专题70 综合运用类问题（2）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题70  综合运用类问题（2）

【规律总结】

综合运用初中数学的知识点、结论、方法等；考察综合运用的能力；能理性和强！

【典例分析】

例1．（2020·合肥市第四十八中学九年级一模）如图，等腰的一个锐角顶点是上的一个动点，，腰与斜边分别交于点，分别过点作的切线交于点，且点恰好是腰上的点，连接，若的半径为4，则的最大值为：（    ）

A． B． C．6 D．8

【答案】A

【分析】

先由等腰三角形的性质、切线的性质及圆的半径相等判定四边形ODFE是正方形，再得出点C在以EF为直径的半圆上运动，则当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，用勾股定理计算出OG的长度，再加上CG的长度即可．

【详解】

解：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠DOE=2∠A=90°，

∵分别过点D，E作⊙O的切线，

∴OD⊥DF，OE⊥EF，

∴四边形ODFE是矩形，

∵OD=OE=4，

∴四边形ODFE是正方形，

∴EF=4，

∵点F恰好是腰BC上的点，

∴∠ECF=90°

∴点C在以EF为直径的半圆上运动，

∴设EF的中点为G，则EG=FG=CG=EF=2，且当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，此时，在Rt△OEG中，OG=，

∴OC=OG+CG=.

故答案为：A.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、正方形的判定、直角所对的弦是直径及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

例2．（2020·温岭市第三中学九年级期中）如图，已知∠MON＝120°，点A、B分别在OM，ON上，且OA＝OB＝a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′与点D，连接AC，AD，有下列结论：

①点C始终在以O为圆心，OB长为半径的圆上；

②∠ADB的大小随α的变化而变化；

③当α＝30°时，四边形OADC为菱形；

④△ACD面积的最大值为a2，

其中正确的结论是　   　．（把你认为正确结论的序号都填上）

【答案】①③④

【分析】

①正确，由题意只要证明OC＝OA＝OB即可判断．

②错误，由题意只要证明∠ADC＝60°即可判断．

③正确，由题意只要证明△AOC，△ADC都是等边三角形即可判断．

④正确，根据题意当AC是⊙O直径时，△ADC的面积最大，由此即可判断．

【详解】

解：连接OC．

∵A，C关于直线OM′对称，

∴OM′垂直平分线段AC，

∴OA＝OC，

∵OA＝OB，

∴OC＝OA＝OB，

∴点C始终在以O为圆心，OB长为半径的圆上，故①正确，

∵OC＝OA，DC＝DA，OD＝OD，

∴△ODC≌△ODA（SSS），

∴∠OCD＝∠OAD，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵∠OCB+∠OCD＝180°，

∴∠OBC+∠OAD＝180°，

∴∠ADC+∠BOA＝180°，

∵∠BOA＝120°，

∴∠ADC＝60°，故②错误，

当α＝30°时，∠COA＝∠CDA＝60°，

∵OC＝OB，DC＝DA，

∴△AOC，△ADC都是等边三角形，

∴OA＝OC＝CD＝AD＝AC，

∴四边形OADC是菱形，故③正确，

∵AC是⊙O的弦，

∴当AC是⊙O的直径时，AC的值最大，此时△ADC的面积最大，

∵DA＝DA，∠ADC＝60°，

∴△ADC是等边三角形，AC＝2a，

∴△ADC的面积的最大值＝×（2a）2＝a2，故④正确，

故答案为：①③④．

【点睛】

本题考查轴对称变换，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

例3．（2019·义乌市绣湖中学教育集团八年级月考）已知直线：与轴交于点，与轴交于点.将直线沿轴翻折，得到一个新函数的图象，(图)，直线与轴交于点

(1)求新函数的图象，的解析式；

(2)在直线上一动点 ， 连接， 试求的面积关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围：

(3)如图，过点画平行于轴的直线，

①求证：是等腰直角三角形；

②将直线沿轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与轴交于点，与y轴交于点，在直线上是否存在点(纵、横坐标均为整数)，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

【答案】（1）y＝−x＋2，（2）S＝，（3）①见解析②存在；P（2，2）或（2，−2）或（2，4）．

【分析】

（1）先由折叠得出点C的坐标，进而得出结论；

（2）分两种情况用三角形的面积公式即可得出函数关系式；

（3）①利用勾股定理的逆定理即可判断出结论；

②分点A1，B1，P为直角顶点三种情况求解即可得出结论．

【详解】

（1）∵直线l1：与x轴交于点A，与y轴交于点B，

令y=0，解得x=4,令x=0，解得y=-2

∴A（4，0），B（0，−2），

∵将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象l2，直线l2与y轴交于点C．

∴C（0，2），

∵A（4，0），

设直线AC的解析式为y=kx+b

把A（4，0），C（0，2）代入得，解得

∴直线AC的解析式为y＝−x＋2，

（2）如图1，由（1）知，直线AC的解析式为y＝−x＋2，

∵在直线AC上一动点D（x，y），

∴D（x，−x＋2）

过点D作DG⊥OA，

∵直线l1：y＝x−2，

∴G（x，x−2），

∴DG＝|（−x＋2）−（x−2）|＝|x−4|

①当x≥4时，DG＝x−4，xA−xD＝xD−xA，

∴S＝S△BDG−S△ADG＝DG×xD−DG×（xD−xA）＝DG×xA＝（x−4）×4＝2x−4，

②当x＜4时，DG＝4−x，|xA−xD|＝xA−xD，

∴S＝DG×|xD|＋DG×|xA−xD|＝DG×xA＝（4−x）×4＝8−2x，

∴S＝，

（3）①由（1）知，A（4，0），B（0，−2），

∵E（2，−6），

∴AB2＝20，AE2＝40，BE2＝20，

∴AB＝BE，AE2＝AB2＋BE2，

∴△ABE是等腰直角三角形；

②存在；

理由：如图2，

①当点B1是直角顶点时，

∴B1P＝B1A1，

∵∠A1B1O＋∠PB1H＝90°，∠A1B1O＋∠OA1B1＝90°，

∴∠OA1B1＝∠PB1H，

在△A1OB1和△B1HP中，

，

∴△A1OB1≌△B1HP（AAS），

∴B1H＝A1B1，OB1＝HP＝2，

∴B1（0，−2）或（0，2），

当点B1（0，−2）时，是①的情况，P（2，−6）（舍去），

当点B1（0，2）时，

∵B（0，−2），

∴直线AB向上平移4个单位，

∴点P也向上平移4个单位，

∴P（2，−2），

②当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1P，

∵直线AB的解析式为y＝x−2，

由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x＋b，

∴A1（−2b，0），B1（0，b），

∴A1B12＝4b2＋b2＝5b2，

∵A1B1⊥A1P，

∴直线A1P的解析式为y＝−2x−4b

∴P（2，−4−4b），

∴A1P2＝（−2b−2）2＋（4＋4b）2＝20b2＋40b＋20，

∴20b2＋40b＋20＝5b2，

∴b＝−2或b＝−，

∴P（2，4）或（2，−）不符合题意，舍去；

③当P是直角顶点时，设平移后直线A1B1的解析式为y＝x＋m，

∴A1（−2m，0），B1（0，m），

设P（2，n），如图3，过点P作PM⊥y轴于M，

∴∠MPN＝90°，

∴∠B1PM＋∠B1PN＝90°，

∵∠A1PB1＝90°，

∴∠A1PN＋∠B1PN＝90°，

∴∠B1PM＝∠A1PN，

∵B1P＝A1P，

∴△B1PM≌△A1PN（AAS），

∴PM＝PN，B1M＝A1N，

∴|n|＝2，|m−n|＝|−2m−2|＝|2m＋2|

∴m＝−4，n＝2或m＝−，n＝2或m＝0，n＝−2或m＝−，n＝−2，

∴P（2，2）或（2，−2），

即：满足条件的点P为（2，2）或（2，−2）或（2，4）．

【点睛】

此题是一次函数综合题，主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，判断△A1OB1≌△B1HP是解本题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·河南周口市·九年级二模）如图1，矩形中，，点分别是上两动点，将沿着对折得，将沿着对折得，将沿着对折，使三点在一直线上，设的长度为，的长度为，在点的移动过程中，与的函数图象如图2，则函数图象最低点的纵坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·扬州市梅岭中学八年级期中）如图，平面直角坐标系xOy中，线段BC∥x轴、线段AB∥y轴，点B坐标为(4，3)，反比例函数y＝（x＞0）的图像与线段AB交于点D，与线段BC交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，则点B'的纵坐标是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

3．（2020·河南驻马店市·八年级期末）正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点，…和点，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是_________．

4．（2020·内蒙古包头市·九年级其他模拟）如图，在和中，，点是线段上一动点，连接，现有以下结论：

①若，则的值为；

②若，则的值为；

③无论取何值，恒为；

④若，取线段的中点，连接，若，则当是直角三角形时，．其中正确的是____________．(填写所有正确结论的序号)

三、解答题

5．（2021·全国九年级）定义：有一组对角和为60°的凸四边形叫做特角四边形，连接这两个角的顶点的线段称为特角线．

理解：如图1，四边形ABCD是特角四边形，AC为特角线，则∠ADC+∠ABC＝　   　．

证明：如图2，扇形的圆心角为120°，点A、D、C在上，AE、CF相交于点B，求证：四边形ABCD特角四边形．

拓展：如图3，点A（﹣，0），B（，0），C（0，1），四边形ABCD是特角四边形，点E在特角线BD上，且位于△ABC内，∠AEC＝150°，若D的纵坐标为1，求的值．（直接写出答案）

6．（2020·福建九年级零模）（1）如图，，设，，，，，求证：．

（2）如图，已知抛物线的顶点在双曲线上，直线过点，与轴交于，与轴交于．将直线绕点顺时针旋转90°，与轴交于，与轴交于，求的值．

（3）过作轴的平行线与双曲线交于点，点在直线上，且到抛物线的对称轴距离为6，设直线上有一点，直接写出的点的坐标．