专题53 与二次函数有关的综合问题（1）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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【典例分析】
例1．（2020·福建九年级零模）若二次函数（且）过，，，，，且到对称轴的距离相等，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由点A（m，n）、C（2−m，n）到对称轴的距离相等，可求函数的对称轴为x＝1，所以b=-2a，根据a、b和c的取值范围，可以判断、和时，函数所对应的函数值，所以、和所对应的的二次函数的函数值；
【详解】
∵点A（m，n）、C（2−m，n）到对称轴的距离相等，
∴函数的对称轴为x＝1，
∴b=-2a，
又∵x=-1和x=3与对称轴的距离相等
∴x=-1和x=3对应的函数值相等
∵且
∴对于函数，
∵，，
当时，，
当时，，
当时，，
则，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
例2．（2020·全国九年级课时练习）二次函数f（x）的图象开口向上，D为顶点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若三角形ABC外接圆与y轴相切，且∠DAC＝150°，则x≠0时，的最小值是_____．
【答案】
【分析】
设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x1）（x﹣x2），△ABC外接圆的圆心为P．求出点P、D的坐标，可得：AH2＝PH•HD，从而证明△AHP∽△DHA．再利用三角形相似角对应相等，进一步证明出△PAC为等边三角形，即得出x2＝3x1，a2x12＝，即，再利用完全平方式可知，即可求解．
【详解】
设点A、B的坐标分别为：（x1，0），（x2，0），
设抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则点D的坐标为：，点C（0，ax1x2），
设△ABC外接圆的圆心为P，圆P与y轴相切，
连接CP，则CP⊥y轴，
则点P的横坐标和点D的横坐标相同，其纵坐标和点C的纵坐标相同，
故点P的坐标为：，
∵PA＝PC，
∴，
∴a2x1x2＝1，
设函数对称轴交x轴于点H，连接AD，
AH2＝（﹣x1）2＝（）2；
PH•HD＝ax1x2•a（）2＝AH2，
即AH2＝PH•HD，
而∠PHA＝∠DHA＝90°，
故△AHP∽△DHA，
∴∠APH＝∠HAD，
∴∠PAD＝∠PAH+∠DAH＝∠APH+∠PAH＝90°，
故∠PAC＝∠CAD﹣∠PAD＝150°﹣90°＝60°，
而PC＝PA，
故△PAC为等边三角形，
则∠OCA＝∠OCP﹣∠ACP＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△OCA中，OA＝AC＝PC，
即（x1+x2）＝2x1，
即x2＝3x1，而a2x1x2＝1，则a2x12＝，
则抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x1）（x﹣3x1），
故，
设：m、n为非负实数，由完全平方公式得：（当且仅当m＝n时等号成立），
即m+n≥2，
故，
故的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的综合运用、圆切线的性质、三角形相似的判定和性质、等边三角形的性质，综合性很强，题目难度很大．
例3．（2021·江苏苏州市·九年级期末）直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，连接，点为上方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接，交线段于点，若，求此时点的坐标；
（3）如图②，连接．过点作轴，交线段于点，若与相似，求出点的横坐标及线段长．
【答案】（1）；（2），；（3），或，
【分析】
（1）先根据直线与坐标轴的交点可求得B、C的坐标，再将B、C的坐标代入抛物线解析式列方程求解即可得出答案；
（2）先求出A的坐标，利用待定系数法求出直线AC及BP的解析式，联立得出交点D的横坐标；如图过点P作PH轴于点H，作DG轴于点G，证明，再根据相似三角形的性质列方程求解即可得出答案；
（3）设P点坐标为可得出点E的坐标，先求出PE、AC、EC的值，再分，2种情况根据相似三角形的性质求得的值，从而得出PE的值．
【详解】
（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
令，则；令，则，
B（1,0），C（0,3）
抛物线经过，两点，
将B、C的坐标代入解析式可得
解得
抛物线解析式为：；
（2）令抛物线，可得或
A（-3,0）
C（0,3）
设直线AC的解析式为：
将A（-3,0），C（0,3）代入直线，得
解得：
直线AC的解析式为：
设P点坐标为（,）
设直线BP的解析式为：
将B（1,0），P（,）代入解析式中，得
解得：
直线BP的解析式为：
联立直线BP与直线AC
解得
如图过点P作PH轴于点H，作DG轴于点G
，
又
PD：BD=5:16
BG：BH=16:21
BG=，BH=
解得：或，
经检验，，都是方程的根，
当时，；
当时，
故点P的坐标为（，），（，）；
（3）设P点坐标为
，,,
轴
又,
①当时
即
解得：或
经检验不是方程的根，应舍去，
；
②当时
即
解得：或
经检验不是方程的根，应舍去，
．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、一次函数的解析式，解题的关键是熟练运用待定系数法求解析式，并运用相似三角形的判定及性质得出边角关系，分类讨论．
【好题演练】
一、单选题
1．（2020·台州市路桥区桐屿镇中学九年级月考）我们定义一种新函数：形如（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4B．3C．2D．1
2．（2020·广西南宁市·三美学校九年级学业考试）如图是抛物线，其顶点为，且与轴的个交点在点和之间，则下列结论正确的个数是（ ）个
①若抛物线与轴的另一个交点为，则；②；③若时，随的增大而增大，则．
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确判断的序号是_____．
4．（2020·温州市第十二中学九年级期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），为的边上的高线，抛物线顶点与点的最小距离为1，则抛物线解析式为______．
三、解答题
5．（2021·广西柳州市·九年级期末）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点的坐标；
（2）如图，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标．
6．（2020·淮南市龙湖中学九年级月考）探究函数y=x|x-2|的图象与性质．
小娜根据学习函数的经验，对函数y=x|x-2|的图象与性质进行了探究．
下面是小娜的探究过程，请补充完整：
（1）下表是x与y的几组对应值．
请直接写出：m= ，n= ；
（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程x|x-2|=a有三个不同的解，记为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．请直接写出x1+x2+x3的取值范围．
解析式
a的取值
开口方向
函数值的增减
顶点坐标
对称轴
图像与y轴的交点
；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x的增大而增大。
；开口向下；在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x的增大而减小。