北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一上学期数学期中考试试题+Word版含解析

北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一上学期数学期中考试试题

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一上学期数学期中考试试题

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1. 已知集合，且，则的值可能为（    ）

A.  B.  C. 0 D. 1

2. 已知命题，，则命题P的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. 若函数为R上的奇函数，且当时，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

6. 已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D. .

9. 玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(   )

A. 60件 B. 80件 C. 100件 D. 120件

10. 已知，则下列关于的零点的判断正确的是（    ）

A. 当时，有4个零点，当时，有1个零点；

B. 当时，有3个零点，当时，有2个零点；

C. 无论a为何值，均有2个零点；

D. 无论a为何值，均有4个零点．

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11. 已知集合，，则集合_______．

12. 函数的值域为_______．

13. 已知函数的定义域为，且自变量x与函数值的关系对应如下表：

（1）_______．

（2）不等式的解集为_______．

14. 函数在上不单调，则实数a的取值范围为_______．

15. 已知，，不等式的解集为有下列四个命题：

①；       ② ；

③；        ④

其中，全部正确命题的序号为_______．

三、解答题（本题共6小题，第16~20题每小题14分，第21题15分，共85分）

16. 解下列关于x的不等式：

（1）；

（2）；

（3）．

17. 已知集合．

（1）若，，求实数a的取值范围；

（2）若集合，求实数a的取值范围；

（3）已知，判断能否属于集合A，并说明你的理由．

18. 已知函数满足：，均有，且．

（1）求，值；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（3）求的值．

19. 已知函数的图象经过坐标原点，且为偶函数．

（1）求函数的解析式；

（2）求证：对于任意的，总有；

（3）记函数在区间的最大值为，直接写出的最小值．

20. 已知函数．其中P，M为非空数集，且，记，．

（1）若，，求；

（2）若，，且，求实数a的取值范围．

21. 已知集合A为数集，定义．若，定义：．

（1）已知集合，，，求，的值；

（2）若．

求证：；

求的最大值．

1.答案】C

【解析】

【分析】

化简集合得范围，结合判断四个选项即可.

【详解】集合，四个选项中，只有，

故选：C．

【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题

2. 答案】B

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定是特称命题，可得答案.

【详解】解:命题，命题的否定为:.

故选：B.

3. 答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性可得出，再由已知得，代入可得选项.

【详解】因为函数为R上的奇函数，所以，

又当时，，所以，

所以，

故选：D.

4. 答案】A

【解析】

【分析】

由解析式可得，解出即可.

【详解】要使函数有意义，则满足，解得，

故函数的定义域为.

故选：A.

5.答案】B

【解析】

【分析】

根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．

【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；

当，则，有，满足必要性；

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选B．

【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题．

6. 答案】D

【解析】

【分析】

根据，取排除A,取，，，即可排除BC，由不等式基本性质，即可判断D．

【详解】根据，取，则A不成立；

取，，，则BC不成立；

由，可知，

∴，故D一定成立，

故选：D.

7. 答案】B

【解析】

【分析】

根据初等函数的性质逐一判断即可.

【详解】对于A，的增区间为和，在定义域内不具备单调性，故A错误；

对于B，定义域内单调递增，故B正确；

对于C，在内单调递减，在内单调递增，故C错误；

对于D，在内单调递减，在内单调递增，故D错误；

故选：B.

8.答案】B

【解析】

【分析】

先求函数的对称轴，再结合函数取得最大值和最小值的位置即可求出.

【详解】函数开口向上，对称轴为，

且，，

函数在上的值域为，.

故选：B.

9.答案】B

【解析】

【分析】

确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．

【详解】解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是

这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）

由基本不等式，得

当且仅当，即时，取得最小值，

时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小

故选：

【点睛】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题．

10.答案】A

【解析】

【分析】

按和分类讨论的零点个数，即确定的解的个数，可得正确选项．

【详解】时，是增函数，，此时对任意均有一解．

时，

若，是增函数，，此时在时有一解，时无解，

若，是减函数，，此时在时有一解，时无解，

由得，

设，则时，的解为和，

，，因此有两解，有两解，共4解．

时，只有一解，只有一解，

∴函数在时，有4个零点，当时，有1个零点．

故选：A．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点，解题方法是转化与化归思想，转化为方程的解．通过换元法，先求得的解，若是其解，再求的解，从而得出结论．

11.答案】

【解析】

【分析】

根据交集定义即可求出.

【详解】，

.

故答案为：.

12.答案】

【解析】

【分析】

先求分母的范围，再求函数的值域.

【详解】，

，

所以函数的值域为.

故答案为：

13. 答案】    (1). 1    (2).

【解析】

【分析】

（1）利用自变量x与函数值的关系表求解.

（2）根据的定义域为，利用自变量x与函数值的关系表求解.

【详解】（1）由自变量x与函数值的关系得：,

所以.

（2）因为，

由自变量x与函数值的关系得，

所以不等式的解集是 ，

故答案为：1，

14.答案】

【解析】

【分析】

由题可得对称轴满足，求出即可.

【详解】可得的对称轴为，

在上不单调，则，解得.

故答案为：.

15.答案】①②

【解析】

【分析】

首先根据不等式与方程的关系可知，方程的两个实数根是或，不等式变形为，①代入，判断是否满足不等式；②令，代入，判断选项；③利用根与系数的关系判断；④代特殊值判断选项.

【详解】不等式变形为 ，

①代入，得，即满足不等式，所以，①成立；

②因为不等式的解集为，所以，代入，则，

所以，②成立；

③由条件可知分别是方程的两个实数根，，，则，故③不成立；

④当时，此时不等式的解集是，即，

此时，故④不成立.

故答案为：①②

【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题的关键是理解题意，理解不等式解集的端点值是方程的实数根，，以及，，这几个关键式子判断选项②③.

16.答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.

【解析】

【分析】

(1)利用十字相乘法将不等式整理成，可得解集.

(2)利用配方法可得结果.

(3)将不等式整理成,分、、三种情况讨论即可得出不等式的解.

【详解】解: (1) ,，

故原不等式的解集为:.

(2) ,，

故原不等式的解集为：；

(3) ,,

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为.

【点睛】方法点睛：解一元二次不等式，利用分解因式和配方法可求得不等式的解集，对于含参的一元二次不等式求解需要考虑通过二次项的系数的符号、判别式的符号、有根时的根的大小关系去讨论参数的取值范围.

17. 答案】（1）；（2）；（3）属于.

【解析】

【分析】

（1）根据，，由求解.

（2）根据，由，恒成立求解.

（3）假设属于集合A，判断是否成立.

【详解】（1）因为，

所以，即，

无解，所以实数a的取值范围是；

（2）因为，

所以，恒成立，

所以，

解得，

所以实数a的取值范围是；

（3）假设属于集合A，

则，整理得恒成立，

所以属于集合A.

18. 答案】（1），；（2）奇函数，理由见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）令可求，令可求；

（2）令即可判断；

（3）令可得，再由奇函数性质可求出.

【详解】（1）令，则，则，

令，则；

（2）令，则，

即，，

奇函数；

（3）令，则，则，

.

19. 答案】（1）；（2）证明见解析；（3），的最小值为2．

【解析】

【分析】

（1）由题意得，，再由偶函数的图象关于y轴对称，求得，可得出函数的解析式；

（2）原问题等价于对于任意的，总有，令，求得的范围，即可得证；

（3），讨论m的大小并结合二次函数的图象进行分析；

【详解】（1）由题意得，，即，所以，，

因为为偶函数，所以，即，

所以；

（2）对于任意的，总有等价于对于任意的，总有，

令，则当，即对于任意的，总有，故得证；

（3），当时，由（2），因为对于任意的，总有，

则此时，即有，故或时，y有最大值，即；

当时，如图，

由图，可得此时或时，y有最大值，即；

当时，如图

或，

由图，可得此时在时，y有最大值，即，

综上；

当时，，当时，，

故的最小值为2．

【点睛】方法点睛：解决关于二次函数在某区间上的值域时，注意讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，再根据二次函数的单调性得出最值.

20. 答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）求出和，然后求并集运算；

（2）分类讨论求出和，然后由，确定不等关系，得出范围．

【详解】（1），由得，

，由得，

∴．

（2），，，

时，，，∵，则，，∴；

时，，，满足；

时，，，∵，∴，解得，∴，

综上的范围是．

【点睛】关键点点睛：本题考查求集合的并集运算和由并集结果求参数范围．关键是求两个函数和的值域，因此需对分类讨论，根据两个函数的性质，需分三类，，．

21. 答案】（1），；（2）①证明见解析；②16

【解析】

【分析】

（1）根据定义直接计算即可；

（2）①可得，根据，可证；

②由可得.

【详解】（1），，，

，

；

（2）①由题可得，

，

，

，

，

即，

，

即，得证；

②

，

当且仅当时等号成立，

当且时，

有最大值为16.

【点睛】关键点睛：本题考查集合的基本运算，新定义的应用，解题的关键是能根据定义得出，进而根据集合的关系可求解.