专题53 与二次函数有关的综合问题（1）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题53  与二次函数有关的综合问题（1）

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2020·福建九年级零模）若二次函数（且）过，，，，，且到对称轴的距离相等，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由点A（m，n）、C（2−m，n）到对称轴的距离相等，可求函数的对称轴为x＝1，所以b=-2a，根据a、b和c的取值范围，可以判断、和时，函数所对应的函数值，所以、和所对应的的二次函数的函数值；

【详解】

∵点A（m，n）、C（2−m，n）到对称轴的距离相等，

∴函数的对称轴为x＝1，

∴b=-2a，

又∵x=-1和x=3与对称轴的距离相等

∴x=-1和x=3对应的函数值相等

∵且

∴对于函数，

∵，，

当时，，

当时，，

当时，，

则，

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．

例2．（2020·全国九年级课时练习）二次函数f（x）的图象开口向上，D为顶点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若三角形ABC外接圆与y轴相切，且∠DAC＝150°，则x≠0时，的最小值是_____．

【答案】

【分析】

设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x1）（x﹣x2），△ABC外接圆的圆心为P．求出点P、D的坐标，可得：AH2＝PH•HD，从而证明△AHP∽△DHA．再利用三角形相似角对应相等，进一步证明出△PAC为等边三角形，即得出x2＝3x1，a2x12＝，即，再利用完全平方式可知，即可求解．

【详解】

设点A、B的坐标分别为：（x1，0），（x2，0），

设抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x1）（x﹣x2），

则点D的坐标为：，点C（0，ax1x2），

设△ABC外接圆的圆心为P，圆P与y轴相切，

连接CP，则CP⊥y轴，

则点P的横坐标和点D的横坐标相同，其纵坐标和点C的纵坐标相同，

故点P的坐标为：，

∵PA＝PC，

∴，

∴a2x1x2＝1，

设函数对称轴交x轴于点H，连接AD，

AH2＝（﹣x1）2＝（）2；

PH•HD＝ax1x2•a（）2＝AH2，

即AH2＝PH•HD，

而∠PHA＝∠DHA＝90°，

故△AHP∽△DHA，

∴∠APH＝∠HAD，

∴∠PAD＝∠PAH+∠DAH＝∠APH+∠PAH＝90°，

故∠PAC＝∠CAD﹣∠PAD＝150°﹣90°＝60°，

而PC＝PA，

故△PAC为等边三角形，

则∠OCA＝∠OCP﹣∠ACP＝90°﹣60°＝30°，

在Rt△OCA中，OA＝AC＝PC，

即（x1+x2）＝2x1，

即x2＝3x1，而a2x1x2＝1，则a2x12＝，

则抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x1）（x﹣3x1），

故，

设：m、n为非负实数，由完全平方公式得：（当且仅当m＝n时等号成立），

即m+n≥2，

故，

故的最小值为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查二次函数的综合运用、圆切线的性质、三角形相似的判定和性质、等边三角形的性质，综合性很强，题目难度很大．

例3．（2021·江苏苏州市·九年级期末）直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，连接，点为上方的抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，连接，交线段于点，若，求此时点的坐标；

（3）如图②，连接．过点作轴，交线段于点，若与相似，求出点的横坐标及线段长．

【答案】（1）；（2），；（3），或，

【分析】

（1）先根据直线与坐标轴的交点可求得B、C的坐标，再将B、C的坐标代入抛物线解析式列方程求解即可得出答案；

（2）先求出A的坐标，利用待定系数法求出直线AC及BP的解析式，联立得出交点D的横坐标；如图过点P作PH轴于点H，作DG轴于点G，证明，再根据相似三角形的性质列方程求解即可得出答案；

（3）设P点坐标为可得出点E的坐标，先求出PE、AC、EC的值，再分，2种情况根据相似三角形的性质求得的值，从而得出PE的值．

【详解】

（1）直线与轴交于点，与轴交于点，

令，则；令，则，

B（1,0），C（0,3）

抛物线经过，两点，

将B、C的坐标代入解析式可得

解得

抛物线解析式为：；

（2）令抛物线，可得或

A（-3,0）

C（0,3）

设直线AC的解析式为：

将A（-3,0），C（0,3）代入直线，得

解得：

直线AC的解析式为：

设P点坐标为（,）

设直线BP的解析式为：

将B（1,0），P（,）代入解析式中，得

解得：

直线BP的解析式为：

联立直线BP与直线AC

解得

如图过点P作PH轴于点H，作DG轴于点G

，

又

PD：BD=5:16

BG：BH=16:21

BG=，BH=

解得：或，

经检验，，都是方程的根，

当时，；

当时，

故点P的坐标为（，），（，）；

（3）设P点坐标为

，,,

轴

又,

①当时

即

解得：或

经检验不是方程的根，应舍去，

；

②当时

即

解得：或

经检验不是方程的根，应舍去，

．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、一次函数的解析式，解题的关键是熟练运用待定系数法求解析式，并运用相似三角形的判定及性质得出边角关系，分类讨论．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·台州市路桥区桐屿镇中学九年级月考）我们定义一种新函数：形如（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　）

①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；

②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；

③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；

④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；

⑤当x＝1时，函数的最大值是4，

A．4 B．3 C．2 D．1

2．（2020·广西南宁市·三美学校九年级学业考试）如图是抛物线，其顶点为，且与轴的个交点在点和之间，则下列结论正确的个数是（    ）个

①若抛物线与轴的另一个交点为，则；②；③若时，随的增大而增大，则．

A． B． C． D．

二、填空题

3．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．

①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；

②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；

④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．

其中正确判断的序号是_____．

4．（2020·温州市第十二中学九年级期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），为的边上的高线，抛物线顶点与点的最小距离为1，则抛物线解析式为______．

三、解答题

5．（2021·广西柳州市·九年级期末）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．

（1）求这个二次函数的表达式，并写出点的坐标；

（2）如图，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标．

6．（2020·淮南市龙湖中学九年级月考）探究函数y=x|x-2|的图象与性质．

小娜根据学习函数的经验，对函数y=x|x-2|的图象与性质进行了探究．

下面是小娜的探究过程，请补充完整：

（1）下表是x与y的几组对应值．

请直接写出：m=     ，n=     ；

（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程x|x-2|=a有三个不同的解，记为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．请直接写出x1+x2+x3的取值范围．