专题46 与正方形有关的三垂线问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题46  与正方形有关的三垂线问题

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2020·江苏常州市·八年级期中）如图，四边形AFDC是正方形，和都是直角，且E，A，B三点共线，，则图中阴影部分的面积是（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6

【答案】C

【分析】

易证△AEC≌△FBA，得AB=EC，即可求得．

【详解】

∵四边形AFDC是正方形

∴AC=AF，∠FAC=90°

∴∠CAE+∠FAB=90°

又∵∠CAE+∠ACE=90°

∴∠ACE=∠FAB

又∵∠CEA=∠FBA=90°

∴△AEC≌△FBA

∴AB=EC=4

∴图中阴影部分的面积=

故选C

【点睛】

本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．

例2．（2021·上海九年级专题练习）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A点的坐标（0，4），B点的坐标（﹣3，0），则点D的坐标是_____．

【答案】（4，1）．

【分析】

过点D作DE⊥y轴于E，由“AAS”可证△ABO≌△DAE，可得AE＝OB，DE＝OA，即可求解．

【详解】

解：如图，过点D作DE⊥y轴于E，

∵∠BAO+∠DAE＝∠ADE+∠DAE＝90°，

∴∠BAO＝∠ADE，

在△ABO和△DAE中，

，

∴△ABO≌△DAE（AAS），

∴AE＝OB，DE＝OA，

∵A（0，4），B（﹣3，0），

∴OA＝4，OB＝3，

∴OE＝4﹣3＝1，

∴点D的坐标为（4，1）．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

例3．（2020·渠县清溪中学九年级期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时．

(1)求证：△ABD≌△ACF；

(2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．

【答案】(1)证明见解析； (2)

【分析】

（1）由题意易得AD＝AF，∠DAF＝90°，则有∠DAB＝∠FAC，进而可证AB＝AC，然后问题可证；

（2）由（1）可得△ABD≌△ACF，则有∠ABD＝∠ACF，进而可得∠ACF＝135°，然后根据正方形的性质可求解．

【详解】

(1)证明：∵四边形ADEF为正方形，

∴AD＝AF，∠DAF＝90°，

又∵∠BAC＝90°，

∴∠DAB＝∠FAC，

∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，

∴∠ACB＝45°，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

∴△ABD≌△ACF(SAS)；

(2)解：由(1)知△ABD≌△ACF，

∴∠ABD＝∠ACF，

∵∠ABC＝45°，

∴∠ABD＝135°，

∴∠ACF＝135°，

由(1)知∠ACB＝45°，

∴∠DCF＝90°，

∵正方形ADEF边长为，

∴DF＝4，

∴OC＝DF＝×4＝2．

【点睛】

本题主要考查正方形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·吉林长春市·九年级期中）如图，在正方形中，点E在边上，于点G，交于点F.若，，则的面积与四边形的面积之比是（　　）

A． B． C． D．

2．（2020·福建福州市·九年级开学考试）如图，点，点在射线上匀速运动，运动的过程中以为对称中心，为一个顶点作正方形，当正方形的面积为40时，点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

3．（2021·上海九年级专题练习）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD的长为_____．

4．（2020·三明市第四中学八年级月考）如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4=__．

三、解答题

5．（2020·河南郑州市第十九初级中学九年级月考）（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；

（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；

（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．

6．（2020·江西吉安市·九年级期中）如图1，已知正方形和正方形，点在同一直线上，连接，，与相交于点．

（1）求证：．

（2）如图2，是边上的一点，连接交于点，且．

①求证：；

②若，直接写出的值．