专题60 实验操作类问题（2）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题60  实验操作类问题（2）

【规律总结】

实验操作型问题是让学生在实际操作的基 础上设计问题,通过动手测量、作图、取值、 计算等实验,猜想获得数学结论来设计有关 问题,这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理猜想和验证。

【典例分析】

例1．（2020·北京理工大学附属中学分校八年级期末）将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF．若 AB＝3，则 BC 的长为（    ）

A． B．2 C．1.5 D．

【答案】D

【分析】

设，先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，又根据菱形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得点共线，由此可得，最后在中，利用勾股定理即可得．

【详解】

设，

四边形ABCD是矩形，

，

由折叠的性质得：，

，

四边形AECF是菱形，

，

在和中，，

，

，即，

点共线，

，

在中，，即，

解得或（不符题意，舍去），

即，

故选：D．

【点睛】

本题考查了矩形与菱形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，利用三角形全等的判定定理与性质证出，从而得出点共线是解题关键．

例2．（2019·河北承德市·七年级期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，则的度数__度，再沿折叠成图．则图中的的度数是度______．

【答案】140°    120°   

【分析】

根据平行线的性质得，∠EFB=∠DEF，从而求出∠GFC的度数，进而求解求解．

【详解】

∵AD∥BC，

∴∠EFG=∠DEF=20°，

∴在图b中，∠GFC=180°-2∠EFG=140°，=180°-2∠DEF=140°

∴∠GFE=∠GFC-∠EFB=140°-20°=120°．

故答案是：140°；120°．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质以及折叠的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．

例3．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图，在中，，M是AC边上的一点，连接BM，作于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，以为邻边作，连接GE交BC于点N，连接AN，求的值；

（3）如图3，若M是AC的中点，以为邻边作，连接GE交BC于点M，连接AN，经探究发现，请直接写出的值．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【分析】

（1）通过证全等可以证得AM=CE；

（2）过点E作EFCE交BC于F，通过证明全等，证得AG=AE，通过证得GN=EN，最后由直角三角形的性质证得结论；

（3）延长GM交BC于点F，连接AF，在中，由勾股定理求出AN的长，在中，求出EG的长即可得到答案．

【详解】

（1）证明

（2）过点E作CE的垂线交BC于点F

∴四边形是平行四边形

由（1）得

．

．                               

（3）如图，延长GM交BC于F，连接AF

在中，ABGM，，

，

，

，

，

，

，

,

，设CN=x，则BC=8x，AF=FC=4x，FN=3x,

,

在， ， ，

，

，

由（1）知，

，

在中，EG=，

.

【点评】

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．

【好题演练】

一、单选题

1．（2017·天津北辰区·）折叠矩形纸片：

第一步，如图1，在纸片一端折出一个正方形，再把纸片展开；

第二步，如图2，把这个正方形对折，再把纸片展开，得矩形和；

第三步，如图3，折出矩形的对角线，并把折到图中所示的处；

第四步，如图4，展平纸片，按所得点折出，得矩形.则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据图象折叠的性质，得，在中有，即，即可求得的值，且MN=BC，

进而求得的值．

【详解】

∵，

在中有，即

解得，即

故选：C

【点睛】

本题考查了矩形折叠和正方形折叠的性质，利用勾股定理解直角三角形．

二、填空题

2．（2019·江苏盐城市·九年级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的各个顶点均在格点处，且是由以网格中的某个格点为旋转中心，逆时针旋转得到的，点的对应点分别为点，，，则在旋转过程中，点经过的路径长为_______．

【答案】

【分析】

先连接，然后分别作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心O，然后由勾股定理求出AO的长度，利用弧长公式计算即可．

【详解】

连接，然后分别作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心O，

，

∴点经过的路径长为 ．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查旋转中心的确定和弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．

3．（2020·河南九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为________．

【答案】(21008，21009)

【分析】

根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合2017=1008×2+1即可找出点的坐标．

【详解】

由图可知：A1(1，2)，A2(﹣2，2)，A3(﹣2，﹣4)，A4(4，﹣4)，A5(4，8)，…，

∵2017=504×4+1，

∴点A2017在第一象限，

∵2017=1008×2+1，

∴A2n+1((﹣2)n，2(﹣2)n)(n为自然数)．

∴A2017的坐标为((﹣2)1008，2(﹣2)1008)=(21008，21009)．

故答案是：(21008，21009)

【点睛】

本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．

三、解答题

4．（2019·河南三门峡市·八年级期末）阅读材料

如图1，三角形中，，三角形的面积为10，为底边上一点，，，垂足分别为，．易证．解题过程如下：

如图，连接，

∵，，

∴，

∵．

∴

∴．

结论：过等腰三角形底边上的一点作两腰的高，两条高线之和等于等腰三角形面积的2倍再除以腰长．

类比探究

如图2，在边长为5的菱形中，对角线，点是直线上的动点，于，于．

①填空：

对角线的长是_________；菱形的面积是_________．

②探究：

如图2，当点在对角线上运动时，求的值；

③拓展：

当点在对角线和的延长线上时，请直接写出，之间的数量关系．

【答案】①6； 24；②；③当点P在对角线BD的延长线上时，；当点P在对角线DB的延长线上时，．

【分析】

（1）连接AC交BD于点O，根据菱形的性质及勾股定理即可得出；

（2）根据菱形的性质得出ΔABD的面积为12，再结合材料即可得出答案；

（3）分两种情况讨论：当点P在对角线BD的延长线上及当点P在对角线DB的延长线上时，根据菱形的性质及材料即可得出答案．

【详解】

解：（1）连接AC交BD于点O

四边形ABCD为菱形BD=8

在中，

（2）如图，

在菱形ABCD中，

由菱形性质得，ΔABD是等腰三角形，且

∵菱形ABCD的面积为24，

∴ΔABD的面积为12

又∵PE⊥AB，PF⊥AD，

根据阅读材料得，

∴

（3）当点P在对角线BD的延长线上时，如图①，延长CD交PE于点M

在菱形ABCD中，

即DP平分

∴；

当点P在对角线DB的延长线上时，如图②

延长CB交PF于点N，同理可得：

∴．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键．

5．（2020·北京海淀区101中学温泉校区七年级月考）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝．如图2，将纸条作第一次折叠，使与BA在同一条直线上，折痕记为．

解决下面的问题：

（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN∥QM，A，B分别在上，且∠ABM＝90°，由折叠：平分_________，∥，求∠的度数．

（2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条（如图4），是否有可能使⊥BR1？如果能，请直接写出此时的度数；如果不能，请说明理由．

（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推．

①第二次折叠时，∠＝_____________（用的式子表示）；

②第n次折叠时，∠＝____________（用和n的式子表示）．

【答案】（1）∠ABM，∠＝135°；（2）能，45°；（3）180°－，180°－

【分析】

（1）由折叠的性质和平行线的性质可得结论；

（2）根据折叠的性质和平行线的性质结合三角形内角和定理可求出α的值；

（3）①根据折叠和平行线的性质可求出，同理可求出；

②由①可得到规律得出．

【详解】

（1）由折叠得， ，

∴平分∠ABM，

∵∠ABM＝90°，

∴，

∵ ，

∴，

∴；

故答案为：∠ABM；

（2）如图，

，

，

由折叠得，，，

由得，，

，

，且，

，

，

；

（3）①如图，

由折叠得，，

∴，

，

∴，

∴；

同理可得，，

∴，

故答案为：；

②由①可得，

由此可以得出：，

故答案为：．

【点睛】

本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化．还考查了平行线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

6．（2020·江苏盐城市·中考真题）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题．

（1）在中，，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米）

（2）根据学习函数的经验，选取上表中和的数据进行分析；

设，以为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点；

连线；

观察思考

（3）结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当            时，最大；

（4）进一步C猜想：若中，，斜边为常数，），则            时，最大．

推理证明

（5）对（4）中的猜想进行证明．

问题1．在图中完善的描点过程，并依次连线；

问题2．补全观察思考中的两个猜想： _______ _______

问题3．证明上述中的猜想：

问题4．图中折线是一个感光元件的截面设计草图，其中点间的距离是厘米，厘米，平行光线从区域射入，线段为感光区城，当的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．

【答案】问题1：见解析；问题2：2，；问题3：见解析；问题4：当时，感光区域长度之和最大为

【分析】

问题1：根据（1）中的表格数据，描点连线，作出图形即可；

问题2：根据（1）中的表格数据，可以得知当2时，最大；设，则，可得，有，可得出；

问题3：可用两种方法证明，方法一：（判别式法）设，则，可得，有，可得出；方法二：（基本不等式），设，得，可得，根据当时，等式成立有，可得出

；

问题4：方法一：延长交于点，过点作于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，交于点，由题可知：在中，，得，根据，有，得，易证四边形为矩形，四边形为矩形，根据可得，由问题3可知，当时，最大，则有时，最大为；方法二：

延长相交于点同法一求得：，根据四边形为矩形，有，，得到，由问题3可知，当时，最大

则可得时最大为．

【详解】

问题1：图

问题2：；

问题3：

法一：（判别式法）

证明：设

在中，

关于的元二次方程有实根，

当取最大值时，

当时，有最大值．

法二：（基本不等式）

设

在中，

．

当时，等式成立

．

，

当时，有最大值．

问题4：

法一：延长交于点

过点作于点垂足为

过点作交于点垂足为

交于点

由题可知：在中，

即

又

，

在中，

，

即

四边形为矩形

，

四边形为矩形，

在中，．

由问题3可知，当时，最大

时，最大为

即当时，感光区域长度之和最大为

法二：

延长相交于点

同法一求得：

设

四边形为矩形，

．

由问题3可知，当时，最大

时最大为

即当时，感光区域长度之和最大为．

【点睛】

本题考查了一元二次方程，二次函数，不等式，解直角三角形，三角函数，矩形的性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．