专题35 内外心综合问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题35  内外心综合问题

【规律总结】

1、内心（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。（2）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r  ③（r为内切圆半径）

④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90°+∠B/2  

2、外心（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。（2）三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.  ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R  ⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA    ⑥S△ABC=abc/4R

【典例分析】

例1．（2020·浙江省黄岩实验中学九年级期中）如图，扇形AOD中，，，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），于Q，点I为的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°-135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=．

【详解】

解：如图，连OI，PI，DI，
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OD，即∠PHO=90°，
∴∠PIO=180°-（∠HOP+∠OPH）=180°-（180°-90°）=135°，

在△OPI和△ODI中，

，

∴△OPI≌△ODI（SAS），
∴∠DIO=∠PIO=135°，
所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；
过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，
在优弧DO取点P′，连P′D，P′O，
∵∠DIO=135°，
∴∠DP′O=180°-135°=45°，
∴∠DO′O=90°，而OD=6，
∴OO′=DO′=，

∴r的值为，

故选D．

【点睛】

本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．

例2．（2020·山东省昌乐第一中学九年级期中）如图，是的内心，的延长线与的外接圆相交于点，与交于点，连接、、、．下列说法：①，②，③；④点是的外心；正确的有______．（填写正确说法的序号）

【答案】①③④

【分析】

利用三角形内心的性质得到，根据旋转的性质可对①进行判断；利用三角形内心的性质可对②进行判断；利用，和三角形内角和定理得，可对③判断；通过证明，可得，在证明，可对④进行判断．

【详解】

∵是的内心，

∴AD平分，即，

∴绕点A顺时针旋转一定的角度一定能和重合，

∴①正确；

∵是的内心，

∴点I到三角形三边距离相等，

∴②错误；

∵BI平分，CI平分，

∴，，

∵

∴③正确；

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴点B、I、C在以点D为圆心，DB为半径的圆上，即点是的外心，

∴④正确．

故答案为：①③④．

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆与内心的性质，以及旋转的性质和三角形外心，熟练掌握三角形内切圆以及内心的性质是解答本题的关键．

例3．（2020·陕西九年级专题练习）问题提出

（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为　   　

问题探究

（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；

问题解决

（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？

【答案】（1）；（2）E、P之间的最大距离为7；（3）修建这条小路最多要花费元．

【分析】

（1）若AO交BC于K，则AK＝8，在Rt△BOK中，设OB＝x，可得x2＝62+（8﹣x）2，解方程可得OB的长；

（2）延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的最大距离为OE+OP的长即可；

（3）先求出所在圆的半径，过点D作DG⊥BC，垂足为G，连接DO并延长交于点P，则DP为入口D到上一点P的最大距离，求出DP长即可求出修建这条小路花费的最多费用．

【详解】

（1）

如图，若AO交BC于K，

∵点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，

∴AK⊥BC，BK＝，

∴AK＝，

在Rt△BOK中，OB2＝BK2+OK2，设OB＝x，

∴x2＝62+(8−x)2，

解得x＝，

∴OB＝；

故答案为：．

（2）

如图，连接EO，延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的距离最大，

∵在是任意取一点异于点P的P′，连接OP′，P′E，

∴EP＝EO+OP＝EO+OP′＞EP′，即EP＞EP′，

∵AB＝4，AD＝6，

∴EO＝4，OP＝OC＝，

∴EP＝OE+OP＝7，

∴E、P之间的最大距离为7．

（3）

作射线FE交BD于点M，

∵BE＝CE，EF⊥BC，是劣弧，

∴所在圆的圆心在射线FE上，

假设圆心为O，半径为r，连接OC，则OC＝r，OE＝r−40，BE＝CE＝，

在Rt△OEC中，r2＝802+(r−40)2，

解得：r＝100，

∴OE＝OF−EF＝60，

过点D作DG⊥BC，垂足为G，

∵AD∥BC，∠ADB＝45°，

∴∠DBC＝45°，

在Rt△BDG中，DG＝BG＝，

在Rt△BEM中，ME＝BE＝80，

∴ME＞OE，

∴点O在△BDC内部，

∴连接DO并延长交于点P，则DP为入口D到上一点P的最大距离，

∵在上任取一点异于点P的点P′，连接OP′，P′D，

∴DP＝OD+OP＝OD+OP′＞DP′，即DP＞DP′，

过点O作OH⊥DG，垂足为H，则OH＝EG＝40，DH＝DG−HG＝DG−OE＝60，

∴,

∴DP＝OD+r＝，

∴修建这条小路最多要花费40×元．

【点睛】

本题主要考查了圆的性质与矩形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·江苏苏州市·九年级期中）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（    ）．

A． B． C． D．

2．（2020·上饶市广信区第七中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为，点A的坐标是，，把绕点A按顺时针方向旋转后，得到，则的外接圆圆心坐标是（  ）

A． B． C． D．

二、填空题

3．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）如图，中，，边上有一点P（不与点重合），I为的内心，若的取值范围为，则_______．

4．（2020·福建南平市·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C是半圆AB上一动点（不与A，B重合），CD平分∠ACB交⊙O于点D，点 I是△ABC的内心，连接BD．下列结论：

①点D的位置随着动点C位置的变化而变化；

②ID=BD；

③OI的最小值为；

④ACBC=CD．

其中正确的是 _____________ ．（把你认为正确结论的序号都填上）

三、解答题

5．（2020·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级一模）如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．

（1）判断△AEF的形状为　   　，并判断AD与⊙O的位置关系为　   　；

（2）求t为何值时，EN与⊙O相切，求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；

（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为　   　；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）

（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为　   　．

（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）

6．（2020·浙江宁波市·九年级学业考试）如图，AB为⊙O的直径，点C为下方的一动点，连结OC，过点O作OD⊥OC交BC于点D，过点C作AB的垂线，垂足为F，交DO的延长线于点E．

（1）求证：EC＝ED．

（2）当OE＝OD，AB＝4时，求OE的长．

（3）设＝x，tanB＝y．

①求y关于x的函数表达式；

②若△COD的面积是△BOD的面积的3倍，求y的值．