2023年吉林省长春市中考数学一模试卷（含解析）

2023年吉林省长春市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  古代为便于纪元，乃在无穷延伸的时间中，取天地循环终始为一巡，称为元，以元作为计算时间的最大单位，元年，其中用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约千克，这个数据用科学记数法表示为(    )

A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克

4.  如图，数轴上的点表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某品牌净水器的进价为元，商店以元的价格出售春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价元，则可列不等式为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，在一块长为，宽为的长方形铁皮中，以为直径分别剪掉两个半圆，若，时，则剩下的铁皮的面积为取(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在中，，用直尺和圆规在上确定点，使∽，根据作图痕迹判断，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，轴与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  因式分解：        ．

10.  若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是        ．

11.  明代数学家程大位的算法统宗中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语这个问题中共有          两银子．

12.  已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．

13.  我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为______．
 

14.  如图，在平面直角坐标系中，抛物线与的一个交点为已知点的横坐标为，过点作轴的平行线分别交两条抛物线于点、点在点左侧，点在点右侧，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
某师范类高校计划选派学生到山区进行支教工作，甲、乙、丙、丁名学生积极报名参加，其中甲是共青团员，其余人均是共产党员学校决定用随机抽取的方式确定人选若从这名学生中随机抽取人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名学生都是共产党员的概率．

17.  本小题分
小吉和小林进行跳绳比赛已知小吉每分钟比小林多跳个，小吉跳个所用的时间与小林跳个所用的时间相等求小林每分钟跳绳的个数．

18.  本小题分
如图，在和中，，，连接交点，将绕点顺时针旋转．
如图，当点在边上，点在上时，请直接写出与之间的关系：
如图，将绕点顺时针旋转至图的位置，请判断的值及的度数，并说明理由；
在的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点若，，请直接写出当点与点重合时的长．
 

19.  本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长均为线段的端点均在格点上．
在图中画出等腰直角，使，则面积为______．
在图中找一点，并连结、，使的面积为要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不写作法
 

20.  本小题分
某校初一年级有名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．
调查组从初一体育社团中随机抽取名男生进行引体向上测试，调查组从初一所有男生中随机抽取名男生进行引体向上测试，其中______填“”或“”调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况；
根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：

这组测试成绩的平均数为______个，中位数为______个；
若以中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准．

21.  本小题分
周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始匀速往返练习在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离米与时间秒的函数图象如图所示．

父亲的速度为        米秒，儿子的速度为        米秒；
当时，求儿子在竞走过程中与之间的函数关系式；
若不计转向时间，按照这一速度练习分钟，父子迎面相遇的次数为        ．

22.  本小题分
如图，四边形中，，，，．
如图，为上的一个动点，以，为边作▱．
请问四边形能否成为矩形？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
填空：当______时，四边形为菱形；
填空：当______时，四边形有四条对称轴．
如图，若为上的一点，以，为边作▱，请问对角线的长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
 

23.  本小题分
如图，中，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向终点运动，连接，作点关于的对称点，连结、，设点的运动时间为秒．
线段的长是______ ；
连结，则线段的最小值是______ ，最大值是______ ；
当点落在的内部时，求的取值范围______ ；
当直线与的一边垂直时，求出的值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，点在抛物线上，且点的横坐标为．
求该抛物线的函数表达式．
当点不与点、重合时，连结、．
直接写出的面积随增大而增大时的取值范围．
当时，求的值．
点关于直线的对称点为点，当时，连结，以为边向下作正方形，若抛物线与正方形有个公共点，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据俯视图的定义，从上往下看，符合题意．
故选：．
根据三视图的定义解决此题．
本题主要考查三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示应为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据图示，数轴上的点表示的数比大且比小，
，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，
选项C符合题意；

，
选项D不符合题意．
故选：．
根据图示，数轴上的点表示的数比大且比小，据此逐项判断即可．
此题主要考查了实数与数轴上的点的一一对应关系，以及无理数的特征和判断，解答此题的关键是要明确：无限不循环小数叫做无理数．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得．
故选：．
利用利润率，结合利润率不低于，可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，得：
剩下的铁皮的面积长方形的面积圆的面积


．
故选：．
根据题意剩下的铁皮的面积为长方形的面积减去圆的面积即可求解．
本题考查了列代数式、代数式求值，解决本题的关键是列代数式．
 

7.【答案】 

【解析】解：当是的垂线时，∽．
，
，
，
，
，
∽．
根据作图痕迹可知，
选项中，是的角平分线，不符合题意；
选项中，不与垂直，不符合题意；
选项中，是的垂线，符合题意；
选项中，不与垂直，不符合题意；
故选：．
如果∽，可得，即是的垂线，根据作图痕迹判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，
轴，
，
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
故选：．
设点的坐标为，则，，，进而得到，将其代入反比例函数中即可求解．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标一定满足该函数解析式．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
运用提公因式法进行因式分解．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的不等式的解集是，
，且，即，
则不等式可变形为，
移项，得：，
系数化为，得：，
故答案为：．
由关于的不等式的解集是知，且，即，据此将不等式变形为，再移项、系数化为即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元一次方程的应用，利用银不变得出等量关系是解题关键．
根据题意利用银不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出方程即可．
【解答】
解：设总共有个人，
根据题意得：，
解得，
．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值．
【解答】
解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：如图，设内切圆的圆心为，连接、，

则四边形为正方形，
，
，
，
，
，
而，
，
小正方形的面积为，
，
，
把代人中得
，
，
负值舍去，
大正方形的面积为．
故答案为：．
如图，设内切圆的圆心为，连接、，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于的一元二次方程解决问题．
本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线，
点的横坐标为，
点的横坐标为，点横坐标为，
，
故答案为：．
由两抛物线的解析式确定出两抛物线对称轴，利用对称性确定出与的横坐标，进而即可求出的长．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
 

15.【答案】解：原式
，
当时，
原式
． 

【解析】根据整式的运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

16.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中被抽到的两名学生都是共产党员的结果有：乙，丙，乙，丁，丙，乙，丙，丁，丁，乙，丁，丙，共种，
被抽到的两名学生都是共产党员的概率为． 

【解析】画树状图得出所有等可能的结果数和被抽到的两名学生都是共产党员的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：设小林每分钟跳绳个，则小吉每分钟跳绳个，
根据题意列方程，得，
即，
解得，
经检验是原方程的解，
答：小林每分钟跳绳个． 

【解析】设小林每分钟跳绳个，则小吉每分钟跳绳个，根据时间相等列方程求解即可．
本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图中，结论：理由如下：

在和中，，，
，，
．

结论：如图中，，，

理由是：
中，，，
，
同理得：，

，
，
∽，
，，
在中，．

点与点重合时，如图，同理得：∽，

，，
设，则，
中，，，
，，，
中，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，，
；
点与点重合时，如图，同理得：，
 
，设，则，
在中，由勾股定理得：，

，
，
，，
；
综上所述，的长为或． 

【解析】如图中，结论：利用直角三角形度角的性质即可解决问题．
结论：如图中，，，证明∽即可解决问题．
分两种情形：点与点重合时，如图点与点重合时，如图，分别利用参数构建方程解决问题即可．
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：∽，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
 

19.【答案】；
点在直线上即可，答案不唯一．
 

【解析】

【分析】此题主要考查了作图应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积求法是解题关键．
作出格点直角三角形，再根据三角形面积公式计算即可求解；
作出与距离的平行线，找到格点，再连结即可求解．
【解答】解：如图所示：

面积；
故答案为：．
见答案．  

20.【答案】解：  ；
，；
人，
答：校初一有名男生不能达到合格标准． 

【解析】

【分析】
本题主要考查统计相关知识，熟练掌握加权平均数的计算，中位数的定义，用样本估计总体的思想是解决本题的关键．
根据抽样调查的特点解答即可；
根据平均数计算公式和中位数的定义解答即可；
用样本估计总体的思想解答即可．
【解答】
解：从初一所有男生中随机抽取名男生进行引体向上测试，收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况，
故答案为：；
这组测试成绩的平均数为：个，
中位数为：个，
故答案为：，；
见答案．  

21.【答案】     

【解析】解：由图形可知，父亲的速度为米秒，
儿子的速度为米秒．
故答案为：，；
当时，设儿子在竞走过程中与之间的函数关系式为，
把和代入解析式得：，
解得，
当时，设儿子在竞走过程中与之间的函数关系式为；
父亲的速度为米秒，儿子的速度为米秒，
分钟父子所走路程和为米，
父子二人第一次迎面相遇时，两人所走路程之和为米，
父子二人第二次迎面相遇时，两人所走路程之和为米，
父子二人第三次迎面相遇时，两人所走路程之和为米，
父子二人第四次迎面相遇时，两人所走路程之和为米，

父子二人第次迎面相遇时，两人所走路程之和为米，
令，
解得，
父子二人迎面相遇的次数为，
故答案为：．
根据图象直接求出父亲和儿子的速度；
根据图象中数据，用待定系数法求函数解析式即可；
根据父子二人的速度，即可得分钟二人所走路程之和，再总结出第次迎面相遇时，两人所走路程之和米，列方程求出的值，即可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第次迎面相遇时，两人所走路程之和米．
 

22.【答案】   

【解析】解：四边形能成为矩形，的长为或，理由如下：
四边形是平行四边形，假设四边形是矩形，
则，
，
在中，，
，
，
，
∽，
，
，，，
设，则，
，
解得：，，
当的长为或时，四边形是矩形；
四边形为菱形时，，
，
，
即，
解得：，
故答案为：；
当四边形为正方形时，有四条对称轴，
同时满足的四边形为正方形，
，
故答案为：；
存在，理由如下：
过作，交的延长线于，如图所示：
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当时，的长最小，
此时，，
的长存在最小值，为．
证∽，得，设，则，得，求解即可；
四边形为菱形时，则，由勾股定理得，即，求解即可；
四边形是正方形时，满足条件，即可求解；
过作，交的延长线于，证≌，进而求得的长，即可求得答案．
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质、菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，本题综合性强，证明∽和≌是解题的关键，属于中考常考题目．
 

23.【答案】      

【解析】解：在中，，
故答案为：；
如图，点与点关于的对称，

，
点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的半圆，
当，，共线，最小，其最小值是，
当点在点处时，与重合，此时的值最大，最大值是；
故答案为：，；
如图，当点落在上时，．

，，
∽，
，
，
，
；
如图中，当点落在上时，．

过点作于点则，
设，
，
∽，
，
，
，
，
，
观察图象可知，满足条件的的值为：；
故答案为：；

如图中，当时，延长交于点．

则，，
，
，
，
，
此时；
如图中，当时，四边形是菱形，此时，，

如图中，当时，过点作于点．

，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或或．
利用勾股定理求解；
先确定点的运动轨迹：以点为圆心，为半径的半圆，当，，共线，最小，当点在点处时，与重合，此时的值最大，从而可得答案；
分别求出点落在，落在上的时间，可得结论；
分三种情形：如图中，当时，延长交于点如图中，当时，四边形是菱形，如图中，当时，过点作于点分别求解即可．
本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，解直角三角形，三角形相似的性质和判定，动点运动问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：将点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
点的横坐标为，
，
，
当且时，的面积随增大而增大；
，
点在以为直径的圆上，
，
解得；
、关于直线对称，
，
，
是正方形，
，，
当点在抛物线上时，，
解得或，
，
；
当经过抛物线的顶点时，，
解得或；
综上所述：的值为或或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
根据三角形面积公式可得，再结合二次函数的图象及性质即可求解；
由题意可知点在以为直径的圆上，则有方程，解得；
分别求出，，，当点在抛物线上时，，解得；当经过抛物线的顶点时，，解得或．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，正方形的性质是解题的关键．