专题55 与二次函数有关的综合问题（3）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题55  与二次函数有关的综合问题（3）

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2020·全国九年级期末）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（    ）

A．点B坐标为(5，4) B．AB＝AD C．a＝ D．OC•OD＝16

【答案】D

【分析】

由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC•OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．

【详解】

解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0），因为对称轴为直线x＝，所以D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．

例2．（2020·全国九年级课时练习）二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1、A、A、…、A在y轴的正半轴上，点B、B、B、…、B在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3、…、△A2017B2018A2018都为等边三角形，则△ABA的边长＝____________．

【答案】2018

【分析】

分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=a，BB2=b，CB3=c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线y=x2中，求a、b、c的值，得出规律．

【详解】

解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，
设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=a，BB2=b，CB3=c,

在正△A0B1A1中，B1（a，），
代入y=x2中，得=×a2，解得a=1，即A0A1=1，
在正△A1B2A2中，B2（b，1+），
代入y=x2中，得1+=×b2，解得b=2，即A1A2=2，
在正△A2B3A3中，B3（c，3+），
代入y=x2中，得3+=×c2，解得c=3，即A2A3=3，
…
依此类推由此可得△A2017B2018A2018的边长=2018，
故答案为： 2018．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．

例3．（2020·福建省福州民族中学九年级月考）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．

（1）直接写出A点B点坐标及抛物线的函数关系式；

（2）判断△ABM的形状，并说明理由；

（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点，若将（1）中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．

【答案】（1）A（-1，0），B（2，3），；（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°，理由见解析；（3）

【分析】

（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

（2）根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；

（3）根据抛物线平移以后的顶点可得平移后的解析式为，由抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，则，方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可．

【详解】

（1）∵点A是直线与轴的交点，

∴A点为（-1，0）

∵点B在直线上，且横坐标为2，

∴B点为（2，3）

∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：

∴，解得：

∴抛物线的解析式为．

（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：

作BC⊥轴于点C，

∵A（-1，0）、B（2，3）

∴AC＝BC＝3，

∴∠BAC＝45°；

点M是抛物线的顶点，

∴M点为（0，-1）

∴OA＝OM＝1，

∵∠AOM＝90°

∴∠MAC＝45°；

∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°

∴△ABM是直角三角形．

（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为

∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点

∴

化简得：

∴＝＝

当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点，解得：，

∴．

【点睛】

本题考查二次函数的综合应用，包括待定系数法，直角三角形的判定，一元二次方程根的判别式，熟记基本的性质与运算公式是解题关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·云南昆明市·九年级期末）如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．

①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点；

②若点M（－2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1<y2<y3；

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝－（x＋1）2＋m；

④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．

其中正确判断有（    ）

A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③

2．（2020·浙江绍兴市·九年级学业考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的点坐标为，点在轴上，点在轴上．点是边上的动点，连接，作点关于线段的对称点．已知一条抛物线经过三点，且点恰好是抛物线的顶点，则的值为（）

A． B． C． D．

二、填空题

3．（2019·吉林东北师大附中九年级一模）如图，抛物线与轴交于点，顶点为（点在轴上方），抛物线的对称轴交轴于点，交于点，．直线与抛物线的另一个交点为．当时，的值是________．

4．（2020·河北邯郸市·九年级月考）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…，如此进行下去，直至得．

（1）请写出抛物线的解析式：________；

（2）若在第10段抛物线上，则______．

三、解答题

5．（2020·福建南平市·九年级期中）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，且，直线（）与二次函数的图象交于点，（点在点的右边），交轴于点，交轴于点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若，，求的面积；

（3）若，直线与轴相交于点，求的取值范围．

6．（2020·四川凉山彝族自治州·九年级月考）如图，以点C为顶点抛物线的图象经过，，三点，直线解析式为：，且与抛物线交于点P．

（1）求抛物线的解析式

（2）线段上有点E使得直线将的面积分为1：3两部分，求点E的坐标．

（3）当时，抛物线上是否存在一点M，过点M作轴干N点，使得以A，M，N三点为顶点的三角形与相似?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．