2021届高考数学题型模块练之选择题（8）空间向量与立体几何

2021届高考数学题型模块练之选择题（8）

空间向量与立体几何

1.已知三棱锥四个顶点均在表面积为的球面上，，则三棱锥体积的最大值为(   )

A. B. C. D.

2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(   )
 

A. B. C. D.

3.在三棱锥中，是的中点，与均是正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

4.一个正方体被平面分别截去两部分后剩余部分的三视图如图所示，则该多面体的体积为(   )
 

A.6 B. C. D.8

5.已知两条不同的直线，两个不同的平面，且，则下列说法正确的是(   )

A.若，则  B.若，则

C.若，则   D.若，则

6.在中，为的中点，将沿折起，使点间的距离为，则点到平面的距离为(   )

A. B. C.1 D.

7.如图，点是正方体的棱的中点，点分别在线段(不包含端点)上运动，则(   )

A.在点的运动过程中，存在

B.在点的运动过程中，不存在

C.四面体的体积为定值

D.四面体的体积不为定值

8.在三棱锥中，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最小值为(   )

A. B. C. D.

9.如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中(球未画出)，使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若四棱锥的表面积为，则球的表面积为(   )

A. B. C. D.

10.如图，在正方体中，为线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则平面与底面所成的锐二面角的余弦值的取值范围是(   )

A. B. C. D.

答案以及解析

1.答案：C

解析：根据题意知，是一个直角三角形，其面积为4，其外接圆的圆心为斜边AC的中点.设外接圆的圆心为Q，当MQ与平面ABC垂直时，三棱锥的体积最大.设球心为O，半径为R，则得点O到平面ABC的距离所以三棱锥体积的最大值为故选C.
 

2.答案：B

解析：由三视图得，该几何体由半个球体与半个圆锥体组合而成，其表面积，故选B.

3.答案：C

解析：如图，由题可得，设与的中心分别为，过分别作平面与平面的垂线交于一点，该点即外接球的球心，连接，易知，所以，外接球半径，所以外接球的表面积，选C.

4.答案：B

解析：由题得该几何体为棱长为2的正方体截去两个体积相等的三棱锥与三棱锥所得的多面体，故所求体积为.
 

5.答案：A

解析：已知.对于A选项，当时，，故A选项正确.对于B选项，当时，或，所以B选项错误.对于C，D选项，当时，或，所以C，D选项错误.故选A.

6.答案：A

解析：在中，由已知得，为等边三角形.取的中点，连接，则.设的延长线交于，则.

根据题意知，折起后的图形如图所示，连接，由，知，则，故，于是，.又，又平面平面，即是三棱锥的高.设点到平面的距离为，易知，由，可得，故选A.

7.答案：C

解析：取的中点，连接，则，又，所以，又与是异面直线，故不存在，A选项不正确；连接交于点，连接，则，连接，易得平面，所以，当时，，又，所以平面，所以，故B选项不正确；因为平面，所以点到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，故C选项正确；同理可得，四面体的体积为定值，故D选项不正确.故选C.

8.答案：A

解析：如图，取的中点，连接，为正三角形，取的中点，连接，则，且.易知平面平面，点在以为半径，为圆心的圆心取的中点的中点，连接，则经过圆心，设交圆于点交圆于点，则.当与或重合时，，此时最大，当与重合时，，此时最小.故选A.

9.答案：B

解析：设球，半球的半径分别为，则由正方体与半球的位置关系易知正方体的棱长为.设正方体的下底面的中心为，连接，则四棱锥的高.易知该四棱锥为正四棱锥，则其斜高为.由题意得，得.根据几何体的对称性知球的球心在线段上，连接，在中，，于是由勾股定理，得，解得，所以球的表面积，故选B.

10.答案：A

解析：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则.设平面的一个法向量为，则即取，则.易知底面的一个法向量为.设平面与底面所成的锐二面角为，则，当时，，当时，，显然当时，取到.故.故选A.