2024年中考数学必考考点专题22 锐角三角函数篇（解析版）

这是一份2024年中考数学必考考点专题22 锐角三角函数篇（解析版），共29页。试卷主要包含了0＝　 　，定义一种运算，sin30°＝　 　等内容，欢迎下载使用。

知识回顾
锐角三角函数的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°．
①正弦：我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A．
即sin A＝∠A的对边除以斜边＝。
②余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cs A．
即cs A＝∠A的邻边除以斜边＝。
③正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．
即tan A＝∠A的对边除以∠A的邻边＝。
特殊角的锐角三角函数值
微专题
1．（2022•天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
【解答】解：tan45°的值等于1，
故选：B．
2．（2022•滨州）下列计算结果，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．＝3C．＝2D．cs30°＝
【分析】根据幂的乘方的运算法则对A选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据立方根对C选项进行判断；根据特殊角的三角函数值对D选项进行判断．
【解答】解：A． （a2）＝a6，所以A选项不符合题意；
B． ＝＝2，所以B选项不符合题意；
C． ＝2，所以C选项符合题意；
D．cs30°＝，所以D选项不符合题意；
故选：C．
3．（2022•荆门）计算：+cs60°﹣（﹣2022）0＝ ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：+cs60°﹣（﹣2022）0
＝﹣+﹣1
＝0﹣1
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
4．（2022•绥化）定义一种运算：
sin（α+β）＝sin α·cs β+cs α·sin β，
sin（α﹣β）＝sin α·cs β﹣cs α·sin β．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 ．
【分析】把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．
【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）
＝sin45°cs30°﹣cs45°sin30°
＝×﹣×
＝﹣
＝．
故答案为：．
5．（2022•广东）sin30°＝ ．
【分析】熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．
【解答】解：sin30°＝．
故答案为：．
6．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ）
A．B．C．D．3
【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP∥AB，
∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2，
∴tan∠OAP＝＝＝．
故选：C．
7．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为 ．
【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2，
∵b2＝ac，
∴c2＝a2+ac，
等式两边同时除以ac得：
＝+1，
令＝x，则有＝x+1，
∴x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
当x＝时，x≠0，
∴x＝是原分式方程的解，
∴sinA＝＝．
故答案为：．
8．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为 ．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝．
故答案为：．
9．（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cs∠ADC的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵点A，B，C都在格点上，
∴∠ADC＝∠ABC，
在Rt△ABC中，
cs∠ABC＝＝＝＝cs∠ADC，
故选：B．
10．（2022•贵港）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cs∠BAC的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】延长AC到D，连接BD，由网格可得AD2+BD2＝AB2，即得∠ADB＝90°，可求出答案．
【解答】解：延长AC到D，连接BD，如图：
∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴cs∠BAC＝＝＝，
故选：C．
考点二：解直角三角形
知识回顾
直角三角形有关的性质：
①直角三角形的两锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。
⑤直角三角形的勾股定理。
坡角，坡度（坡比）：
①坡角：斜坡与水平面形成的夹角叫做坡角。
②坡度（坡比）：坡面的铅垂高度与水平宽度的比值叫做坡度或坡比。简单理解即为坡角的正切值。
仰角与俯角：
①仰角：向上看的视线与水平线构成的夹角叫做仰角。
②俯角：向下看的视线与水平线构成的夹角叫做俯角。
方向角：
由方向＋角度构成。
微专题
11．（2022•广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（ ）
A．12sinα米B．12csα米C．米D．米
【分析】直接根据∠A的正弦可得结论．
【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，
∵AB＝12米，
∴BC＝12sinα（米）．
故选：A．
12．（2022•广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cs∠APC的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．
【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，
∵EC2+DC2＝DE2，
故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．
∴cs∠APC＝cs∠EDC＝＝．
故选：B．
13．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为（ ）
A．3B．3C．6D．3
【分析】根据BD＝2CD＝6，可得CD＝3，由tanC＝＝2，可得AD＝6，可得△ABD是等腰三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：∵BD＝2CD＝6，
∴CD＝3，BD＝6，
∵tanC＝＝2，
∴AD＝6，
∴AB＝AD＝6
故选：C．
14．（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．D．2
【分析】过D点作DE⊥AB于E，由锐角三角函数的定义可得5DE＝AB，再解直角三角形可求得AC的长，利用勾股定理可求解AB的长，进而求解AD的长．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，
∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，
∴AE＝2DE，BE＝3DE，
∴2DE+3DE＝5DE＝AB，
在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，
∴，
解得AC＝，
∴AB＝，
∴DE＝1，
∴AE＝2，
∴AD＝，
∴CD＝AC﹣AD＝，
故选：C．
15．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系x Oy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A．y＝3xB．y＝﹣x+C．y＝﹣2x+11D．y＝﹣2x+12
【分析】分别求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的直线即可得出结论．
【解答】解：连接OB，AC，它们交于点M，连接AE，BF，它们交于点N，
则直线MN为符合条件的直线l，如图，
∵四边形OABC是矩形，
∴OM＝BM．
∵B的坐标为（10，4），
∴M（5，2），AB＝10，BC＝4．
∵四边形ABEF为菱形，
BE＝AB＝10．
过点E作EG⊥AB于点G，
在Rt△BEG中，
∵tan∠ABE＝，
∴，
设EG＝4k，则BG＝3k，
∴BE＝＝5k，
∴5k＝10，
∴k＝2，
∴EG＝8，BG＝6，
∴AG＝4．
∴E（4，12）．
∵B的坐标为（10，4），AB∥x轴，
∴A（0，4）．
∵点N为AE的中点，
∴N（2，8）．
设直线l的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为y＝﹣2x+12，
故选：D．
16．（2022•西宁）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则cs A＝ ．
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出csA即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝，
所以csA＝＝＝，
故答案为：．
17．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝ ．
【分析】利用分类讨论的思想方法，画出图形，过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，
过点A作AD⊥BC于点D，如图，

∵AB＝3，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，
∴CD＝＝3，
∴BC＝BD+CD＝3+3；
②当△ABC为钝角三角形时，
过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图，
∵AB＝3，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，
∴CD＝＝3，
∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；
综上，BC的长为3+3或3﹣3．
18．（2022•连云港）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A＝ ．
【分析】先构造直角三角形，然后即可求出sinA的值．
【解答】解：设每个小正方形的边长为a，
作CD⊥AB于点D，
由图可得：CD＝4a，AD＝3a，
∴AC＝＝＝5a，
∴sin∠CAB＝＝＝，
故答案为：．
19．（2022•长春）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝α，下列关系式正确的是（ ）
A．Sin α＝B．sin α＝C．sin α＝D．sin α＝
【分析】根据直角三角形的边角关系进行判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，由锐角三角函数的定义可知，
sinα＝sin∠ABC＝，
故选：D．
20．（2022•沈阳）如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（ ）
A．m sin αB．m cs αC．m tan αD．
【分析】根据垂直定义可得PT⊥PQ，然后在Rt△PQT中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
PT⊥PQ，
∴∠APQ＝90°，
在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，
∴PT＝PQ•tanα＝mtanα（米），
∴河宽PT的长度是mtanα米，
故选：C．
21．（2022•福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（ ）
（参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．9.90cmB．11.22cmC．19.58cmD．22.44cm
【分析】根据等腰三角形性质求出BD，根据角度的正切值可求出AD．
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，
∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，
∵∠ABC＝27°，
∴tan∠ABC＝≈0.51，
∴AD≈0.51×22＝11.22cm，
故选：B．
22．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（ ）
A．（4+3sinα）mB．（4+3tanα）mC．（4+）mD．（4+）m
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得AD，．用AD+BE即可表示出房顶A离地面EF的高度．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，
∵它是一个轴对称图形，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝3m，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ABC＝，
∴AD＝BD•tanα＝3tanαm．
∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，
故选：B．
23．（2022•枣庄）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ．
【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则∠ABE＝∠ABC＝30°，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AB、BC、AC、BE，
∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，
∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，
∴tan∠ABE＝tan30°＝，
故答案为：．
24．（2022•绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上．航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝ 海里（计算结果不取近似值）．
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AB＝10海里，∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝45°，从而可得∠DAC＝30°，∠CAB＝45°，进而利用三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，设DE＝x海里，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC，DC的长，最后根据AC＝5海里，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意得：
AB＝20×＝10（海里），∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DAC＝∠FAC﹣∠FAD＝30°，
∠CAB＝∠FAB﹣∠FAC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，
在Rt△ACB中，AC＝AB•sin45°＝10×＝5（海里），
设DE＝x海里，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝x（海里），
∵DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝45°，
在Rt△DEC中，CE＝＝x（海里），
DC＝＝＝x（海里），
∵AE+EC＝AC，
∴x+x＝5，
∴x＝，
∴DC＝x＝（5﹣5）海里，
故答案为：（5﹣5）．
（2022•荆门）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝
小时．
【分析】根据题意可得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出AC，PC的长，再在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间＝路程÷速度，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，
在Rt△APC中，AC＝AP•cs45°＝100×＝50（海里），
PC＝AP•sin45°＝100×＝50（海里），
在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），
∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，
∴t＝＝（1+）小时，
故答案为：（1+）．
26．（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米
A．600﹣250B．600﹣250C．350+350D．500
【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设EF＝5x米，
∵斜坡BE的坡度为5：12，
∴BF＝12x米，
由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，
解得：x＝100，
则EF＝500米，BF＝1200米，
由题意可知，四边形DCFE为矩形，
∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，
在Rt△ADE中，tan∠AED＝，
则DE＝＝AD，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，
∴＝，
解得：AD＝600﹣750，
∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，
故选：B．
27．（2022•毕节市）如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC＝5m，坡面AB的坡度为1：，则AB的长度为（ ）
A．10mB．10mC．5mD．5m
【分析】由坡面AB的坡度为＝＝1：，可得AC＝5m，再根据勾股定理可得AB＝＝10m．
【解答】解：∵坡面AB的坡度为＝＝1：，
∴AC＝5m，
∴AB＝＝10m．
故选：A．
28．（2022•十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A．m（cs α﹣sin α）B．m（sin α﹣cs α）
C．m（cs α﹣tan α）D．﹣
【分析】过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，根据正弦的定义求出BD，根据余弦的定义求出CD，根据等腰直角三角形的性质求出AD，计算即可．
【解答】解：过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，
则∠BCD＝α，
在Rt△BCD中，BC＝m，∠BCD＝α，
则BD＝BC•sin∠BCD＝msinα，CD＝BC•cs∠BCD＝mcsα，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
则AD＝CD＝mcsα，
∴AB＝AD﹣BD＝mcsα﹣msinα＝m（csα﹣sinα），
故选：A．
29．（2022•柳州）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 m．
【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：∵sinα＝，堤坝高BC＝30m，
∴sinα＝＝＝，
解得：AB＝50．
故答案为：50．
30．（2022•济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）
（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
A．28mB．34mC．37mD．46m
【分析】根据题意得到AB⊥BC，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：由题意可知：AB⊥BC，
在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，
∵tan∠ADB＝tan58°＝，
∴BD＝≈（m），
在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，
∵CD＝70m，
∴BC＝CD+BD＝（70+）m，
∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m），
解得：AB≈37m，
答：该建筑物AB的高度约为37m．
故选：C．
31．（2022•贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（ ）
A．8（3﹣）mB．8（3+）mC．6（3﹣）mD．6（3+）m
【分析】设AD＝x米，则BD＝（16﹣x）米，在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后在Rt△CDB中，利用锐角三角函数列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：设AD＝x米，
∵AB＝16米，
∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，
在Rt△ADC中，∠A＝45°，
∴CD＝AD•tan45°＝x（米），
在Rt△CDB中，∠B＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
∴x＝24﹣8，
经检验：x＝24﹣8是原方程的根，
∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米，
∴这棵树CD的高度是8（3﹣）米，
故选：A．
32．（2022•随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，若CD＝α，则建筑物AB的高度为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设AB＝x，在Rt△ABD中，tanβ＝，可得BD＝，则BC＝BD+CD＝a+，在Rt△ABC中，tanα＝，求解x即可．
【解答】解：设AB＝x，
在Rt△ABD中，tanβ＝，
∴BD＝，
∴BC＝BD+CD＝a+，
在Rt△ABC中，tanα＝，
解得x＝．
故选：D．
33．（2022•黄石）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m．
（参考数据：≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）
【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．设DE＝xm，在Rt△BDE中，tan60°＝，解得BE＝x，则AE＝AB+BE＝（20+x）m，在Rt△ADE中，tan30°＝＝，解得x＝≈17.3，根据CD＝CE﹣DE可得出答案．
【解答】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．
则CE＝30m，AB＝20m，∠EAD＝30°，∠EBD＝60°，
设DE＝xm，
在Rt△BDE中，tan60°＝，
解得BE＝x，
则AE＝AB+BE＝（20+x）m，
在Rt△ADE中，tan30°＝＝，
解得x＝≈17.3，
经检验，x＝≈17.3是原方程的解，且符合题意，
∴CD＝CE﹣DE＝12.7m．
故答案为：12.7．
34．（2022•黔东南州）如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°．小青计算后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害．其中正确的是 ．（填写序号，参考数值：≈1.7，≈1.4）
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，则AE＝DC，DE＝AC＝12米，在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，DE的长，从而求出CD的长，即可判断②；
再在Rt△BED中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而求出AB的长，即可判断①；通过比较AB与AD的长，即可判断③，计算出AB﹣8的值，再和AD的长比较，即可判断④．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
则AE＝DC，DE＝AC＝12米，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴AE＝DE•tan30°＝12×＝4（米），
AD＝2AE＝8（米），
∴CD＝AE＝4≈6.8（米），
故②不正确；
在Rt△BED中，BE＝DE•tan45°＝12（米），
∴AB＝AE+BE＝12+4≈18.8（米），
故①正确；
∵AD＝8≈13.6（米），
∴AB＞AD，
∴若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响，
故③正确；
∵AB﹣8＝18.8﹣8＝10.8（米），
∴10.8米＜13.6米，
若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害，
故④正确；
∴小青计算后得到如上结论，其中正确的是：①③④，
故答案为：①③④．
35．（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为 m．
（sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．
则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，
设AE＝xm，则DE＝xm，
∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，
在Rt△ABC中，
tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，
解得x＝10，
∴AB＝16m．
故答案为：16．
36．（2022•巴中）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为 海里．（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）
【分析】由题意可得∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝30海里，则∠PAB＝90°，∠B＝37°，在Rt△PAB中，利用正弦函数求解即可．
【解答】解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝30海里，
∴∠PAB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，
在Rt△PAB中，sin37°＝≈，
解得PB≈50，
∴此时与灯塔P的距离约为50海里．
故答案为：50．
37．（2022•黔西南州）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离约是 n mile．（参考数据：≈1.4，≈1.7，保留整数结果）
【分析】过点C作CF⊥AB于F，设CF＝xnmile．先求出∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝30°，∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝60°．再解Rt△ACF，得出AF＝CF＝x，解Rt△CFB，得出BF＝CF＝x．根据AF+BF＝AB列出方程x+x＝80，求出x即可．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于F，设CF＝xnmile．
由题意，得∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，
∠CBE＝40°，AD∥BE，
则∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠DAB＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝100°﹣40°＝60°．
在Rt△ACF中，∵∠CAF＝30°，
∴AF＝CF＝x．
在Rt△CFB中，∵∠FBC＝60°，
∴BF＝CF＝x．
∵AF+BF＝AB，
∴x+x＝80，
解得x＝20≈34．
即C岛到航线AB的最短距离约为34nmile．
故答案为：34．
38．（2022•岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为 米（结果保留整数，参考数据：≈1.732）．
【分析】过点P作PC⊥AB，垂足为P，设PC＝x米，然后分别在Rt△APC和Rt△CBP中，利用锐角三角函数的定义求出AC，BC的长，再根据AB＝200米，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，
设PC＝x米，
在Rt△APC中，∠APC＝30°，
∴AC＝PC•tan30°＝x（米），
在Rt△CBP中，∠CPB＝60°，
∴BC＝CP•tan60°＝x（米），
∵AB＝200米，
∴AC+BC＝200，
∴x+x＝200，
∴x＝50≈87，
∴PC＝87米，
∴点P到赛道AB的距离约为87米，
故答案为：87．
特殊角
30°
45°
60°
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