2022届北京市清华大学附属中学高三下学期数学统练6试题含解析

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北京市清华大学附属中学2022届高三下学期数学统练6试题一、单选题1．已知集合，则=（       ）A． B． C． D．2．已知复数z在复平面上对应的点为（m，1），若iz为实数，则m的值为（　　）A．﹣1 B．0 C．1 D．1或﹣13．已知角的终边在第三象限，且，则（       ）A． B．1 C． D．4．若抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（       ）A． B． C． D．5．双曲线的顶点到其渐近线的距离为（       ）．A． B． C．1 D．6．二项式的展开式中的系数与的系数之比为（       ）A．6 B．-6 C．15 D．-157．已知，是两条不同的直线，是一个平面，且，则下列选项正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则8．已知函数，则“在上单调递减”是“”的（       ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是（       ）A． B． C．是递减数列 D．存在最小值10．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（       ）A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h二、填空题11．函数的定义域为___________.12．若等差数列和等比数列满足，，则_______.13．已知函数，则不等式的解集是___________.14．已知，是平面单位向量，且若平面向量满足，，则||=___________.15．已知函数，下列说法正确的是___________.①当时，的值域为；②，有最小值；③，在上单调递增：④若方程有唯一解，则a的取值范围是.三、解答题16．在中，，．(1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：的周长为．17．如图，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD．，点F在棱PA上.(1)求证：；(2)若BF与平面PCE所成角的正弦值为，求AF的长.18．单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分.最终取每站三次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩.现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：(1)从上表5站中随机选取一站，求在该站甲运动员的比赛成绩高于乙运动员的比赛成绩的概率；(2)设甲乙成绩相互独立，从甲的5站比赛成绩和乙的5站比赛成绩中分别随机选取一个，求两人的比赛成绩中至少有一人高于88分的概率；(3)甲5站的比赛成绩的平均值为，甲乙5站比赛成绩的总平均值记为，比较与的大小（直接写出结果）.19．已知椭圆的焦距为2，一个顶点为A（0，2）.(1)求椭圆E的标准方程及离心率；(2)过点P（0，3）的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B、C，直线AB、AC分别交直线于点M、N.求|的值.20．已知函数(1)若，求的单调区间；(2)是函数的极小值点，求实数a的取值范围；(3)若的最小值为，求实数a的值.21．已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；①，；②，.（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70参考答案：1．C【解析】【分析】利用集合的补运算求即可.【详解】由，则.故选：C2．B【解析】根据复数z在复平面上对应的点，得到，根据为实数，得到的值.【详解】因为复数z在复平面上对应的点为，，因为为实数，得.故选：B.【点睛】本题考查根据复数的坐标写出对应的复数，根据复数的类型求参数的值，属于简单题.3．C【解析】【分析】由同角之间的公式可求得，进而得解.【详解】由角的终边在第三象限，则由题设知，解得，所以故选：C4．A【解析】【分析】把点代入抛物线方程可得，进而求出抛物线的标准方程，结合抛物线的性质，进而得到焦点坐标．【详解】抛物线经过点，，抛物线标准方程为，抛物线焦点坐标为．故选：．5．B【解析】【分析】先求出双曲线的顶点和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式可求解【详解】解：双曲线的顶点为，渐近线方程为，由双曲线的对称性可知，任一顶点到任一渐近线的距离相等，不妨求点到渐近线的距离故选：B【点睛】此题考查双曲线的几何性质，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.6．B【解析】【分析】根据二项式写出含、的项，即可得结果.【详解】由题设，所以含项为，含项为，，则系数之比为-6.故选：B7．D【解析】【分析】根据空间中直线与平面平行与垂直的相关性质依次判断各个选项可得结果.【详解】对于，若，此时或，错误；对于，若，此时与可能平行、相交或异面，错误；对于，若，此时与平面可能平行或相交，错误；对于，若，则垂直于内任意直线，必垂直于的平行线，则，正确.故选：.【点睛】本题考查空间中线线关系、线面关系相关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关性质和定理掌握的熟练程度，属于基础题.8．B【解析】【分析】先根据在上单调递减确定，再根据范围包含关系确定充要关系.【详解】因为，且在上单调递减，所以即从而因为是必要而不充分条件，所以“在上单调递减”是“”的必要而不充分条件，故选：B【点睛】本题考查充要关系判断、由三角函数单调性求参数范围，考查基本分析求解判断能力，属基础题.9．B【解析】【分析】根据等比数列的性质分别进行判断即可.【详解】A：当时，，，成立，当时，，，不成立，A选项错误；B：成立，B选项正确；C：当时，数列为递减数列，当时，数列为递增数列，C选项错误；D：当时，存在最小值，当时，存在最大值，D选项错误；故选：B.10．B【解析】【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】解：根据题意可得，则当时，，所以，即当放电电流，放电时间为28.5h.故选：B.11．【解析】【分析】根据对数、分式及根式的性质列不等式组求定义域.【详解】由解析式知：可得，所以函数定义域为.故答案为：12．【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，，那么，故答案为.【考点】等差数列和等比数列【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.13．【解析】【分析】由题设，不等式化为，根据一次函数、指数函数的性质求解集即可.【详解】由题意，则，即，此时，而、均递增，它们的函数图象如下：由图知：当时，当时.综上，的解集是.故答案为：14．【解析】【分析】由题意及平面向量基本定理有，，结合已知应用向量数量积的运算律求参数，进而求.【详解】由题设，则，，由已知，，可得，所以，则，即.故答案为：15．①②【解析】【分析】由分段函数解析式，讨论参数a，结合二次函数、对数函数的性质研究的单调性、最值及对应值域，利用函数与的交点情况判断参数范围.【详解】由的对称轴，当时，则，且上递减，上递增，值域为，当时，则上递减，值域为，当时，则，上递减，值域为，对于在上递增，且值域为，综上，时的值域为，①正确；当时最小值为0，当时最小值为，②正确；由恒成立，故在上不可能递增，③错误；要使有唯一解，当时，在上必有一个解，此时只需，即；当时，在R上有两个解，不合题设；当时，在上必有一个解，此时，无解.所以④错误.故答案为：①②16．(1)(2)选择条件②,; 选择条件③.【解析】【分析】(1)利用余弦定理求解即可；(2)根据条件①②③逐一计算，满足三角形只有一个解即可，再求面积.(1)由余弦定理知，，因为，所以．(2)选择条件①：把，代入中，化简得，解得，所以存在两个，不符合题意；选择条件②：因为，，所以，由正弦定理知，，所以，因为，所以的面积．选择条件③：因为的周长为，且，所以，又，所以，解得，所以的面积.17．(1)证明见解析；(2)或.【解析】【分析】（1）由勾股定理及面面垂直的性质可得面ABCD，再由线面垂直、矩形的性质有、，最后利用线面垂直的判定及性质即可证结论.（2）构建空间直角坐标系，设且，求出面的法向量、的坐标，利用空间向量夹角的坐标表示求参数m，即可得AF的长.(1)由题设，则，又面PAB⊥面ABCD，面PAB，面面，所以面ABCD，而面ABCD，即，而四边形ABCD是矩形，则，由，则面，而面，所以.(2)由（1）知：两两垂直，构建以为原点，分别为x、y、z轴的空间直角坐标系，则，设且，所以，，，若是面的一个法向量，则，令，则，由BF与面PCE所成角的正弦值为，即，可得或.所以或18．(1)；(2)；(3)<.【解析】【分析】（1）由题意确定甲乙各站对应成绩，进而判断甲成绩比乙高的站数，即可得概率.（2）首先确定抽到甲、乙低于88分的概率，再利用对立事件的概率公式及独立事件的乘法求概率.（3）根据数据求出甲的平均成绩、甲乙两人的总平均成绩，即可判断它们的大小.(1)由表格数据知：各站甲乙对应成绩如下，其中第2、4站甲成绩比乙高，故随机选取一站，甲运动员成绩高于乙运动员的概率.(2)由（1）知：甲成绩低于88分有3站,，乙成绩低于88分有1站，所以抽到甲低于88分的概率为，抽到乙低于88分的概率为，抽到甲乙都低于88分的概率为，则两人至少有一人高于88分的概率为.(3)由（1），，，所以.19．(1)，；(2).【解析】【分析】（1）由已知及椭圆参数关系求出椭圆参数，即可得标准方程和离心率；（2）由题意可得、且，联立椭圆方程，应用韦达定理及，即可求值.(1)由题设，则，故E标准方程为且.(2)由题设，，则，同理，而，联立椭圆可得，所以，可得或，且，，所以.20．(1)单调递增区间为，单调递减区间为和．(2)(3)或【解析】【分析】（1）由导数与单调性的关系求解（2）由导数与极值的关系求解（3）根据的取值分类讨论单调性后列方程求解(1)当时，， ，当或时，，当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为和．(2)，，令，得或，若是函数的极小值点，则，得，经检验，满足题意故a的取值范围为．(3)由（2）得，①时，当或时，，当时，，在和上单调递减，在上单调递增，而趋向正无穷大时，，若的最小值为，令，得，满足题意，②时，在上单调递减，无最小值，不合题意，③时，当或时，，当时，，在和上单调递减，在上单调递增，而趋向正无穷大时，，若的最小值为，令，得，满足题意，综上，或21．（Ⅰ）①不是的一个二元基底.；②是的一个二元基底.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ），的最小可能值为5. 当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等.【解析】【详解】分析：（I）利用二元基底的定义加以验证，可得不是的一个二元基底.，是的一个二元基底.．（II）设，计算出的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得，即．（III）由（Ⅱ）可知，所以，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”．再讨论当时，集合的所有情况均不可能是的4元基底，而当时，的一个基底，由此可得 的最小可能值为5．详解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底.理由是；②是的一个二元基底.理由是，. （Ⅱ）不妨设，则形如 的正整数共有个；形如 的正整数共有个；形如 的正整数至多有个；形如 的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.故，即. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设为的一个4元基底，不妨设，则.当时，有，这时或.如果，则由，与结论*矛盾.如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，的最小可能值为5. 点睛：本题以一个集合为另一个集合的元基底的讨论为载体，着重考查了集合元素的讨论和方程、不等式的整数解的讨论和两个计数原理等知识，属于难题．甲乙第1站86.2088.40第2站92.8088.60第3站87.5089.10第4站89.5088.20第5站86.0087.70