专题01 侧M型-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题01  侧M型

【规律总结】

结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；

结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.

【典例分析】

例1．（2020·辽宁大连市·七年级期末）如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　）

A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°

【答案】B

【分析】

过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．

【详解】

如图，过点C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴AB∥CF∥DE，

∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，

∵∠BCD＝70°，

∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，

∴∠α+∠β＝70°．

故选B．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键.

例2．（2020·湖北武汉市·七年级期末）如图，，平分，，，则__________．

【答案】

【分析】

过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解．

【详解】

解：过E点作EM∥AB，

∴∠B=∠BEM，

∵AB∥CD，

∴EM∥CD，

∴∠MED=∠D，

∴∠BED=∠B+∠D，

∵EF平分∠BED，

∴∠DEF=∠BED，

∵∠DEF+∠D=66°，

∴∠BED+∠D=66°，

∴∠BED+2∠D=132°，

即∠B+3∠D=132°，

∵∠B-∠D=28°，

∴∠B=54°，∠D=26°，

∴∠BED=80°．

故答案为：80°．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键．

例3．（2020·洛阳市第五中学九年级期中）已知：如图1，，．

（1）判断图中平行的直线，并给予证明；

（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．

【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，证明见解析；（2）∠P=3∠Q，证明解析．

【分析】

（1）求出∠AMN+∠2=180°，根据平行线的判定推出AB∥CD即可；延长EF交CD于F1，根据平行线性质和已知求出∠AEF=∠EF1L，根据平行线的判定推出即可；
（2）作QR∥AB，PL∥AB，根据平行线的性质得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．

【详解】

解：（1）AB∥CD，EF∥HL，
证明如下：∵∠1=∠AMN，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠AMN+∠2=180°，
∴AB∥CD；
延长EF交CD于F1，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EF1L，

∵∠AEF=∠HLN，

∴∠EF1L=∠HLN，
∴EF∥HL；

（2）∠P=3∠Q，
证明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，
∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，
∴∠RQN=∠QND，
∴∠MQN=∠QMB+∠QND，
∵AB∥CD，PL∥AB，
∴AB∥CD∥PL，
∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，
∴∠MPN=∠PMB+∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，
∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，
∴∠MPN=3∠MQN，
即∠P=3∠Q；

【点睛】

本题考查平行线的性质和判定，平行线公理的推论．能正确作出辅助线是解决本题的关键．

【好题演练】

1．（2020·广西柳州市·七年级期末）如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（   ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°

C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[

【答案】C

【分析】

过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．

【详解】

解：过点E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∵∠β=∠AEF+∠FED，
又∵∠γ=∠EDC，
∴∠α+∠β-∠γ=180°，
故选：C．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．

2．（2020·河南郑州市·七年级期末）如图，直线a//b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=43°，则∠2的度数为（   ）

A．101° B．103° C．105° D．107°

【答案】B

【分析】

如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．

【详解】

解：如图，∵直线a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，∠1=43°，
∴∠ANM=43°，
∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，
∴∠2=∠AMO=103°．
故选：B．

【点睛】

该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．

二、填空题

3．（2020·浙江绍兴市·七年级期末）如图，已知AB//CD，，，，则____度．

【答案】90

【详解】

解：如图，过点E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，

∴，，

，，

又∵，，

∴，，

∴，，

∴，

即：，

∴．

故答案为：90．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，平行公理，作辅助线构造内错角是解题的关键．

4．（2015·山西九年级专题练习）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠=_________.

【答案】20°

【解析】试题分析：延长CB交直线m于D，根据根据两直线平行，内错角相等解答即可，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠α．

试题解析：如图，延长CB交直线m于D，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∵l∥m，

∴∠1=40°．

∴∠α=∠ABC-∠1=60°-40°=20°．

考点：1．平行线的性质；2．等边三角形的性质．

三、解答题

5．（2020·辽宁辽阳市·七年级期末）请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接．

（1）在图（1）中，与有何关系？

（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？

（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？

（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？

（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？

（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）

【答案】（1）∠B+∠C=180º；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360º；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B

【分析】

（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答；

（2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论；

（3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论；

（4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论；

（5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论．

【详解】

（1）如图（1）∵与平行，∴∠B+∠C=180º；

（2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行），

∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，

∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，

即∠B+∠C=∠A；

（3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF，

∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º，

∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º，

即∠B+∠A+∠C=360º；

（4）如图（4），设BE与AC相交于D，

∵与平行，

∴∠C=∠ADE，

∵∠ADE=∠A+∠B，

∴∠A+∠B=∠C；

（5）如图（5），设CF与AB相交于D，

∵与平行，

∴∠B=∠ADF，

∵∠ADF=∠A+∠C，

∴∠A+∠C=∠B．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键．

6．（2020·云南昆明市·七年级期末）如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时将点分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接

问题提出:

（1）请直接写出点的坐标          ，           ，及四边形的面积   ﹔

拓展延伸:

（2）如图①，在坐标轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，试说明理由.

迁移应用:

（3）如图②，点是线段上的个动点，连接，当点在上移动时(不与重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.

【答案】（1）；（2）存在，M（0,6）或（0，-2）或（-3,0）或（1,0）；（3）结论①正确，

【分析】

（1）根据点的平移规律易得点C，D的坐标，可证四边形ABDC是平行四边形，由平行四边形的面积公式可求解；
（2）先计算出S△MAC=2，然后分M在x轴或y轴上两种情况，根据三角形面积公式列方程求解，从而确定M的坐标；
（3）作PE∥AB，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO．

【详解】

解：（1）由题意可知：C点坐标为，D点坐标为（4，2）

∴AB=4，OC=2

S四边形ABDC=AB×OC=4×2=8

故答案为：（0，2）；（4，2）；8

（2）存在

，且

①当点在轴上时，令

或

此时点的坐标为

②当点在轴上时，令

或b=1

此时点的坐标为

综上，点M的坐标为

（3）结论①正确

过点作交与点

∵AB∥CD

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，也考查了坐标与图形性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．