吉林省洮南一中2020-2021学年高二下学期第三次月考数学（文）试卷+答案

洮南一中2020-2021学年高二下学期第三次月考

数学试卷（文科）

（满分：150分，时间：120分钟）

注意事项:

    1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和答题纸的相应位置上.

    2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效.

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1． 直线 (t为参数，0≤ a＜π)必过点(　　)

A．(1，－2)          B．(－1,2)          C．(－2,1)            D．(2，－1)

2. 气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（      ）

A．本市明天将有70%的地区降雨          B．本市明天将有70%的时间降雨

C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大  D．明天出行不带雨具肯定要淋雨

3. 下面使用类比推理正确的是（    ）

A．“若，则”类推出“若，则”

B．“若”类推出“”

C．“若”类推出“”

D．“”类推出“”

4. 在极坐标系中，点与的位置关系是（    ）

A．关于极轴所在直线对称 B．关于极点对称

C．重合 D．关于直线对称

5. 复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限          B．第二象限       C．第三象限        D．第四象限

6. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（    ）

A．180石 B．12500石 C．160石 D．120石

7. 已知为虚数单位，则等于（    ）

A． B．1 C． D．

8. 方程 (θ为参数，ab≠0)表示的曲线是(　　)

A．圆                B．椭圆             C．双曲线             D．双曲线的一部分

9. 有下列四个命题：

①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；

②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；

③若数据，，…，的平均数为1，则，，…的平均数为2；

④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大．

其中真命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10. 已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（    ）

A．25 B．50 C．20 D．

11.在半径为a的圆上有A,B两点，且AB=a，在该圆上任取一点P，则使△PAB为锐角三角形的概率为（    ）

A．  B． C． D．

12. P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)

A．36             B．6                C．26                   D．25

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．若，，则、的大小关系是           ．

14. 已知是虚数单位，复数满足，则__________．

15. 已知x＞1，观察下列不等式：…

按此规律，第n个不等式为               ．

16. 将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为_____________.

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．(本小题满分10分)已知复数是纯虚数.

（1）求实数m的值；    

（2）若，求复数.

18．(本小题满分12分) 学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到列联表的部分数据如下表：

（1）补全列联表中的数据；

（2）判断是否有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.

参考公式及数据：.

19．(本小题满分12分)已知一元二次方程，

（1）若a是从区间任取的一个整数，b是从区间任取的一个整数，求上述方程有实数根的概率.

（2）若a是从区间任取的一个实数，b是从区间任取的一个实数，求上述方程有实数根的概率.

20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(2)直线l的参数方程是 (t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，

求l的斜率．

21. (本小题满分12分) 已知，.

（1）求证：；

（2）若，求的最小值.

22. (本小题满分12分) 已知曲线（t为参数且），直线l的极坐标方程  为．

（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；

（2）若P为曲线C上一点，求P到直线l距离的最小值．

参考答案

1. A　[直线表示过点(1, －2)的直线．]

2. C

【分析】

根据概率的意义,可判断各选项.

【详解】

气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.

降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.

而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正确.

故选:C.

【点睛】

本题考查了概率的概念和意义,属于基础题.

3. C

【分析】

利用特殊值判断AD；利用乘法与除法的运算法则判断BC.

【详解】

对于：“若，则”类推出“若，则”是错误的，因为0乘任何数都等于0，

对于：“若”类推出“”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，

对于：将乘法类推除法，即由“”类推出“ ”是正确的；

对于： “”类推出“”是错误的，如错误，

故选：C．

4. A

【分析】

结合坐标系确定两点位置关系.

【详解】

在极坐标系中，点与

如图，

则点与的位置关系是关于极轴所在直线对称．

故选A．

【点睛】

本题考查极坐标中点的位置关系，考查基本分析判断能力，属基础题.

5.D

【分析】

由共轭复数的概念及复数的几何意义即可求解.

【详解】

解：因为复数，所以z的共轭复数为，

所以z的共轭复数在复平面内对应的点为，

因此z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限，

故选：D.

6. A

【分析】

根据数得250粒内夹谷30粒，可得比例，即可得出结论．

【详解】

解：由题意，这批米内夹谷约为石，

故选：．

【点睛】

本题考查总体和样本以及频率等数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．

7. A

【分析】

利用虚数单位的幂的周期性即可得解.

【详解】

，

故选A.

【点睛】

本题考查虚数单位的幂的运算，一般地，.

8. D

【解析】

【分析】

先消参得到xy＝ab，又因为y∈[－|b|，|b|]，所以曲线是双曲线的一部分.

【详解】

由xcos θ＝a，所以cos θ＝，

代入y＝bcos θ，得xy＝ab，

又由y＝bcos θ，知y∈[－|b|，|b|]，

所以曲线应为双曲线的一部分．

故答案为D

【点睛】

(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 参数方程消参常用的方法有三种:加减消参、代入消参、恒等式消参法.(3) 把曲线的参数方程化为普通方程时，要注意变量的范围的等价性.本题如果不考虑y的范围，容易错选C.

9. C

【分析】

根据残差的意义，可判定①②真命题；根据数据的平均的计算公式，可得③真命题；根据独立性检验中观测值的意义，可判定④为假命题.

【详解】

根据残差的意义知，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，所以①为真命题；

由残差的意义知，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，

所以②真命题；

若数据，，…，的平均数为1，则，，…的平均数为也扩大为原来的2倍，即平均数为2，所以③是真命题；

对分类变量与的随机变量的观测值来说，应该是越大，判断“与有关系”的把握越大，所以④是假命题．

故选C．

10. B

【分析】

利用不等式m2+n2≥2mn，可求得结果.

【详解】

由m2+n2≥2mn，得 mn≤=50，

当且仅当m=n=±时等号成立.

所以mn的最大值是.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：利用不等式m2+n2≥2mn求解是关键.

11. D

【分析】

设圆心为O，连接AO，BO并延长交圆于点C，D，根据圆的性质，得到点P在点C与点D之间的劣弧上时，为锐角三角形，即可求解.

【详解】

如图所示，设圆心为O，连接AO并延长交圆于点C，连接BO并延长交圆于点D，

连接BC，AD，CD，因为AC，BD为直径，所以，

当点P在点C或点D处时，为直角三角形，

当点P在点C与点D之间的劣弧上时，为锐角三角形，

故使为锐角三角形的概率为.

故答案为：.

12. A　[设P(2＋cos α，sin α)，代入得：

(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2

＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α

＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.]

13.

【分析】

直接利用作差法，即可得出结论。

【详解】

因为

所以

故填

【点睛】

本题考查作差法比较大小，作差法比较大小四步曲：作差-化简-比较-得出结论，属于基础题。

14.

【分析】

利用复数除法求得.

【详解】

.

=

15.

【分析】

从每个不等式左边单项式的指数和分式分母的特征，右边整数的特征进行归纳推理即可.

【详解】

…

按此规律，第n个不等式为：，

故答案为：

16.

【分析】

利用已知条件可得，代入原方程即可得出结果.

【详解】

由题意，

可得：，

代入曲线，

得，

即将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为：.

故答案为：.

17. （1）m＝0；（2）1＋i.

【分析】

(1)根据纯虚数的定义列出等式,解出即可.

(2)将z1＝－i代入(3＋z1)z＝4＋2i化简即可得出答案.

【详解】

（1）根据纯虚数的概念，需实部为0，虚部不为0.

解得m＝0.

（2）当m＝0时，z1＝－i.

由(3＋z1)z＝4＋2i，即(3－i)z＝4＋2i，

得z＝＝＝1＋i.

【点睛】

本题考查纯虚数的定义与复数的运算,属于基础题.牢记复数的分类与复数的运算规律是解本题的基础.

18. （1）列联表见解析；（2）有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.

【分析】

（1）由总人数为100可补全表中的数据

（2）算出即可

【详解】

（1）因为总人数为100，可填写列联表如下：

（2）根据表中数据，得，

所以有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.

【点睛】

本题考查的是独立性检验,计算能力是解答本题的关键.

19. （1）；（2）.

【分析】

（1）本题是一个古典概型，可知基本事件共12个，方程当时有实根的充要条件为，满足条件的事件中包含个基本事件，由古典概型公式得到事件发生的概率．

（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为．构成事件的区域为．根据几何概型公式得到结果．

【详解】

解：设事件为“方程有实数根”．

当时，

方程有实数根的充要条件为，

即；

（1）基本事件共12个：

．

其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．

事件中包含个基本事件，

事件发生的概率为．

（2）实验的全部结果所构成的区域为，

面积为，

构成事件的区域为，

面积为，

故所求的概率为.

【点睛】

方法点睛：在利用几何概型的概率公式求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．

20.(1) ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.

   (2) 或－.

    解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极  径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝

＝.

由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.

所以l的斜率为或－.

21. （1）证明见解析；（2）3.

【分析】

（1）根据条件得，从而证明不等式成立；

（2）根据条件得，然后利用基本不等式，即可求的最小值，注意等号成立的条件.

【详解】

（1）证明：∵，.

∴，

∴.

（2）∵，，，

∴，当且仅当，即，时取等号，

∴的最小值为3.

22. （1）；；（2）.

【分析】

（1）利用直角坐标与参数方程、极坐标方程的互化公式；

（2）用点到直线的距离公式.

【详解】

（1）由，两边平方作差得：；

由，且，得．

（2）设，由点到直线的距离公式可知：

．

当且仅当时，取等号．

【点睛】

此题考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程之间的互化；参数方程的应用．