售额为3600元，“豪华型”的销售额是“经济型”的2倍，销售量比“经济型”多40个，求“经济型”防疫包销售了多少个？
（2）为增加销量，该商家第二周决定将“豪华型”的售价下调a%，“经济型”的售价保持不变，结果与第一周相比，“豪华型”便携式防疫包的销量增加了2a%，“经济型“的销量增加了a%，最终第二周的销售额比第一周的销售额增加了a%，求a的值．
27．（10分）在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．
（1）如图1，求证：EB＝EF；
（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF＝AH；
（3）如图3，在（2）的条件下连接OF，当OF∥BE，AB＝6时，直接写出线段OH的长．
四、解答题：（本大题1个小题，共12分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在箸题卡中对应的位置上.
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+12与双曲线y＝﹣交于A、B两点（点A在点B左边），过A、O两点作直线，与双曲线的另一交点为D，过B作直线AO的平行线交双曲线于点C．
（1）则点A坐标为 ，点B坐标为 ，并求直线BC的解析式；
（2）如图2，点P在y轴负半轴上，连接PB，交直线AO于点E，连接CE、PA，且S△PAB＝S△BCE，将线段PO在y轴上移动，得到线段P′O′（如图3），请求出|P′B﹣O′D|的最大值；
（3）如图4，点M在x轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为AB、C、D的四个答案，其中只有-个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．下列代数式中属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
B．是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
C．是分式，故本选项符合题意；
D．是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．如图，下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义结合选项图形进行判断．
【解答】解：A、图形既是中心对称图形又是轴对称图形形，故此选项符合题意；
B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、整式的乘法，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：B．
4．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
【分析】把x＝﹣1代入方程即可求得a﹣b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【解答】解：∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2020+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．
故选：C．
5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形分别进行分析即可．
【解答】解：A、对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，说法错误，
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；
故选：D．
6．如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标得出位似比，进而求出△ABC的面积．
【解答】解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，D（1，2），
∴位似比为：2：1，
∵△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为：4×4＝16．
故选：D．
7．若点（﹣6，y1），（2，y2），（3，y3）都是反比例函数的图象上的点，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
【分析】根据题意画出图形，再根据其增减性解答即可．
【解答】解：k＝﹣a2﹣1＜0，函数图象如图，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵﹣6＜0＜2＜3，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，连接AE交BD于点F，若OF＝1，则BF的长为（ ）
A．2B．3C．D．4
【分析】根据平行四边形的性质知AD＝2BE，BC∥AD，BO＝OD，设BF＝a，得DF＝a+2，由BC∥AD知△BEF∽△DAF，据此得＝＝，即＝，解之即可得出答案．
【解答】解：∵点E是BC中点，
∴BC＝2BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，BO＝OD，
∴AD＝2BE，
设BF＝a，
∵OF＝1，
∴BO＝DO＝a+1，
则DF＝a+2，
由BC∥AD知△BEF∽△DAF，
∴＝＝，即＝，
解得a＝2，即BF＝2，
故选：A．
9．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量＝所用A型包装箱的数量﹣6，由此可得到所求的方程．
【解答】解：根据题意，得：．
故选：C．
10．若m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个根，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．﹣3B．3C．﹣1D．1
【分析】由韦达定理得出m+n和mn的值，再代入计算可得．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2，
则m+n﹣mn＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
故选：D．
11．如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程+＝3有非负数解，则所有符合条件的整数m的值之和是（ ）
A．﹣2B．0C．3D．5
【分析】不等式组变形后，根据解集确定出m的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负数解，确定出满足条件m的值，进而求出之和．
【解答】解：解不等式≤1，得：x≤m+3，
解不等式x﹣4＞3（x﹣2），得：x＜1，
∵不等式组的解集为x＜1，
∴m+3≥1，
解得：m≥﹣2，
解分式方程：+＝3得x＝，
∵分式方程有非负数解，
∴≥0且≠1，
解得m＜3且m≠2，
则﹣2≤m＜3且m≠2，
则所有符合条件的整数m的值之和是﹣2﹣1+0+1＝﹣2．
故选：A．
12．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，
其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE＝AB，从而得到AE＝AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE＝∠AED＝67.5°，根据平角等于180°求出∠CED＝67.5°，从而判断出①正确；
②求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确；
③求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH＝HF，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF＝HE，然后根据HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝2HE，判断出④正确；
⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AE＝AD，
在△ABE和△AHD中，，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正确；
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正确；
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；
∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，
∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④．
故选：D．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的答案接填在箐题卡中对应横线上．
13．（3分）已知＝，则＝ ﹣ ．
【分析】直接利用同一未知数表示出x，y的值，进而代入求出答案．
【解答】解：∵＝，
∴设x＝3a，y＝4a，
则＝＝﹣．
故答案为：﹣．
14．（3分）因式分解：3a3b﹣12ab＝ 3ab（a+2）（a﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3ab（a2﹣4）
＝3ab（a+2）（a﹣2）．
故答案为：3ab（a+2）（a﹣2）．
15．（3分）在同一副扑克牌中，取出牌面数字为6、7、8、9的4张牌，洗匀后背面朝上放在桌上，现从中随机摸出两张牌，则这两张牌上的数字之和为偶数的概率为 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两张牌上的数字之和为偶数的有4种结果，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，两张牌上的数字之和为偶数的有4种结果，
∴两张牌上的数字之和为偶数的概率为＝；
故答案为：．
16．（3分）我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示．若此时眼睛到食指距离l约为63cm，食指AB长约为7cm，旗杆CD高度为28米，则对方与我军距离d约为 252 米．
【分析】将实际问题转化为三角形相似问题求解进而得出答案．
【解答】解：63cm＝0.63m，AB＝7cm＝0.07m，
∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴＝，
即＝，
d＝252（m），
故答案为：252．
17．（3分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 m≤且m≠﹣2 ．
【分析】根据方程根的情况，利用根的判别式及一元二次方程的定义列出关于m的不等式，解之可得．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，
解得m≤且m≠﹣2．
故答案为：m≤且m≠﹣2．
18．（3分）如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△ABO的面积为6，若双曲线y＝（k＜0）恰好经过线段AB的中点M，则k的值为 ﹣3 ．
【分析】设点A（a，0），点B（0，b），由三角形面积公式可求ab＝﹣12，由中点坐标公式可求点C（，），代入解析式可求k的值．
【解答】解：设点A（a，0），点B（0，b），
∴OA＝a，OB＝﹣b，
∵△ABO的面积为6，
∴a•（﹣b）＝6，
∴ab＝﹣12，
∵点C是AB中点，
∴点C（，），
∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝×＝﹣3，
故答案为﹣3．
19．（3分）某天上午，北关物流公司安排甲、乙两辆货车，各自运送抗疫物资从重庆前往西安，乙车出发半小时后，甲车才出发．甲车在行驶1.5小时后到达接货点，停下来装货．1个小时后，满载物资的甲车在原速基础上，降速20千米/小时继续前进，直到西安．已知甲、乙两车全程以各自的速度匀速行驶，两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间x（小时）之间的关系如图所示，则甲车到达西安时，乙车距离西安还有 40 千米．
【分析】设甲车原来的速度是x千米/小时，乙车是y千米/小时，则甲车降速后的速度是（x﹣20）千米/小时，由图像可知甲车装满货物之后用了3小时追上乙车，追击路程为60千米，甲车停下来装货时，乙车行驶了2小时，此时两车相距的路程为y＝1.5x﹣2y+60，根据题意建立方程组求解即可．
【解答】解：设甲车原来的速度是x千米/小时，乙车是y千米/小时，则甲车降速后的速度是（x﹣20）千米/小时，由图像可知甲车装满货物之后用了3小时追上乙车，追击路程为60千米，甲车停下来装货时，乙车行驶了2小时，此时两车相距的路程为y＝1.5x﹣2y+60，由题意得：
，
解得：，
∴重庆到西安的距离为：120×1.5+（120﹣20）×5＝680（千米），
甲车到达西安时，乙车距离西安还有680﹣80×8＝40（千米），
故答案为：40．
20．（3分）相传在很久以前，北关城外的津南村里有一户做宽面生意的吴姓财主，为了考察两个儿子的数学能力，某日上午各给了兄弟俩一笔相同的款项，让他们分别去同一家瓷器店里买大、中、小三种不同规格的碗，要求三种碗都要买，而且钱必须刚好花完．中午时分，两兄弟带着碗陆续回到家里，管家检查发现都符合要求，吴财主大喜过望．管家点数之后接着汇报：兄弟俩买回来的碗总数是一个两位数，且各自买回来的相同规格的碗数量之差小于4，其中小碗的总数超过23个，总价是中碗总价的，同时是大碗总价的，已知中碗的单价是小碗的2倍，大碗的单价是小碗的3倍，则哥哥所买的中碗比小碗多 6 个．
【分析】可设小碗的单价为a元，则中碗的单价为2a元，大碗的单价为3a元，大碗的数量为x个，中碗的数量为y个，大碗的数量为z个，进而求得它们之比为8：9：6，令x＝8m，y＝9m，z＝6m，然后由各自买回来的相同规格的碗数量之差小于4，其中小碗的总数超过23个，可求m的值，然后进行分类讨论即可求解．
【解答】解：设小碗的单价为a元，则中碗的单价为2a元，大碗的单价为3a元，大碗的数量为x个，中碗的数量为y个，大碗的数量为z个，根据题意得
az＝×2ay＝×3ax，
则x：y：z＝8：9：6，
令x＝8m，y＝9m，z＝6m，
∵其中小碗的总数超过23个，
∴6m＞23，
解得m＞，
∵m为整数，且兄弟俩买回来的碗总数是一个两位数，
∴m＝4，
∴中碗的数量为36个，大碗的数量为24个，
由各自买回来的相同规格的碗数量之差小于4，
∴哥哥和弟弟买回中碗的可能是18，18和19，17两种可能，买回小碗的可能是12，12和13，11两种可能
∴哥哥所买的中碗比小碗多6个．
故答案为：6．
三、解答题：（本大题7个小题，21题、22题各8分，其余每题各10分，共66分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
21．（8分）化简下列各式：
（1）（m﹣1）2﹣（m+3）（m﹣3）；
（2）÷（a﹣）．
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）（m﹣1）2﹣（m+3）（m﹣3）
＝m2﹣2m+1﹣m2+9
＝﹣2m+10；
（2）÷（a﹣）
＝
＝
＝
＝
＝．
22．（8分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）若∠ADC＝150°，∠CDF＝50°，求∠EDB的度数．
【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“SAS”即可证明△ADE≌△CDF；
（2）根据△ADE≌△CDF，得到∠ADE＝∠CDF，然后根据四边形ABCD是菱形，∠ADC＝150°进一步得到∠ADB＝∠ADC＝75°，从而∠EDB＝∠ADB﹣∠ADE＝∠ADB﹣∠CDF＝25°．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝150°，
∵∠ADB＝∠ADC＝75°，
∵∠CDF＝50°，
∴∠EDB＝∠ADB﹣∠ADE＝∠ADB﹣∠CDF＝25°．
23．（10分）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如表：
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）填空：a＝ 4 ，b＝ 74 ，c＝ 77 ；
（2）目前该校七年级和八年级共有500人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？
（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．
【分析】（1）根据众数和中位数的概念解答即可；
（2）根据样本估计总体解答即可；
（3）根据数据调查信息解答即可．
【解答】解：（1）观察发现：八年级及格的人数是4，
所以a＝4，
∵八年级中成绩为74的最多，
∴b＝74，
中位数＝＝77；
故答案为：4；74；77；
（2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有500×＝75人；
（3）根据以上数据可得：优秀人数多，不及格的人数最少，七年级学生的体质健康情况更好．
24．（10分）阅读材料：用均值不等式求最值．
已知x、y为非负实数，∵x+y﹣2＝（）2+（）2﹣2＝（﹣）2≥0，∴x+y≥2，当且仅当“x＝y”时，等号成立．我们把不等式x+y≥2（x≥0，y≥0）叫做均值不等式，利用均值不等式可以求一些函数的最值．
例：已知x＞0，求函数y＝2x+的最小值．
解：y＝2x+≥2＝4，当且仅当2x＝，即x＝1时，“＝”成立．
∴当x＝1时，函数有最小值y＝4
根据以上材料，解决下列问题：
（1）当x＞0时，求函数y＝x++1的最小值；
（2）若函数y＝4x+（x＞0，a＞0），当且仅当x＝3时取得最小值，求实数a的值．
【分析】（1）根据阅读材料即可求解；
（2）根据阅读材料结合（1）利用基本不等式即可求得实数a的值．
【解答】解：（1）y＝x++1≥2+1＝2×3+1＝7，
当且仅当x＝，即x＝3时，“＝”成立．
所以当x＝3时，有函数的最小值y＝7；
（2）因为x＞0，a＞0，
所以y＝4x+≥2＝4，
当且仅当4x＝，即x＝时，“＝”成立，
因为当且仅当x＝3时取得最小值，
所以＝3，
解得a＝36．
25．（10分）描点画图是探究未知函数图象变化规律的一个重要方法，下面是通过描点画图感知函数y＝x图象的变化规律的过程：
请根据学习函数的经验，利用上述表格所反映的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究．
（1）函数y＝x的自变量x的取值范围是 x≥﹣4 ；
（2）表中是y与x的对应值，则m＝ ﹣3 ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请你先描出点（﹣3，m），然后画出该函数的图象；
（4）若关于x的不等式kx+b＞x的解集是﹣3＜x＜1，则k﹣b的值为 ．
【分析】（1）由x+4≥0即可求得；
（2）当x＝﹣3时，y＝x＝﹣3＝m；
（3）描点画出函数图象即可；
（4）经过待定系数法求得k和b的即可求得k﹣b的值．
【解答】解：（1）∵x+4≥0，
∴x≥﹣4，
∴函数y＝x的自变量x的取值范围是x≥﹣4，
故答案为x≥﹣4；
（2）当x＝﹣3时，y＝x＝﹣3，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3；
（3）描点画出如下函数图象：
（4）把点（﹣3，﹣3）和（1，）代入y＝kx+b得
解得，
∴k﹣b＝﹣＝，
故答案为：．
26．（10分）疫情未退，学生到校仍需随身携带口罩等个人防护用品，某商家推出了“经济型”和“豪华型”两种便携式防疫包，“经济型”的售价是“豪华型”的．
（1）六月第一周该商家两种防疫包的总销售额为3600元，“豪华型”的销售额是“经济型”的2倍，销售量比“经济型”多40个，求“经济型”防疫包销售了多少个？
（2）为增加销量，该商家第二周决定将“豪华型”的售价下调a%，“经济型”的售价保持不变，结果与第一周相比，“豪华型”便携式防疫包的销量增加了2a%，“经济型“的销量增加了a%，最终第二周的销售额比第一周的销售额增加了a%，求a的值．
【分析】（1）根据第一周该商家两种防疫包的销售总额及两种防疫包销售额之间的关系，可分别求出两种防疫包的销售额，设“经济型”防疫包销售了x个，则“豪华型”防疫包销售了（x+40）个，根据单价＝总价÷数量结合“经济型”的售价是“豪华型”的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据单价＝总价÷数量，可分别求出第一周两种防疫包的销售数量，根据总价＝单价×数量结合第二周的销售额比第一周的销售额增加了a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）第一周“经济型”防疫包的销售额为3600÷（1+2）＝1200（元），
第一周“豪华型”防疫包的销售额为1200×2＝2400（元）．
设“经济型”防疫包销售了x个，则“豪华型”防疫包销售了（x+40）个，
依题意，得：＝×，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：“经济型”防疫包销售了80个．
（2）第一周“经济型”防疫包的销售单价为1200÷80＝15（元），
第一周“豪华型”防疫包的销售单价为2400×（80+40）＝20（元）．
依题意，得：20（1﹣a%）×（80+40）（1+2a%）+15×80（1+a%）＝3600（1+a%），
整理，得：0.24a2﹣9.6a＝0，
解得：a1＝40，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为40．
27．（10分）在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．
（1）如图1，求证：EB＝EF；
（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF＝AH；
（3）如图3，在（2）的条件下连接OF，当OF∥BE，AB＝6时，直接写出线段OH的长．
【分析】（1）依据四边形ABCD是正方形，即可得出AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，进而得到∠5＝∠FBE，即可得到EF＝EB；
（2）连接DE，先判定△AOH≌△BOE，即可得出AH＝BE，再判定△DCE≌△BCE，即可得到DE＝BE＝AH＝EF，再根据△DEF是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）利用正方形的性质，判定△OFB∽△EFA，即可得到＝，求得OE的长，再根据△AOH≌△BOE，即可得到线段OH的长．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，
∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，
∵∠OME＝∠OEB，
∴∠3＝∠4，
∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，
∴EF＝EB；
（2）如图2，连接DE，
∵AN＝EN，
∴∠3＝∠5，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，AC⊥BD，
∴∠7＝∠8＝90°，
∵在△AOH和△BOE中，
，
∴△AOH≌△BOE（ASA），
∴AH＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠1＝∠2＝45°，
∵在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE＝BE＝AH＝EF，
∵AC⊥BD，
∴∠6＝∠AEB，
∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB＝90°，
∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF＝＝EF＝AH；
（3）如图3，∵四边形ABCD是正方形，AB＝，
∴AO＝BO＝6，
∵OF∥BE，
∴∠3＝∠FBE，
∵∠1＝∠FBE，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠AFE＝∠3+∠OFB＝180°，
∴∠AFE＝∠OFB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAB＝∠2＝45°，
∴△OFB∽△EFA，
∴＝，
∵OF∥BE，
∴＝＝，
∴＝，
∴OE＝﹣3+（舍负），
∵△AOH≌△BOE，
∴OH＝OE＝﹣3+3．
四、解答题：（本大题1个小题，共12分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在箸题卡中对应的位置上.
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+12与双曲线y＝﹣交于A、B两点（点A在点B左边），过A、O两点作直线，与双曲线的另一交点为D，过B作直线AO的平行线交双曲线于点C．
（1）则点A坐标为 （﹣6，4） ，点B坐标为 （﹣3，8） ，并求直线BC的解析式；
（2）如图2，点P在y轴负半轴上，连接PB，交直线AO于点E，连接CE、PA，且S△PAB＝S△BCE，将线段PO在y轴上移动，得到线段P′O′（如图3），请求出|P′B﹣O′D|的最大值；
（3）如图4，点M在x轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）联立方程组便可求得A、B两点的坐标，再用待定系数法求得直线OA的解析式，进而根据平行线的特性求得直线BC的解析式；
（2）利用三角形的面积求出点P（0，﹣4），将B向上平移4个单位，得到B1（﹣3，12），设B1，B2关于Y轴对称，则B2（3，12），连接DB2并延长交y轴于O′，推出|P′B﹣O′D|的最大值＝DB2，由此即可解决问题．
（3）分三种情形：若CD为对角线，若CD为边，且CD＝MD，若CD为边，且CD＝MC，分别求解即可．
【解答】解：（1）联立方程组，
解得，，
∴A（﹣6，4），B（﹣3，8），
设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），则4＝﹣6k，
解得，k＝﹣，
∴直线OA的解析式为：y＝x，
∵BC∥OA，
∴设直线BC的解析式为y＝x+b，则8＝﹣+b，
解得b＝6，
∴直线BC的解析式为y＝x+6，
故答案为：（﹣6，4），（﹣3，8）．
（2）∵A、D关于原点对称，A（﹣6，4），
∴D（6，﹣4），
设P（0，a），
∴，
∵S△BCE＝S△BCA＝[28﹣（﹣2）]•|（﹣3）﹣（﹣6）|＝45，
∴S△PAB＝24＝9﹣a，
∴a＝﹣4，
∴P（0，﹣4），
将B向上平移4个单位，得到B1（﹣3，12），
设B1，B2关于Y轴对称，则B2（3，12），
连接DB2并延长交y轴于O′，
∴|P′B﹣O′D|的最大值＝DB2＝＝．
（3）联立方程组，
解得，，
∴C（12，﹣2），
若CD为对角线，则M（8，0），N（10，﹣6）．
若CD为边，且CD＝MD，则M（6+2，0），N（12+2，2）或M（6﹣2，0）．N（12﹣2，2）
若CD为边，且CD＝MC，则M（6，0），N（0，﹣2）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（10，﹣6）或（12+2，2）或（12﹣2，2）或（0，﹣2）．
七年级
80
74
83
63
90
91
74
61
82
62
八年级
74
61
83
91
60
85
46
84
74
80
优秀
良好
及格
不及格
七年级
2
3
5
0
八年级
1
4
a
1
年级
平均数
众数
中位数
七年级
76
74
77
八年级
74
b
c
x
﹣4
﹣
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
0
﹣
m
﹣2
﹣
0
2
…
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不及格
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