专题57 多个函数的综合问题（2）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题57  多个函数的综合问题（2）

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2020·安徽蚌埠市·九年级月考）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，C，D两点在反比例函数的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝6，BD＝3，EF＝8，则k1﹣k2的值是（   ）

A．10 B．18 C．12 D．16

【答案】D

【分析】

由反比例函数的性质可知，，结合和可求得的值．

【详解】

解：连接、、、，如图：

由反比例函数的性质可知，，

，

①，

，

②，

由①②两式得：，

解得，

则，

故选：．

【点睛】

本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．

例2．（2020·浙江宁波市·八年级期末）如图，直线y＝mx+n与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点A（2，4），与y轴相交于点B（0，2），点C在该反比例函数的图象上运动，当△ABC的面积超过5时，点C的横坐标t的取值范围是_____．

【答案】或

【分析】

过C作CD∥y轴，交直线AB于点D．把A（2，4）代入y＝，求出k＝8，得到反比例函数的解析式，再把A（2，4），B（0，2）代入y＝mx+n，求出直线AB的解析式为y＝x+2．设C（t，），则D（t，t+2）．由三角形的面积公式可得S△ABC＝CD×2＝CD＝|t+2﹣|，根据△ABC的面积超过5列出不等式|t+2﹣|＞5，解不等式即可．

【详解】

解：如图，过C作CD∥y轴，交直线AB于点D．

∵双曲线y＝（k＞0，x＞0）过点A（2，4），

∴k＝2×4＝8，

∴y＝．

∵直线y＝mx+n过点A（2，4），B（0，2），

∴，解得，

∴直线AB的解析式为y＝x+2．

设C（t，），则D（t，t+2），CD＝|t+2﹣|．

∵S△ABC＝CD×2＝CD＝|t+2﹣|，

∴当△ABC的面积超过5时，|t+2﹣|＞5，

∴t+2﹣＞5或t+2﹣＜﹣5．

①如果t+2﹣＞5，那么＞0，

∵t＞0，

∴t2﹣3t﹣8＞0，

∴t＞或t＜（舍去）；

②如果t+2﹣＜﹣5，那么＜0，

∵t＞0，

∴t2+7t﹣8＜0，

∴﹣8＜t＜1，

∴0＜t＜1．

综上所述，当△ABC的面积超过5时，点C的横坐标t的取值范围是t＞或．

故答案为：t＞或0＜t＜1．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形面积，不等式的性质，一元二次方程解法等知识点，利用三角形面积等量代换列出不等式是解题的关键．

例3．（2020·海安市海陵中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为(6，n)．线段OA＝5，E为x轴上一点，且cos∠AOE＝．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求的面积．

（3）结合图象直接写出：反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围．

【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为y＝− x＋2；（2）6；（3）−3＜x＜0或x＞6．

【分析】

（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（−3，4），再把A点坐标代入可求得m＝−12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y＝kx＋b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；

（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；

（3）观察函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．

【详解】

解：（1）作AD⊥x轴于D，如图，

在Rt△OAD中，∵cos∠AOE＝＝，

∴OD＝OA＝3，

∴AD＝＝4，

∴A（−3，4），

把A（−3，4）代入得m＝−4×3＝−12，

所以反比例函数解析式为；

把B（6，n）代入得6n＝−12，解得n＝−2，

把A（−3，4）、B（6，−2）分别代入y＝kx＋b得，

解得，

所以一次函数解析式为y＝− x＋2；

（2）当y＝0时，− x＋2＝0，解得x＝3，则C（3，0），

所以S△AOC＝×4×3＝6；

（3）当−3＜x＜0或x＞6时，反比例函数的值大于一次函数的值．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题以及解直角三角形，熟练掌握反比例函数与一次函数的解析式和解直角三角形的方法是解题的关键，也考查了观察函数图象的能力．

【好题演练】

一、单选题

1．（2019·四川达州市·九年级期末）如图，点M为反比例函数y＝上的一点，过点M作x轴，y轴的垂线，分别交直线y＝-x+b于C，D两点，若直线y＝-x+b分别与x轴，y轴相交于点A，B，则AD·BC的值是（    ）

A．3 B．2 C．2 D．

2．（2020·四川内江市·八年级期末）如图所示，已知点C（2，0），直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当的周长取最小值时，点D的坐标为（     ）

A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，）

二、填空题

3．（2020·广东深圳市·九年级二模）如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为_____．

4．（2020·广东深圳市·）如图，在平面直角坐标系中，半径为的⊙B经过原点O，且与x，y轴分交于点A，C，点C的坐标为(0，2)，AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D，则经过D点的反比例函数的解析式为_______.

三、解答题

5．（2020·重庆市鲁能巴蜀中学校九年级期中）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）下表是y与x的几组值，请在表格的空白处填上恰当的数字．

（2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图象；

（3）观察函数的图象，请写出该函数的一条性质：　   　．

（4）若函数的图象与直线（t为常数）有三个交点，则t的取值范围为　   　．

6．（2020·江西南昌市·九年级期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△绕点O顺时针旋转后得到．

（1）点C的坐标为_________，线段_________；

（2）点M在上，且，抛物线经过点，求抛物线的解析式；

（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长；若不存在，请说明理由．