人教版七年级下册第八章 二元一次方程组综合与测试教学设计及反思

第六章复习教案

知识梳理

一．数的开方主要知识点：

【1】平方根：

1. 如果一个数 x 的平方等于 a，那么，这个数 x 就叫做 a 的平方根；也即，

当 x 2  a(a  0) 时，我们称 x 是 a 的平方根，记做： x   a (a  0) 。因此：

2. 当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是 0 本身；

3. 当 a＞0 时，也就是 a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，

通常记做： x   。

当 a＜0 时，也即 a 为负数时，它不存在平方根。例 1.

（1）       的平方是 64，所以 64 的平方根是    ；

（2）        的平方根是它本身。

（3）  若

的平方根是±2，则 x=     ；

的平方根是      

（4）  一个正数的平方根分别是 m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？

【2】算术平方根：

1. 如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x 2  a ，那么，这个正数 x 就叫做 a 的

算术平方根，记为：“ ”，读作，“根号 a”，其中，a 称为被开方数。特别规

定：0 的算术平方根仍然为 0。

2. 算术平方根的性质：具有双重非负性，即：

 0(a  0) 。

3. 算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它

只表示为：

；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：  。

例 2.

（1）  下列说法正确的是 （ ）

A．1 的平方根是 1 B．

 2

3. 的平方根是 3

D.0 没有

平方根；

（2）   ）

A.  9

B. 3.14    3.14 C.

 9

4.  

（3）                            的算术平方根是             。

（4）  已知 和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y 的值

（5）（提高题）如果 x、y 分别是 4－ 3 的整数部分和小数部分。求 x－y的值.

【3】立方根

1. 如果 x 的立方等于 a，那么，就称 x 是 a 的立方根，或者三次方根。记做：

，读作，3 次根号 a。注意：这里的 3 表示的是开方的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

2. 平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是， 并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

例 3.

（1）64 的立方根是                      

（2）若3  a  2.89, 3  ab  28.9 ，则 b 等于（ ）

A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000

（3）  下列说法中：①  3 都是 27 的立方根，②

 y ，③

的立方根

1. 无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环” 这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不

尽的数，如:

2,   5, 3   9 等；（3）特殊结构的数：如：2.01 0 010 001 000 01…

（两个 1 之间依次多 1 个 0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，

如： 9 等；无理数也不一定带根号，如：

2. 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可

以看成是分母为 1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例 4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③

             、④π、⑤  、

⑥  2 、⑦0.3030003000003……（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2）、其中

3

是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）

（2）有五个数:0.1 25125…,0.1010010001…,-,

【5】实数

, 其中无理数有

1. 有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的

实数；绝对值最小的实数是 0，最大的负整数是-1。

2. 实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是 1 （a≠0）；实数 a

a

a(a  0)

的绝对值|a|=  a(a  0) ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

3. 实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于 0，0 大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大， 两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

4. 实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。

例 5.

1. 下列说法正确的是（ ）；

A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；

C、1 和 2 之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。

2. a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )

a 0 b

A、 B、 C、 D、

3. 将下列各数： 2 ,

, ,  1 

，用“ ＜”连接起来；

                                    。4..（提高题）观察下列等式：回答问题：

①  1  1 

1

1

1  1

 11 ②

2

 1  1 

2

1

2  1

 11

6

③  1  1 

3

1

3  1

 1 1

12

，……

（1）  根据上面三个等式的信息，请猜想 的结果；

（2）  请按照上式反应的规律，试写出用 n 表示的等式，并加以验证。

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