北京人大附中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题+Word版含解析

人大附中2020-2021学年度第一学期高一年级数学期中考试

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）

1. 设全集，集合，，则（    ）.

A.      B.  C.    D.

2. 下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递增的函数为（    ）.

A.  B.  C.  D.

3. 已知命题，，则是（    ）.

A. ， B. ，

C. ， D. ，

4. 不等式的解集为（    ）.

A. 或 B. 或

C 或 D.

5. 函数的零点所在的区间是

A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)

6. 若，则下列不等关系一定成立的是（    ）.

A.  B.

C.  D.

7. 函数的图象大致是（    ）.

A.  B.

C.  D.

8. “”是“”的（    ）.

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（    ）.

A.  B.

C.  D.

10. 若关于的不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（    ）.

A.  B.

C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置）

11. 函数的定义域为_______________.

12. 若函数是偶函数，则______.

13. 奇函数的定义域为，在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，如图所示，则不等式的解集为______.

14. 已知函数，如果对，，使得成立，请给出一个满足上述条件的函数，则的解析式为______.

15. 设函数

①若，使得成立，则实数取值范围是______.

②若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是______.

（1）函数满足，则函数图像关于直线对称；

（2）函数满足，则函数图像关于点中心对称；

三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的应位置）

16. 已知集合，.

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

17. 经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.

（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；

（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？

18. 已知函数

（Ⅰ）判断函数在上的单调性，并用函数单调性定义证明；

（Ⅱ）关于的方程有6个不同的实数根.则：

（1）______

（2）求，满足的条件.（直接写出答案）

一、选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）

19. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）.

A.  B.

C.  D.

20. 若指数函数的图象和函数图象相交，则（    ）.

A.  B.

C.  D.

21. 已知函数，对于给定的且存在，使得，则m的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分，请把结果填在答题纸上的相应位置）

22. 设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.

23. 自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…）

（1）如果为单调函数.写出满足条件的一-组值：______，______.

（2）如果的最小值为2，则的最小值为______.

24. 设集合是集合的子集，对于，定义给出下列三个结论：

①存在的两个不同子集，，使得任意都满足且；

②任取的两个不同子集，，对任意都有；

③设，，对任意，都有

其中正确结论的序号为______.

三、解答题（本小题14分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）

25. 已知集合为非空数集，定义：

，

（1）若集合，直接写出集合，.

（2）若集合，，且，求证：

（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值.

1.答案】B

【解析】

分析】

根据为全集，集合，利用补集运算得到，再由利用交集的运算求解.

【详解】因为全集，集合，

所以，又，

所以

故选：B

2. 答案】B

【解析】

【分析】

由已知结合函数的单调性及奇偶性的定义分别检验各选项即可判断．

【详解】，在区间上单调递减，AC不符合题意；

为偶函数，D不符合题意；

，

，

为奇函数，

当时，在上单调递增，B符合题意．

故选：B．

3. 答案】A

【解析】

【分析】

利用全称命题与特称命题的否定关系，直接写出结果即可．

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题，，

则命题的否定形式是，．

故选：．

4. 答案】C

【解析】

【分析】

先分解因式再解不等式.

【详解】因为，所以，或，

故选：C

5. 答案】A

【解析】

分析】

求得 f（1）f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间．

【详解】由函数可得，，

故有，根据函数零点的判定定理可得，函数的零点所在区间为，

故选A．

【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查．

6. 答案】D

【解析】

【分析】

由，可判断；由，，可判断；由，，可判断；由不等式的性质可判断．

【详解】由，，可得，故错误；

由，，可得，故错误；

由，，可得，故错误；

由，，可得，故正确．

故选：．

7.答案】A

【解析】

【分析】

首先求出函数的定义域，再将绝对值符号去掉，将函数写成分段函数形式，即可判断函数图象；

【详解】解：因为，所以定义域为，所以，函数图象如图A所示；

故选：A

8.答案】B

【解析】

【分析】

先解不等式，再利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】由，解得，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

9. 答案】D

【解析】

【分析】

由已知可得判别式△、对应的二次函数满足，即可求出的范围．

【详解】解：方程有两个实数根，△，

，

的方程有两个正的实数根，对应的二次函数的开口向上，对称轴

所以，

可得，

或，

，

故选：．

【点睛】本题考查一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程中判别式确定根的存在，再由两根都是正数，结合根与系数的关系求解是解题的关键．

10. 答案】C

【解析】

【分析】

将不等式对于一切恒成立，转化为不等式对于一切恒成立，令，分和讨论求解.

【详解】因为不等式对于一切恒成立，

即不等式对于一切恒成立，

令，

当，即时，，

此时，，

当，即时，，

解得，

综上：

所以实数的取值范围是

故选：C

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置）

11. 答案】

【解析】

【分析】

由根式函数定义域的求法得到，再转化为，利用一元二次不等式的解法求解.

【详解】因为，

所以，

解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

12. 答案】5

【解析】

【分析】

先利用函数偶函数的定义求得解析式，再求的值.

【详解】因为函数是偶函数，

所以，即，

解得，

所以5

故答案为：5

13. 答案】

【解析】

【分析】

根据奇函数的定义域为，在第一象限的图象，作出整个定义域上的图象，然后利用数形结合法求解.

【详解】因为奇函数的定义域为，且在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，

所以定义域内的函数图象，如图所示，

当时，解得，

由图象知：不等式的解集为

故答案为：

14. 答案】

【解析】

【分析】

写出一个满足定义域为，，值域为，的函数即可．

【详解】，，，，

对，，，，使得成立，

的定义域、值域为，，不妨取．

故答案为：．

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将原问题转化为所求函数与已知函数的定义域、值域相同．

15. 答案】    (1).     (2). 或

【解析】

【分析】

①由知，函数关于直线对称，结合图像可知的取值范围；

②在上单增，在R上单增，结合图像知，或者

【详解】①由知，函数关于直线对称，

又二次函数，开口向下，对称轴为，结合图像：

由，使得，知

②在上单增，在R上单增，结合图像知，或

【点睛】结论点睛：函数对称性常用结论：

（1）函数满足，则函数图像关于直线对称；

（2）函数满足，则函数图像关于点中心对称；

三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的应位置）

16. 答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）时，结合一元二次不等式的解法化简集合，，由此能求出．

（2）由可得，得或，由此能求出实数的取值范围．

【详解】（1）由题可得：

当时，

或

则

（2）因为，则，

因为集合不可能是空集，

所以：或

即：或

所以的取值范围为

【点睛】本题主要考查了不等式，求集合的交集、集合的子集，属于容易题，这类题型尽管比较容易，但是在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.

17. 答案】（1），；（2），

【解析】

【分析】

(1)根据题中数据求出，，，得到，再将代入即可得出结果；

(2)根据基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件，即可得出结果.

【详解】(1)因为年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费.

由题意可得：，，，

所以存储成本费，

若该化工厂每次订购300吨甲醇，

所以年存储成本费为；

(2)因为存储成本费，，

所以，

当且仅当，即时，取等号；

所以每次需订购吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为.

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可求解，属于常考题型.

18. 答案】（Ⅰ）减函数，证明见解析；（Ⅱ）（1），（2），.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用单调性定义直接证明即可；

（Ⅱ）利用换元法和二次函数的图像性质，分类讨论即可求解

【详解】（Ⅰ）证明：

任取，，且，

则

因为，所以，，.

所以.即.

所以是上的减函数.

（Ⅱ）（1）令，则有6个不同实根，由于

，为奇函数，

则时有四个不同的解，要使有6个不同的解，则必为一解，此时，，又由，可得，则方程变为，故有另一解为，

又由，得或，化简得，

或，解得和，

综上，

（2）由（1）可得，，满足的条件为，

【点睛】关键点睛：解题关键在于，利用换元法，令，则有6个不同实根，然后，利用二次函数的图像性质分为时有两个解，有四个解这两种情况进行讨论，难度属于中档题

一、选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）

19. 答案】C

【解析】

【分析】

解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．

【详解】解：不等式，

，解得，

故不等式的解集为：，

则其一个充分不必要条件可以是，

故选：．

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

20.答案】D

【解析】

【分析】

分两种情况讨论，当a1时符合题意，当时，根据临界点的高低列不等式求解即可.

【详解】时，的增长速度比的增长速度快，所以必会有交点，

时，要使函数的图象和函数图象有交点，

则时， ，

综上，，

故选：D.

【点睛】方法点睛：数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

21. 答案】C

【解析】

【分析】

结合分类讨论思想，先验证时，函数满足题意要求，再利用分类讨论思想，证明存在时，题意要求不成立，进而得出最大值为.

【详解】①当时，，取，则，，故存在，使得；

②当时，则.

当时，，，

依题意，当时，，

当时，，故，

即不可能有；

当时，，又由知，，即.

依题意，当时，，当时，，故由知，；

又当时，，

当时，，故由知，；

故不可能有，

故综上可知，不存在，使得.

又，所以满足题意的的最大值为.

故选：C

【点睛】关键点睛：

本题解题关键在于理解题意要求，以特殊值验证成立后，说明时不存在，使得，以突破难点.

二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分，请把结果填在答题纸上的相应位置）

22.答案】

【解析】

【分析】

根据、是关于的方程的两个实数根，由，解得 ，然后由 ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.

【详解】因为、是关于的方程的两个实数根，

所以，解得 ，

所以，

则 ，

，

 ，

 ，

所以的最小值为，

故答案为：

23.答案】    (1). 1    (2).     (3). 2

【解析】

【分析】

（1）取，结合函数是单调函数，利用复合函数的单调性求解的值即可；

（2）根据的最小值为2，分类讨论确定，，结合基本不等式进行求解即可．

【详解】（1）令，则，

是增函数，是减函数，

要使是单调函数，

只需．

综上，当时，时，为增函数．

（2）当时，为单调函数，此时函数没有最小值，

当，，有最大值，无最小值，

所以，若有最小值为2，则必有，，

此时，

即，即，

则，当时等号成立，

即的最小值为2．

故答案为：

【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

24. 答案】①③

【解析】

【分析】

根据题目中给的新定义，对于或，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．

【详解】∵对于，定义，

∴对于①，例如集合是正奇数集合，是正偶数集合，，，①正确；

对于②， 例如：，当时，；；； ②错误；

对于③， ，，明显地，均为偶数集，，，若为偶数，则，则且； ，则有；若为奇数，此时，，则且，，也成立；③正确

∴所有正确结论的序号是：①③；

故答案为：①③

【点睛】关键点睛：解题关键在于对题目中新定义的理解和应用，结合特殊值法和反证法进行证明，难度属于中档题.

三、解答题（本小题14分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）

25. 答案】（1），；（2）证明见解析；（3）1347.

【解析】

【分析】

（1）根据题目定义，直接计算集合及；

（2）根据两集合相等即可找到，，，的关系；

（3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值．

【详解】（1）根据题意，由，则，；

（2）由于集合，，且，

所以中也只包含四个元素，

即，

剩下的，

所以；

（3）设满足题意，其中，

则，

，

，

，

，，

中最小的元素为0，最大的元素为，

，

，

，

实际上当时满足题意，

证明如下：

设，，

则，，

依题意有，即，

故的最小值为674，于是当时，中元素最多，

即时满足题意，

综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.

【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.