2021年河南省中考数学解答题专练5

2021年河南省中考数学解答题专练5

1. 如图，AN是的直径，轴，AB交于点C．
   若点，，，求点B的坐标；
   若D为线段NB的中点，求证：直线CD是的切线．

2. 在直角坐标系中，过原点O及点，作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作，交OA于点F，连结已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
   
   如图1，当时，求DF的长．
   如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的值．
   连结AD，当AD将分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
   
   
   
   
   
   
    
3. 阅读材料：
   在平面直角坐标系xOy中，点到直线的距离公式为：．
   例如：求点到直线的距离．
   解：由直线知，，，，
   点到直线的距离为．
   根据以上材料，解决下列问题：
   问题1：点到直线的距离为______ ；
   问题2：已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数b的值；
   问题3：如图，设点P为问题2中上的任意一点，点A，B为直线上的两点，且，请求出的最大值和最小值．

4. 如图，某海监船以60海里时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行小时到达B处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西方同．以下结果保留根号
   求B，C两处之问的距离；
   求海监船追到可疑船只所用的时间．

5. 如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一电视塔他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东方向，然后他由B地向北偏东方向骑行了6km到达C地．
   求A地与电视塔P的距离；
   求C地与电视塔P的距离．
    

6. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，AB交EF于点点C，D，B在同一水平线上参考数据：，，，
   求屋顶到横梁的距离AG；
   求房屋的高结果精确到．

7. 如图，是的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与相交于E，F两点，P是外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足．
   求证：PA是的切线；
   证明：；
   若，，求DE的长．

8. 如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的经过点D．
   求证：是的切线；
   ；
   若点F是劣弧AD的中点，且，试求阴影部分的面积．

9. 如图，PA是的切线，切点为A，AC是的直径，连接OP交于过A点作于点D，交于B，连接BC，PB．
   求证：PB是的切线；
   求证：E为的内心；
   若，，求PO的长．

10. 已知在平面直角坐标系中，点，，，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交于点D，连接OD．
    求证：直线OD是的切线；
    点F为x轴上任意一动点，连接CF交于点G，连接BG；
    当时，求所有F点的坐标______直接写出；
    求的最大值．

11. 在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，．
    Ⅰ如图，求点E的坐标；
    Ⅱ将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为，，，设，矩形与重叠部分的面积为S．
    如图，当矩形与重叠部分为五边形时，，分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
    当时，求t的取值范围直接写出结果即可．

如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点已知，，．

窗扇完全打开，张角，求此时窗扇与窗框的夹角的度数；
窗扇部分打开，张角，求此时点A，B之间的距离精确到．
参考数据：，

1.【答案】解：的坐标为，，
，
，，
，
由勾股定理可知：，
．

连接MC，NC                                                  
是的直径，
，
，
在中，D为NB的中点，
，
，
，
，
，
，
即．
直线CD是的切线．
 

【解析】在中，求出AN、AB即可解决问题；
连接MC，只要证明即可；
本题考查圆的切线的判定、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2.【答案】解：当时，点E为AB的中点，
，，
，，
点D为OB的中点，
，，
四边形OABC是矩形，
，
，
，
又，
，
四边形DFAE是矩形，
；

的大小不变；理由如下：
作于M，于N，如图2所示：
四边形OABC是矩形，
，
四边形DMAN是矩形，
，，，
，，
点D为OB的中点，
、N分别是OA、AB的中点，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
；
作于M，于N，
若AD将的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
当点E到达中点之前时，如图3所示，，
由∽得：，
，
点G为EF的三等分点，
，
设直线AD的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
直线AD的解析式为，
把代入得：；
当点E越过中点之后，如图4所示，，
由∽得：，
，
点G为EF的三等分点，
，
代入直线AD的解析式得：；
综上所述，当AD将分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或
 

【解析】当时，点E为AB的中点，由三角形中位线定理得出，，再由矩形的性质证出，得出，证出四边形DFAE是矩形，得出即可；
作于M，于N，证明四边形DMAN是矩形，得出，，，由平行线得出比例式，，由三角形中位线定理得出，，证明∽，得出，再由三角函数定义即可得出答案；
作作于M，于N，若AD将的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
当点E到达中点之前时，，由∽得：，求出，得出，求出直线AD的解析式为，把代入即可求出t的值；
当点E越过中点之后，，由∽得：，求出，得出，代入直线AD的解析式求出t的值即可．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、一次函数解析式的求法等知识；本题综合性强，难度较大．
3.【答案】4
 

【解析】解：点到直线的距离，
故答案为4．

与直线相切，的半径为1，
到直线的距离，
，
解得或15．

点到直线的距离，
上点P到直线的距离的最大值为4，最小值为2，
的最大值，的最小值．
根据点到直线的距离公式就是即可；
根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．
求出圆心C到直线的距离，求出上点P到直线的距离的最大值以及最小值即可解决问题．
本题考查一次函数综合题，点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为的形式，学会构建方程解决问题，会求圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值，属于中考压轴题．
4.【答案】解：作于E，如图1所示：
则，
由题意得：海里，，，，
是等腰直角三角形，，
，，
，，
设，则，，
，
解得：，
；
答：B，C两处之问的距离为海里；
作于F，如图2所示：
则，，
，
海监船追到可疑船只所用的时间为小时；
答：海监船追到可疑船只所用的时间为小时．
 

【解析】作于E，则，由题意得：，，，，得出是等腰直角三角形，，得出，，由直角三角形的性质得出，，设，则，，得出方程，解得：，得出即可；
作于F，则，，由直角三角形的性质得出，即可得出结果．
本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解题的关键．
5.【答案】解：过B作于D．
依题意，则，
在中，，
，
，
，，
；
地与电视塔P的距离为；
过C作于点E，
，，
，
，
，
，
，
，
．
地与电视塔P的距离6km．
 

【解析】过B作于点D，在直角中利用三角函数求得AD、BD的长，然后在直角中利用三角函数求得BP、PD的长；
过C作于点E，利用三角函数求得BE的长，即可得到，然后根据线段垂直平分线的性质定理求得．
此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
6.【答案】解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，，
，，，
在中，，，
，，
米；
答：屋顶到横梁的距离AG为米；
过E作于H，
设，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
解得：，
米，
答：房屋的高AB为14米．
 

【解析】根据题意得到，，解直角三角形即可得到结论；
过E作于H，设，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
7.【答案】解：证明：是弦AC中点，
，
是AC的中垂线，
，
．
是的直径，
，
．
又，
，
，即，
是的切线；

证明：由知，
∽，
，
．
又，
，即．

，
在中，设，则．
是AB中点，，
，
．
，即，解得，
．
 

【解析】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出∽是解本题的关键．
先判断出，得出，再判断出，得出，再判断出，得出，即可得出结论；
先判断出∽，得出，进而得出，即可得出结论；
在中，设，得出，，最后用勾股定理得出，即可得出结论．
8.【答案】解：连接OD，

是的平分线，，
，，
，
，而，
，
是的切线；
连接DE，
是的切线，，
，∽，
，
；
连接DF、OF，设圆的半径为R，
点F是劣弧AD的中点，是DA中垂线，
，，
，，
，
，
四边形AODF是平行四边形，
又，
，
、是等边三角形，
，
，
，而，
，
．
 

【解析】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的知识，相似三角形的判断与性质，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
证明，即可求解；证明CDE∽，即可求解；
证明、是等边三角形，，即可求解．
9.【答案】证明：连接OB，
为的直径，
，
，

，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
为的切线，
，
，
是的切线；

证明：连接AE，
为的切线，
，
，
，
，
，
，即EA平分，
、PB为的切线，
平分
为的内心；
解：，，
，
，
在中，，
，，
，，
∽，
，
．
 

【解析】本题考查的是三角形的内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定与性质，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
连接OB，根据圆周角定理得到，证明≌，得到，根据切线的判定定理证明；
连接AE，根据切线的性质定理得到，证明EA平分，再证明PD平分，根据三角形的内心的概念证明即可；
求出，根据余弦的定义求出AC，AO，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
10.【答案】解：证明：如图1，连接DE，

为圆的直径，
，







即：
轴


点D在上
直线OD为的切线．
如图2，当F位于AB上时，过作于N，



∽

，，
，即AB：BC：：8：：4：5
设，则，

，解得：，
经检验是原方程的解，


即

如图3，当F位于BA的延长线上时，过作于M，

∽
设，则，


解得：，
经检验是原方程的解，


即
故答案为：，．
如图4，为直径，


∽



，



令
当时，
此时
．
 

【解析】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键．
连接ED，证明即可，可通过半径相等得到，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得，，得证；
分两种情况：位于线段AB上，位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标；
应用相似三角形性质表示出，令，应用二次函数最值可得到结论．
11.【答案】解：Ⅰ点，
，
，
，
四边形CODE是矩形，
，
，
在中，，
，
，
点E的坐标为；
Ⅱ由平移的性质得：，，，，
，
在中，，
，
，
，
，
，其中t的取值范围是：；
当时，如图所示：

，
，，
，
，
解得：或舍去，
；
当时，如图所示：

，，
，，
，
解得：，
当时，t的取值范围为．
 

【解析】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含角的直角三角形的性质时是解题的关键．
Ⅰ由已知得出，由矩形的性质得出，在中，，由勾股定理得出，即可得出答案；
Ⅱ由平移的性质得：，，，，得出，在中，，，求出，，即可得出答案；
当时，，由直角三角形的性质得出，得出方程，解方程即可；
当时，，，由直角三角形的性质得出，，由梯形面积公式得出，解方程即可．
12.【答案】解：，，
四边形ACDE是平行四边形，
，
，
，
；
作于点G，

，，，
，，
，，
，
，
，
即A、B之间的距离为．
 

【解析】本题考查平行四边形的判定与性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；
先根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AG的长，再根据勾股定理和题意可以求得CG和BG的长，从而可以解答本题．