专题58 多个函数的综合问题（3）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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专题58 多个函数的综合问题（3）
【规律总结】
反比例函数
（k≠0）
k的符号
k＞0
k＜0
图像


性质
①x 的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0
②当k>0时，函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小
①x 的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0
②当k<0时，函数图像的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大

【典例分析】
例1．（2020·重庆西南大学附中九年级期末）如图，面积为的矩形在第二象限，与轴平行，反比例函数经过两点，直线所在直线与轴、轴交于两点，且为线段的三等分点，则的值为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
延长AB交x轴于点G，延长BC交y轴于点H，根据矩形面积求出的面积，通过平行可证明∽，∽，∽，然后利用相似的性质及三等分点可求出、、的面积，再求出四边形BGOH的面积，然后通过反比例函数比例系数的几何意义求出k值，再利用的面积求出b值即可．
【详解】
延长AB交x轴于点G，延长BC交y轴于点H，如图：

∵矩形ABCD的面积为1，
∴，
∵B、D为线段EF的三等分点，
∴，，，
∵，
∴，，
∴∽，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴∽，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴∽，
∴即，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴四边形BGOH是矩形，
根据反比例函数的比例系数的几何意义可知：，
∴，
∴
又∵，即，
∴，
∴直线EF的解析式为，
令，得，
令，即，解得，
∴，，
∵F点在轴的上方，
∴，
∴，，
∵，即，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义，一次函数与面积的结合，综合性较强，需熟练掌握各性质定理及做题技巧．
例2．（2020·安徽合肥市·九年级二模）如图，正方形ABCD的顶点A，B在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（k1≠0）在第二象限内的图象经过正方形ABCD的顶点D（m，2）和BC边上的点G（n，），直线y=k2x+b（k2≠0）经过点D，点G，则不等式≤k2x+b的解集为__________．

【答案】-3≤x≤-1或x＞0．
【分析】
利用正方形ABCD的顶点D的坐标得到正方形的边长为2，则G点坐标表示为（n-2，），则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到2m=（m-2），求出m得到G（-3，），D（-1，2），然后结合函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围（含两图象交点的横坐标）．
【详解】
解：∵正方形ABCD的顶点D的坐标为（m，2），
∴正方形的边长为2，
∴G（n-2，），
根据题意将D（m，2），G（m-2，）代入到反比例函数y＝（k1≠0）图象上，
∴2m=（m-2），
解得m=-1，
∴G（-3，），D（-1，2），
∵当-3≤x≤-1或x＞0时，≤k2x+b，
∴不等式≤k2x+b的解集为-3≤x≤-1或x＞0．
故答案为-3≤x≤-1或x＞0．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了正方形的性质．
例3．（2020·江苏镇江市·九年级其他模拟）已知函数y1＝2kx+k与函数，定义新函数y＝y2﹣y1
（1）若k＝2，则新函数y＝　 　；
（2）若新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，则k＝　 　，b＝　 　；
（3）设新函数y顶点为（m，n）．
①当k为何值时，n有大值，并求出最大值；
②求n与m的函数解析式；
（4）请你探究：函数y1与新函数y分别经过定点B，A，函数的顶点为C，新函数y上存在一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k的值．
【答案】（1）x2﹣6x+1；（2）5，﹣12；（3）①；② n＝﹣m2﹣m+4；（4）或﹣或﹣．
【解析】
【分析】

（1）把代入 再把 代入新函数即可得到答案，
（2）利用新函数的定义，结论关于的方程组即可得到答案，
（3）①利用新函数的定义，写出函数解析式，化为顶点式，利用二次函数的性质可得答案，②利用顶点坐标，消去
得到答案，
（4）先分别求解 的坐标，设，分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式可得答案．
【详解】

解：（1）当k＝2时， y1＝2kx+ k＝4x+2，
∵函数 ，定义新函数y＝y2﹣ y1，
∴y＝x2﹣2 x+3﹣4x﹣ 2 ＝x2﹣6x +1 ，
故答案为：x2﹣6x +1；
（2）函数y1＝2 kx+k与函数 ，定义新函数y＝y2﹣ y1，
∴新函数y的解析式为y＝x2 ﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣ 2（k+1）x +3 ﹣k，
∵新函数y的解析式为y＝x2+ bx﹣2，
∴b＝ ，3﹣k＝﹣2，
∴k＝5，b＝﹣ 12，
故答案为：5，﹣12；
（3）①由（2）知，新函数y＝ x2﹣2（k +1 ）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2 ﹣k2﹣3k +2，
∵新函数y顶点为（m，n），
∴
∴ ，
当时，的最大值
②由①知，
将k＝m﹣1代入 n＝﹣k2﹣3 k+2得：
∴n＝﹣m2﹣ m+4；
（4）∵函数y1＝ 2kx+k＝k （2x+1），
当2x+1＝0 即x＝ 时，y＝0，
∴A（ ，0），
∵新函数y＝x2﹣ 2（k+1）x +3 ﹣k＝x2﹣ 2（k+1）x ﹣（ k+1）+4＝x 2 ﹣（k+1）（2x +1）+4，
当2x+1＝0 ，即x＝ 时，y＝
∴B ，
∵函数
∴C（1，2 ），
设D（c，d ），
∵以点A，B，C ，D为顶点的四边形为平行四边形，
∴①当BC与AD为对角线时，

∴
∴D（1， ），
将点D坐标代入新函数y＝x 2﹣2（k+1 ） x+3﹣k，
得，1﹣2（k +1）+3﹣k＝，
∴
②当AB与CD是对角线时，


∴D（ ），
将点D坐标代入新函数y＝x2 ﹣2（k +1）x+3﹣k
得，4+4（k+1） +3﹣k＝ ，
∴k＝ ，
③当AC与BD为对角线时，

∴
∴D（1， ），
将点D坐标代入新函数y＝x2 ﹣2（k +1）x+3﹣k
得，1﹣2（k +1）+3﹣k＝，
∴k＝ ，
即满足条件的k的值为 或或 ．
【点睛】

本题考查的是二次函数的新定义题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．


【好题演练】
一、单选题
1．（2019·南昌高新区第二实验学校九年级期中）图（1）所示矩形ABCD中，BC＝x，CD＝y，y与x满足的反比例函数关系如图（2）所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．当x＝3时，EC＜EM
B．当y＝9时，EC＞EM
C．当x增大时，EC•CF的值增大
D．当x变化时，四边形BCDA的面积不变
【答案】D
【分析】
利用矩形的性质及等腰直角三角形的性质可得出AB=CD，∠E=∠F=45°，进而可得出△BEC和△CDF均为等腰直角三角形，结合BC=x，CD=y可得出EC=x，CF=y，EF=（x+y），再利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出xy=9．
A、代入x=3可求出y，EC，EF的长，再结合M为EF的中点可得出EM=3=EC，选项A不符合题意；
B、代入y=9可求出x，EC，EM的长，进而可得出EC＜EM，选项B不符合题意；
C、由EC=x，CF=y可得出EC•CF=2xy=2×9=18，选项C不符合题意；
D、利用矩形的面积公式结合xy=9可得出S矩形BCDA=xy=9，进而可得出当x变化时，四边形BCDA的面积不变，选项D符合题意．
此题得解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD．
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴∠E＝∠F＝45°，
∴△BEC和△CDF均为等腰直角三角形．
∵BC＝x，CD＝y，
∴AE＝x+y，
∴EC＝x，CF＝y，EF＝（x+y）．
∵y与x满足的反比例函数关系，且点（3，3）在该函数图象上，
∴xy＝9．
A、当x＝3时，y＝＝3，EC＝3，EF＝6．
又∵M为EF的中点，
∴EM＝3＝EC，选项A不符合题意；
B、当y＝9时，x＝1，
∴EC＝，EM＝EF＝5，
∴EC＜EM，选项B不符合题意；
C、∵EC＝x，CF＝y，
∴EC•CF＝2xy＝2×9＝18，选项C不符合题意；
D、∵S矩形BCDA＝xy＝9，
∴当x变化时，四边形BCDA的面积不变，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及矩形的面积，解题关键是利用排除法逐一分析四个选项的正误
2．（2020·四川绵阳市·九年级开学考试）如图，已知点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上的两点，连接AB．将直线AB向下平移3个单位得到直线l，在直线l上任取一点C，则△ABC的面积为（ ）

A． B．6 C． D．9
【答案】A
【分析】
由点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）在反比例函数y＝（k＞0）第一象限的图象上，可得到m、n之间的关系，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，构造直角三角形，可求出直角三角形的直角边的长，由平移可得直角三角形的直角顶点在直线l上，进而将问题转化为求△ADB的面积．
【详解】
解：∵点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）在反比例函数y＝（k＞0）第一象限的图象上，
∴k＝m（m+3）＝n（n﹣3），
即：（m+n）（m﹣n+3）＝0，
∵m+n＞0，
∴m﹣n+3＝0，即：m﹣n＝﹣3，
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线相交于点D，
∴BD＝xB﹣xA＝n﹣m＝3，AD＝yA﹣yB＝m+3﹣（n﹣3）＝m﹣n+6＝3，
又∵直线l是由直线AB向下平移3个单位得到的，
∴平移后点A与点D重合，
因此，点D在直线l上，
∴S△ACB＝S△ADB＝AD•BD＝，
故选：A．

【点睛】
本题主要考察反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是熟练掌握计算法则.


二、填空题
3．（2020·重庆涪陵区·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线上一点，为轴上一点，连接，线段绕点逆时针旋转90°至线段，过点作直线轴，垂足为，直线与直线交于点，且，连接，直线与直线交于点，则点的坐标为（______）

【答案】（，）．
【分析】
过E作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CME＝∠DNE＝∠CED＝90°，求出∠MCE＝∠DEN，证△MCE≌△NED，推出DN＝EM，EN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a−1，得出2a−1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，在Rt△DNE中，由勾股定理求出EC＝ED＝，在Rt△MCE中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx＋3，把D（-3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】
解：过E作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，

∠CME＝∠DNE＝∠CED＝90°，
∴∠MCE＋∠CEM＝90°，∠MEC＋∠DEN＝90°，
∴∠MCE＝∠DEN，
∵E（-1，1），
∴OM＝BN＝1，EM＝1，
在△MCE和△NED中，

∴△MCE≌△NED（AAS），
∴DN＝EM，EN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵E（1，1），
∴BN＝2a−1，
则2a−1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝-x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNE中，由勾股定理得：EC＝ED＝，
在Rt△MCE中，由勾股定理得：CM＝
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx＋3，
把D（-3，2）代入得：k＝，
即直线CD的解析式是y＝x＋3，
即方程组
得：
即F的坐标是（，）．
故答案为：（，）．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
4．（2020·浙江宁波市·九年级月考）如图菱形中，，点C坐标，过点作直线分别交于点，交于E，点E在反比例函数的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则的值为_______．

【答案】
【分析】
先说明△OBC为等边三角形,连接BD；再由等边三角形即等腰三角形的性质说明△ACD是直角三角形，然后由S△BEF=S△DFO,S△BED = S△BEF + S△BFD，S △BOD = S△BFD +S△OFD，可得出S △BED = S△BOD，然后求出BE的长，再求出E点坐标，将点E代入反比例函数即可求出k的值．
【详解】
解：连接BD
∵菱形中，
∴△BCO为等边三角形
∵点C的坐标为（-2，0）,
∴BC=OB=OC=OD=2，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵∠COB=60°，
∴∠OBD=∠ODB=30°，∠BCO=60°
∴∠CBD=90°
∴点B的坐标为（-1， ），
∴BD=2
∵S△BEF=S△DFO
∴S△BED = S△BEF + S△BFD，S △BOD = S△BFD +S△OFD
∴S△BED = S△BOD= ，解得BE=1,即E为BC的中点
∴E的坐标为(- ,)
将E (- ,)代入得k=．
故答案为．


【点睛】
本题属于反比例函数综合题，考查了直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的面积等有关知识，综合性较强，灵活应用所学知识是解答本题的关键．

三、解答题
5．（2020·贵州贵阳市·九年级二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和一次函数y=ax+b的图象经过点A(1，5)和点B(n，1)．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点M是线段AB下方反比例函数图象上的一动点，过点M作x轴的垂线，与一次函数y=ax+b的图象交于点P，连接OP、OM，求的面积的最大值．

【答案】（1），；（2）3
【分析】
（1）由已知的点A坐标求得反比例函数解析式，由解析式确定点B的坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）假设点M横的坐标是m，可以根据解析式分别写出M、P的纵坐标，从而表示出的底，高即是m，因此可以写出面积的表达式，再计算最值.
【详解】
解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（1，5）和点B（n，1）.
∴ 1×5＝n×1＝5
∴ k＝5，n＝5
∴反比例函数的表达式为
∵一次函数的图象经过点A（1，5）和点B（5，1）
∴
∴
一次函数的表达式为：

（2）设点M（m， ），则点P（m，），
∴PM＝ ﹣
∴
∴
∴（ ）
∵，开口向下，S有最大值
∴当m＝3时， 最大，最大值为2
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，要先确定需要的点；考查了面积的最大值与二次函数的结合，假设点的坐标是关键.
6．（2020·全国九年级课时练习）如图，已知抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于两点，以为直径作圆，圆心为点，圆与直线交于对称轴右侧的点，直线上每一点的纵坐标都等于1．

（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆与轴相切；
（3）过点作，垂足为，再过点作，垂足为求的值．
【答案】（1）（2）见详解（3）
【分析】
（1）可以利用二次函数顶点式求出解析式；
（2）根据抛物线与直线交于 、两点，直接将两式联立可以求出 、坐标，从而确定点的纵坐标以及的长度，进一步可得出圆心到轴的距离等于半径，即可得证最后结论；
（3）在（1）、（2）结论以及已知条件分别求出、的长，即可求得答案．
【详解】
解：（1）设抛物线方程为
∵抛物线的顶点坐标是
∴
∵抛物线经过点
∴
∴
∴抛物线的解析式是：
（2）∵直线与抛物线交于 、两点
∴
∴，
∴，
∵点是的中点
∴点的纵坐标是
∵
∴的半径
∴圆心到轴的距离等于半径
∴与轴相切
（3）过点作，垂足为，连接，如图：

∵由（2）可知，，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案是：（1）（2）见详解（3）
【点睛】
此题主要考查了求二次函数解析式，以及一次函数、二次函数以及圆的综合应用，综合性比较强，难度较大．