专题02 笔尖型-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题02  笔尖型

【规律总结】

结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；

结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.

【典例分析】

例1．（2020·广西钦州市·七年级期末）如图，已知，则的度数是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由题意过点C作CF//AB，可得CF//ED，进而利用平行线的性质进行分析计算即可．

【详解】

解：过点C作CF//AB，

∵CF//AB，，

∴CF//ED，

∴∠1+∠ACF=180°，∠FCD+∠3=180°,

∵∠2=∠FCD+∠ACF,

∴=∠1+∠ACF +∠FCD+∠3=180°+180°=360°．

故选：C．

【点睛】

本题考查平行线的性质，注意掌握两直线平行时，巧妙构造辅助线，熟练运用平行线的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．

例2．（2020·山西临汾市·七年级期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是______．

【答案】540°

【分析】

分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小．

【详解】

解：如图，根据题意可知：AB∥EF，

分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，

所以AB∥CG∥DH∥EF，

则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°，

∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°，

∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°．

故答案为：540°．

【点睛】

考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小．

例3．（2020·河北邢台市·八年级月考）如图1，四边形为一张长方形纸片．

（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．

（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．

（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．

（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．

【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．

【分析】

（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．

【详解】

（1）过E作EH∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，
∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；

（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·重庆南开中学七年级期末）如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（    ）.

A．30° B．40° C．50° D．65°

【答案】B

【分析】

由题意过点B作直线，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．

【详解】

解：如图，过点B作直线，

∵直线m//n，，

∴，

∴∠2+∠3=180°，

∵∠2=130°，

∴∠3=50°，

∵∠B=90°，

∴∠4=90°-50°=40°，

∵，

∴∠1=∠4=40°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．

2．（2016·浙江杭州市·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．

【详解】

过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，

∵AB∥EF，

∴AB∥CD∥MN∥EF，

∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，

∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，

∴=∠BCD+∠DCM=，

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．

二、填空题

3．（2017·上海长宁区·七年级期末）如图，已知，那么_______度．

【答案】540

【分析】

分别过E、F作AB的平行线，运用平行线的性质求解．

【详解】

作EM∥AB，FN∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD．
∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．
故答案为540°．

【点睛】

此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．

三、解答题

4．（2020·辽宁大连市·七年级期末）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．

数学课上，老师出示了这样—道题：

如图1，已知点分别在上，．求的度数．

同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：

小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”

小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”

小华：∵如图4，也能求出的度数．”

(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；

(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；

老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”

请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：

(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．

【答案】（1）过点作；（2）30；（3）．

【分析】

（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；

（2）过点作，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；

（3）设，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据角的和差关系即可得答案．

【详解】

（1）由图中虚线可知PQ//AC，

∴小明同学辅助线的做法为过点作，

故答案为：过点作

（2）如图2，过点作，

∵AB//CD，

∴PQ//AB//CD，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

∵EP⊥FP，

∴∠EPF=∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∵∠1=60°，

∴∠2=30°，

故答案为：30

（3）如图，设，过点作，

∵

，即．

【点睛】

本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

5．（2020·山西吕梁市·七年级期末）综合探究：已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．

（1）如图1，若，求的度数；

（2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．

【答案】（1）90°；（2）120°

【分析】

（1）过作，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题；

（2）过作，过点作，根据两直线平行，内错角相等性质解得，再根据角平分线性质，求得，最后再用平行线定理解题，证明，进而计算的值即可．

【详解】

解：（1）如图1，过作，

，

，

图1

（2）如图2，过作，过点作设

，，

，

，，

平分，平分，

，

，

平分，

，

，

，，

，，

图2

【点睛】

本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

6．（2020·湖南岳阳市·七年级期末）（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．

小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．

（2）问题迁移：

①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，问：∠、、∠之间有何数量关系？请说明理由．

②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠、、∠间的数量关系．

【答案】(1)110°；（2）①；②或

【分析】

（1）过点P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行线的性质可以求得和的度数，进一步可以得到的度数；

（2）分别过P作PQ//AD，则可得PQ//BC，再由平行线的性质和角的加减运算可以得解．

【详解】

解：（1）如图，过点P作PE//AB，则由平行线的性质可得PE//CD，所以：

，所以：

，

所以，；

（2）①，理由如下：

如图，过P作PQ//AD交DC于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：

，

∵，∴；

②分两种情况讨论：

第一种情况，P在射线AM上，如图，过P作PQ//AD交射线DN于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：

；

第二种情况，点P在OB之间，如图，过P作PQ//AD交射线OD于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：

【点睛】

本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运算是解题关键．

7．（2020·江苏淮安市·七年级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．

思路点拨：

小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；

小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；

小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．

问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为　   　°；

问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由见解析

【分析】

小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°．

（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；

（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．

【详解】

解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，

∴∠APC＝50°+60°＝110°，

故答案为：110；

（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：

如图5，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；

（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；

理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；

当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．

理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．