2021届高考数学题型模块练之填空题（8）空间向量与立体几何

2021届高考数学题型模块练之填空题

（8）空间向量与立体几何

1.已知球O是三棱锥的外接球，，则当点P到平面的距离取最大值时，球O的表面积为__________.

2.已知多面体ABCDEFG（如图所示），AB，AC，AD两两互相垂直，平面平面DEFG，平面平面ADGC，，则直线DC与平面BCF所成角的正弦值为________.
 

3.已知三棱锥中，点A在平面BCD上的射影与点D重合，.若，则三棱锥的外接球的体积为____________.

4.在菱形中，，将菱形沿对角线折成直二面角，折起后直线与间的距离为__________.

5.已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为.与圆锥底面所成角为45°.若的面积为，则该圆锥的侧面积为______________.

6.如图，在直三棱柱中，，点D在棱上，当取得最小值时，，则异面直线与所成角的余弦值是__________.

7.如图，已知三点在球的表面上，是边长为的等边三角形，三棱锥的体积为6，则球的表面积为____________.

8.如图所示，在直平行六面体中，，点在上，且，则点到平面的距离为________________.

9.如图，在直三棱柱中，若，则平面与平面所成的角为_______________.

10.如图，球的半径为，有一圆柱内接于球，且分别为该圆柱上、下底面的圆心.已知当圆柱的侧面积最大时，它的体积，则球的表面积为___________.

答案以及解析

1.答案：

解析：当点P到平面的距离最大时，平面.如图，将三棱锥补成一个直三棱柱，则球O也是该三棱柱的外接球，则球心O到底面的距离.由正弦定理得的外接圆半径球O的半径球O的表面积.
 

2.答案：

解析：因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体.由图可知平面BCF与平面CFG为同一平面，所以直线DC与平面BCF所成的角即直线DC与平面CFG所成的角，设其为.设点D到平面CFG的距离为h.因为，所以，解得.因为，所以.
 

3.答案：

解析：如图，设的外接圆圆心为，半径为r，三棱锥的外接球球心为O，半径为R，则平面BCD，故.在中，由正弦定理得，故，则.故球O的体积.

4.答案：

解析：设.在菱形中，折起后两两垂直.以为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.在原菱形中，，，，.设，令则取，则.又与间的距离.

5.答案：

解析：如图所示，设在底面的射影为，连接.的面积为，.与底面所成的角为45°，，底面周长圆锥的侧面积为.

6.答案：

解析：如图1，将侧面沿顺时针展开至与侧面在同一平面，当三点共线时取得最小值，此时.设，则，设，则，两式相减，得，所以，所以.如图2，延长到点E，使得，连接，则，故即为异面直线与所成的角.连接.在中，，由余弦定理得.

7.答案：

解析：设的外心为，连接，则平面.因为是边长为的等边三角形，所以其外接圆半径为.因为三棱锥的体积为6，所以.解得.球的半径为，所以.

8.答案：

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

.

设平面的一个法向量为，

则取，解得

.

点到平面的距离.

9.答案：45°

解析：由题意可知，平面平面，平面与平面所成的角等于平面与平面所成的角.由，可知.由平面，得.又，平面，，为平面与平面所成的角.由题意易得，故平面与平面所成的角为45°.

10.答案：

解析：设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则圆柱的侧面积为.如图，作出球及其内接圆柱的轴截面，得到四边形，所以，

于是，则.令，得，即当时，圆柱的侧面积最大.所以.又圆柱的侧面积最大时，它的体积，解得.所以，所以球的表面积.