安徽省六安市舒城中学2021届高三下学期5月仿真试卷（二）数学（文）

这是一份安徽省六安市舒城中学2021届高三下学期5月仿真试卷（二）数学（文），共24页。试卷主要包含了已知，则，已知数列的前项和为，且等内容，欢迎下载使用。

舒城中学2021届高三仿真试卷（二）
文数
本试卷共23题，共150分.考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2． 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3． 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4． 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5． 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
6． 月考范围:高考全部内容.
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则 （ ）
A． B．
C． D．或
2.已知复数在复平面内对应的点分别为，，且为纯虚数，则实数
A．6 B． C． D．-6
3.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形若直角三角形中较小的锐角，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
4. 某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数（如下表），下图是统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是
舒中高三仿真试卷（二）文数 第1页 （共6页）

（ ）


A．除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形几何” 在第三学段增加较多，约是第二学段的倍.
B．所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4% .
C．第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多.
D．“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形几何”条目数，百分比随学段的增长而增长.
5.若双曲线与圆的公共点和双曲线两个焦点构成正六边形，则C的离心率为 （ ）
A．2 B． C． D．
6.已知，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是 　　
A． B． C． D．

舒中高三仿真试卷（二）文数 第2页 （共6页）

8．函数的图象大致是 （ ）

A． B．C． D．

9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的（单位：升），则器中米应为（ ）
A．2升
B．3升
C．4升
D．6升



10.某小区打算将如图的一直三角形区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,,则区域内面积(单位：)的最小值为 （　 ）
A．25 B．
C． D．
11.已知正方体的棱长为，为的中点，下列说法中正确的是（　 ）
A．与所成的角大于
B．点到平面的距离为
C．三棱锥的外接球的表面积为
舒中高三仿真试卷（二）文数 第3页 （共6页）


D．直线与平面所成的角为
12.已知抛物线： 的焦点为，过点分别作两条直线， ，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为 （ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若向量满足条件与共线，则的值为__________
14.数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：，，，若则__________
15.某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产，两种饮品.生产1吨饮品，需1小时，获利900元；生产1吨饮品，需1小时，获利1200元.每天饮品的产量不超过饮品产量的2倍，每天生产饮品的时间不低于生产饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为__________元．
16.已知且满足1，则的最小值为_____.
三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21864题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（ー）必考题:共60分.
17.（12分）已知数列的前项和为，且.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，数列的前项和，且对任意恒成立，求的取值范围.



舒中高三仿真试卷（二）文数 第4页 （共6页）


18.（12分）如图，四边形ABCD是边长为的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．

（Ⅰ）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；
（Ⅱ）若∠ADC＝120°，求多面体B1BDEF的体积．

19.（12分）高三数学考试中，一般有一道选做题，学生可以从选修4-4和选修4-5中任选一题作答，满分10分.某高三年级共有1000名学生参加了某次数学考试，为了了解学生的作答情况，计划从该年级1000名考生成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将1000名考生的成绩按照随机顺序依次编号为000~999.
（Ⅰ）若采用系统抽样法抽样，从编号为000~999的成绩中随机确定的编号为026，求样本中的最大编号.
（Ⅱ）若采用分层抽样法，按照学生选择选修4-4或选修4-5的情况将成绩分为两层，已知该校共有600名考生选择了选修4-4，400名考生选择了选修4-5，在选取的样本中，选择选修4-4的平均得分为6分，方差为2，选择选修4-5的平均得分为5分，方差为0.75.用样本估计该校1000名考生选做题的平均得分和得分的方差.

20.（12分）已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.

21.（12分）已知函数.
（Ⅰ）若不存在极值点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，证明： .
舒中高三仿真试卷（二）文数 第5页 （共6页）


（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分
22.[选修4—4:坐标系与参数方程]（10分）
据说，年过半百的笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，其父国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主，笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信，死前最后一封信只有一个公式：国王不懂，将这封信交给了公主，公主用笛卡尔教她的坐标知识，画出了这个图形“心形线”.明白了笛卡尔的心意，登上了国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣（仅是一个传说）.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）当a=1时，曲线与相交于、、三点，求线段的长.


23.[选修4—5:不等式选讲]（10分）
设函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）求证：中至少有一个不小于.

舒中高三仿真试卷（二）文数 第6页 （共6页）



1．已知集合，，则（ ）．
A． B．
C． D．或
【答案】C
【详解】=，

，故选：C
2..已知复数在复平面内对应的点分别为，，且为纯虚数，则实
数 （ ）
A．6 B． C． D．-6
【答案】A
3.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形若直角三角形中较小的锐角，现在向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是　　

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设直角三角形中较小的直角边长为1，则由直角三角形中较小的锐角，
得此直角三角形另外直角边长为，斜边长，
则小正方形的边长为，大正方形的边长为，
设“飞镖落在阴影部分”为事件A，
由几何概型中的面积型可得：
，故选A．
4.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数（如下表），下图是统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）

A．除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图象几何” 在第三学段增加较多，约是第二学段的倍.
B．所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4% .
C．第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多.
D．“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长.
【答案】D
【详解】结合统计图表可知，
除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，
尤其“图象几何” 在第三学段增加较多，约是第二学段的倍，故正确；
所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，
综合实践最少，约占4% ，故正确；
第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多，故正确；
对中，显然“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，
而其百分比却一直在减少；而“图形几何”条目数，
百分比随着学段数先减后增，故错误；故选：D
5.若双曲线与圆的公共点和双曲线两个焦点构成正六边形，则C的离心率为
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意作图，如下图，

由构成正六边形可知：，,,由双曲线定义可知：，所以双曲线的离心率：，
故选D
6.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，，∴，
，
∴．故选A．
7．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】的零点必定小于零，的零点必位于内，
函数的零点必定大于1．
因此，这三个函数的零点依次增大，故．故选：A．
8．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为,所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除D;
当时，，故排除A;
当时，,故排除B，故选:C.
9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的（单位：升），则器中米应为（ ）

A．2升 B．3升 C．4升 D．6升
【答案】D
【详解】
程序运行变量值变化如下：，满足，，；满足，，；满足，，；不满足，输出，
∴，．故选：D．
10.某小区打算将如图的一直三角形区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,,则区域内面积(单位：)的最小值为

A．25 B． C． D．
【答案】D
【详解】△ABC是直三角形，AB＝20m，AC＝10 m，可得CB，
△DEF是等边三角形，设∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝+θ；则CE＝xcosθ，
△BFE中由正弦定理，可得
可得x，其中tanα；
∴x；则△DEF面积S，故选D
11.已知正方体的棱长为，为的中点，下列说法中正确的是（　　 ）
A．与所成的角大于
B．点到平面的距离为
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．直线与平面所成的角为
【答案】D
【详解】如图，对于A，取的中点，连接，，则为与所成的角，
∵，， ，故A错误；
对于B，由于平面，故到平面的距离即点到平面的距离，
连接交
于，可得平面，而，∴点到平面的距离为，故B错误；
对于C，三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，
∵为矩形，且，， ，四棱锥的高为，
设四棱锥的外接球的半径为，则，解得．
∴三棱锥的外接球的表面积，故C错误；
对于D，连接，取的中点，连接交于，连接，，
∵，∴是直线与平面所成的角，在直角三角形中， ， ，
∴，故D正确．
故选：D

12.已知抛物线： 的焦点为，过点分别作两条直线， ，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
【答案】C
【解析】易知直线，的斜率存在，且不为零，设，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，又（当且仅当时取等号），的最小值为，故选C.
13.若向量满足条件与共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】向量，，，
所以，
所以与共线，所以，截得。

14.数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则_____.
【答案】60
【详解】由于，则，
因此，.

15.某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产，两种饮品.生产1吨饮品，需1小时，获利900元；生产1吨饮品，需1小时，获利1200元.每天饮品的产量不超过饮品产量的2倍，每天生产饮品的时间不低于生产饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为__________元．
【答案】4400
【解析】设每天两种饮品的生产数量分别为，
目标函数为，则有，
可行域为三直线三交点为组成的三角形，
变形为，
平移直线，
当直线经过，
即当时，直线在轴上的截距最大，
最大获利，故答案为.

16.已知且满足1，则的最小值为_____.
【答案】ln2
【详解】因为，
所以可将，分别看成函数与上任意一点，
问题转化为曲线上的动点与直线上的动点之间的最小值的平方问题，
设是曲线的切点，因为
故点M处的切斜的斜率，
由题意可得，解得，
也即当切线与已知直线平行时，此时切点到已知直线的距离最近，
最近距离，
也即.故答案为：ln2
17.已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和，且对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）(1)因为，①
所以，②
由①式-②式得，即，
又当时，，解得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.
(2)，，
，所以单调递增，且，所以.

18.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．
（1）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；
（2）若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，则O为AC的中点，
∵E是AD1的中点，∴OE∥CD1，
又F是AB1的中点，∴EF∥B1D1，
∵OE∩EF＝E，OE、EF⊂平面BDEF，CD1∩B1D1＝D1，CD1、B1D1⊂平面CB1D1，
∴平面BDEF∥平面CB1D1．
（Ⅱ）解：

19.高三数学考试中，一般有一道选做题，学生可以从选修4-4和选修4-5中任选一题作答，满分10分.某高三年级共有1000名学生参加了某次数学考试，为了了解学生的作答情况，计划从该年级1000名考生成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将1000名考生的成绩按照随机顺序依次编号为000~999.
（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为000~999的成绩中随机确定的编号为026，求样本中的最大编号.
（2）若采用分层抽样法，按照学生选择选修4-4或选修4-5的情况将成绩分为两层，已知该校共有600名考生选择了选修4-4，400名考生选择了选修4-5，在选取的样本中，选择选修4-4的平均得分为6分，方差为2，选择选修4-5的平均得分为5分，方差为0.75.用样本估计该校1000名考生选做题的平均得分和得分的方差.
【答案】（1）（2）估计该校1000名考生选做题的平均得分为5.6，方差为1.74
【详解】（1）组距为，所以最大编号为.
（2）样本中选择选修4-4的考生有6人，4-5的考生有4人，所以得分平均数为，
从选择选修4-4的考生中抽取6人，分别记为，，…，，
从选择选修4-5的考生中抽取4人，分别记为，，，，
则，
由于，所以
所以，
同理可求得，
所以样本得分的方差为

.
所以估计该校1000名考生选做题的平均得分为5.6，方差为1.74.


20.已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解答】（1）因为的周长为，
所以，即.
又离心率，解得，，
.
∴椭圆的方程为.
（2）设，，，
将代入
消去并整理得，
则，，，
∵四边形为平行四边形，
∴，得，
将点坐标代入椭圆方程得，
点到直线的距离为，，
∴平行四边形的面积为

.
故平行四边形的面积为定值为.

21.已知函数.
（1）若不存在极值点，求的取值范围；
（2）若，证明： .
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】（1）的定义域为，且，
设，则.
①当，即时， ，所以在上单调递增；
又， ，即，
所以在上恰有一个零点，
且当时， ；当时， ；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，不合题意.
（2）当，即时，令，得，
当时， ；当时， ；
即在上单调递减，在上单调递增.
①当即时， 恒成立，
即在上单调递增，无极值点，符合题意.
②当，即时， ，
所以，所以在上恰有一个零点，
且当时， ；当时， ；
即在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，不合题意.
综上， 的取值范围是；
（2）因为， ，所以，
要证明，只需证明，
当时，因为，
所以成立；
当时，设，
则，
设，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，
所以，即，
综上，若，则.
22.据说，年过半百的笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，其父国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主，笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信，死前最后一封信只有一个公式：国王不懂，将这封信交给了公主，公主用笛卡尔教她的坐标知识，画出了这个图形“心形线”.明白了笛卡尔的心意，登上了国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣（仅是一个传说）.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的极坐标方程；
（2）当a=1时，若曲线与相交于、、三点，求线段的长.
【答案】（1）；（2）
【详解】(1)由,(为参数),消参数化简得普通方程:,
令,,即化简得,即
即得曲线的极坐标方程为().
(2)由曲线极坐标方程,得其普通方程为:
联立解得
所以由两点间距离公式得=2.

23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）求证：中至少有一个不小于.
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】：⑴当时，
无解；解得； 解得
综上，不等式的解集为.
⑵由
故中至少有一个不小于.

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