专题41 一字并肩型问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题41  一字并肩型问题

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2020·浙江温州市·九年级一模）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角度数为α，看这栋楼底部C处的俯角度数为β，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度表示为（    ）

A．100(tanα+tanβ)m B．100(sinα+sinβ)m C． D．

【答案】A

【分析】

过点A作AH⊥BC于点H，利用解直角三角形分别求出BH，CH的长，再根据BC=BH+CH，代入计算可求出BC的长.

【详解】

过点A作AH⊥BC于点H，

 ∴∠AHB=∠AHC=90°，

 在Rt△ABH中，

 BH=AHtan∠BAH=100tanα；

 在Rt△ACH中，

 CH=AHtan∠CAH=100tanβ；

 ∴BC=BH+CH=100tanα+100tanβ=100（tanα+tanβ）m.

 故选：A.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确确定直角三角形是解题的关键.

例2．（2020·河南南阳市·九年级期中）如图，河宽CD为100米，在C处测得对岸A点在C点南偏西30°方向、对岸B点在C点南偏东45°方向，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）

【答案】100+100

【分析】

根据正切的定义求出AD，根据等腰直角三角形的性质求出BD，进而得到AB的长．

【详解】

在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，

则AD＝CD×tan∠ACD＝100×＝100（米），

在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，

∴BD＝CD＝100（米），

∴AB＝AD+BD＝（100+100）米，

故答案为：（100+100）．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

例3．（2020·四川省成都七中育才学校学道分校九年级期中）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．

根据以上内容，解决问题：

学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．

（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）

【答案】该设备的安装高度OC约为2.9m．

【分析】

根据题意可得OC⊥AC，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m，所以得AC=AB+BC=4+BC，根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．

【详解】

根据题意可知：
OC⊥AC，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m，
∴AC=AB+BC=4+BC，
∴在Rt△OBC中，BC=，

在Rt△OAC中，OC=AC•tan∠OAC≈(4+BC)×0.6，
∴OC=0.6(4+)，

解得OC≈2.9（m）．
答：该设备的安装高度OC约为2.9m．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数得到关于OC的方程是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2019·山东济宁市·九年级学业考试）如图，港口在观测站的正东方向，，某船西东从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=1，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，则AB=AD=2．

【详解】

如图，过点A作AD⊥OB于D．

在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=2，
∴AD=OA=1．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
∴BD=AD=1，
∴AB=AD=．
即该船航行的距离（即AB的长）为km．
故选：C．

【点睛】

此题考查解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

2．（2020·辽宁沈阳市·九年级一模）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是(　　)

A．海里 B．海里 C．120海里 D．60海里

【答案】B

【分析】

过点C作CD⊥AB于点D，先解Rt△ACD，求出AD，CD，再根据BD=CD，即可解出AB．

【详解】

如图，过点C作CD⊥AB于点D，

则∠ACD=30°，∠BCD=45°，

在Rt△ACD中，AD=CA=×60=30（海里），

CD=CA·cos∠ACD=60×=（海里），

∵∠BCD=45°，∠BDC=90°，

∴在Rt△BCD中，BD=CD，

∴AB=AD+BD=AD+CD=（30+）海里，

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线．

二、填空题

3．（2020·湖北孝感市·九年级月考）某拦水坝的横截面为梯形， 迎水坡的坡角为，且， 背水坡的坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽__________．

【答案】

【分析】

添一条辅助线，作BFCD，AE=12m，根据，可得CF的长，根据背水坡AD的坡度，可得DE的长，且AB=EF，坝底CD=DE+EF+FC，可得出答案．

【详解】

解：如图所示，添一条辅助线，作BFCD，

∵AE=12m，且，而，∴m，

又∵背水坡AD的坡度，∴，故DE=30m，

且EF=AB=3m，坝底CD=DE+EF+FC=30+3+16=49m，

故答案为：49m．

【点睛】

本题主要考察了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边∶斜边，掌握定义就不会算错．

4．（2015·河北九年级其他模拟）如图所示，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏西方向匀速航行，小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是______海里(结果精确到个位，参考数据：，，)

【答案】24

【解析】

【分析】

作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．

【详解】

∠CBA=25°+50°=75°，

作BD⊥AC于点D，

则∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，

∠ABD=30°，

∴∠CBD=75°﹣30°=45°，

在直角△ABD中，BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20×=10，

在直角△BCD中，∠CBD=45°，

则BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里），

故答案是：24．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．

三、解答题

5．（2019·广西河池市·九年级二模）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．

【答案】100米.

【解析】

【分析】如图，作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值进行求解即可得.

【详解】如图，过P点作PC⊥AB于C，

由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，

在Rt△PAC中，tan∠PAC=，∴AC=PC，

在Rt△PBC中，tan∠PBC=，∴BC=PC，

∵AB=AC+BC=PC+PC=10×40=400，

∴PC=100，

答：建筑物P到赛道AB的距离为100米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值进行解答是关键.

6．（2020·江苏苏州市·中考真题）问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，．

求证：．

问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值．

【答案】问题1：见解析；问题2：

【分析】

问题1：先根据AAS证明，可得，，由此即可证得结论；

问题2：分别过点、作的垂线，垂足为、，由（1）可知，利用45°的三角函数值可得，，由此即可计算得到答案．

【详解】

问题1：证明：∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

在和中，

，

∴．

∴，，

∴．

问题2：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、．

由（1）可知，

在和中，，

∴，，

，．

∴，．

∴．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定及性质、解直角三角形，作出正确的辅助线并能利用解直角三角形的相关知识是解决本题的关键．