专题37 （双）X型相似问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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专题37  （双）X型相似问题【规律总结】已知：∠ABD=∠ACD结论：相似三角形：                      相似三角形：                               【典例分析】例1．（2020·渠县第二中学九年级期末）如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于　　A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点，
∴CE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，
∴△CEF∽△ADF，∴∴解得DF=8，
故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．例2．（2020·山东九年级二模）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且∠MAN=45°，则下列结论：①MN=BM+DN；②△AEF∽△BEM；③=；④△FMC是等腰三角形．其中正确的是______．（填写正确序号）【答案】①②③④【分析】将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，根据正方形的性质和且∠MAN=45°可证明MN=BM+DN；根据BD是正方形ABCD的对角线，推出∠EBM=∠MAN=45°，于是得到△AEF∽△BEM；根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△FEM，根据相似三角形的性质得到∠EMF=∠ABE=45°，推出△AFM是等腰直角三角形，于是得到；根据全等三角形的性质得到AF=CF，等量代换得到△FMC是等腰三角形．【详解】将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，∴∠M′AD=∠MAB，AM′=AM，BM=DM′，∵∠MAN=45°，∴∠DAN+∠MAB=45°，∴∠M′AN=∠DAN+∠M′AD=∠DAN+∠MAB=45°，在△AMN和△AM′N中，，∴△AMN≌△AM′N（SAS），∴MN=NM′，∴M′N=M′D+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；故①正确；∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EBM=45°，∵∠MAN=45°，∴∠EBM=∠MAN=45°，∵∠AEF =∠BEM，∴△AEF∽△BEM，故②正确；∴，即，∵∠AEB=∠MEF，∴△AEB∽△FEM，∴∠EMF=∠ABE=45°，∵∠MAN=45°，∴△AFM是等腰直角三角形，∴，故③正确；在△ADF与△CDF中，，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴AF=CF，∵AF=MF，∴FM=FC，∴△FMC是等腰三角形，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．例3．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，在平行四边形中，，点、是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点．（1）求的长；（2）设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示）【答案】（1）；（2）【分析】（1）由△ADE∽△GBE，可求出BG的长，再由△HDF∽△GBF，即可求出HD的长；（2）由△ADE∽△GBE，可求出S△ADE=4S△BGE=4a，再由△HDF∽△GBF，即可求出S△DHF=S△BGF，由三角形的面积公式可求出S△DHF=S△BGF，进而可求四边形的面积．【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC=8，∴△ADE∽△GBE，∴．∵，∴BG=AD=4．∵AD//BC，∴△HDF∽△GBF，∴．∵，∴HD=BG=2；（2）∵△ADE∽△GBE， ，∴S△ADE=4S△BGE=4a．∵△HDF∽△GBF，∴S△DHF=S△BGF．∵，∴S△BGF=2S△BGE，∴S△DHF=S△BGE=a，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2018·河南九年级其他模拟）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于点O，点D是的中点，连接CD、OD．下列四个结论：①ACOD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④∠ADC=∠BOD．其中正确结论的序号是（   ）A．①④ B．①②④ C．②③ D．①②③④2．（2020·河北九年级一模）    如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，且AB＝BC＝4，AD＝2，点E是边BC上的一个动点，EF⊥BC交AD于点F，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，若两边重叠部分的面积为3，则BE的长为（　　）A．或 B． C． D．或4+二、填空题3．（2020·上海浦东新区·九年级三模）如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’ 、B’、 D’，当A’ 落在边CD的延长线上时，边A’ D’ 与边 AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为____．
 4．（2020·江苏扬州市·九年级一模）如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，点C（-1，0），点B在反比例函数的图像上，且y轴平分∠BAC，则k的值是_________． 三、解答题5．（2021·全国九年级）已知如图，这正方形ABCD中，AB＝4，M是边AD的中线，E是边AB上的一个动点，GM⊥EM交边DC于点P，交边BC的延长线于点G，延长EM交边CD的延长线与F，联结FG（1）求证：△AME∽△CPG；（2）设A，E两点的距离为x，△CFG的面积为y，求x，y之间的函数关系式及定义域；（3）当△PFG时等腰三角形时，求AE的长．         6．（2019·瑞安市新纪元实验学校九年级期末）如图，在中，，，以为直径作半圆交于点，过点的切线交于点，交于点，的延长线与相交于点，若，求，的长．