2021届高考数学题型模块练之解答题（7）坐标系与参数方程

2021届高考数学题型模块练之解答题（7）坐标系与参数方程

1.[选修4—4:坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中,直线l过点,倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是.

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;

（2）若,设直线l与曲线C交于两点,求的面积.

2.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求点的轨迹的极坐标方程；

（2）已知直线与曲线交于两点，若，求的值.

3.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数，）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线C的焦点的极坐标；
（2）若曲线C的上焦点为F，直线l与曲线C交于A,B两点，，求的值.

4.在极坐标系中,直线,圆。以极点为原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系.

(1)求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；

(2)已知点在圆上,点到直线和轴的距离分别为,,求的最大值。

5.在直角坐标系中，圆C的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点T的极坐标为。

（1）判断点T和圆C的位置关系，并求圆C的极坐标方程；

（2）直线和圆C相交于两点A，B，若的面积为，求的值。

6.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t是参数），以坐标原点为

 极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线是曲线上任意一点，求点M到曲线的距离的最大

答案以及解析

1.答案：（1）直线l的参数方程为(t为参数);

∵

即
2.当时,直线l的参数方程为:(t为参数)

代入,可得

设两点对应的参数分别为,

则

又点O到直线的距离

2.答案：（1）设，.且点，由点为的中点，

所以

整理得.即， 

化为极坐标方程为.

（2）设直线的极坐标方程为.设，

因为，所以，即.

联立整理得.

则解得.

所以，则

3.答案：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义.
(1)由得，
得，即.
故曲线C是焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为
则焦点的极坐标为.
(2)将直线的参数方程代入
得，
整理得.
设点A对应的参数为点B对应的参数为
因为所以与异号，
则解得.
因为所以.

4.答案：(1)由得,；

因为,代入有直线的直角坐标方程为：,

即为  

由圆得,,因为, ,

,所以圆直角坐标方程为：,

由得,  

圆的参数方程为(为参数),   

(2)设点坐标为

则,

又

那么

当时,取得最大值  .

5.答案：（1）由圆C的参数方程为（为参数）得圆C的普通方程为，则圆心为，半径。∵点T的极坐标为.点T的直角坐标为.∵.点T在圆C外。∴圆C的直角坐标方程为，∴将，代入可得圆C的极坐标方程为。

（2）∵的面积为，∴，，∴。由，得.∵直线和圆C相交于两点A，B，∴，即，设点A，B的极坐标分别为，，则，，解得

6.答案：(1)∵曲线的参数方程为,(t是参数)，

∴曲线的普通方程为，

∵曲线的极坐标方程为.

∴，

∴曲线的直角坐标方程为.

(2)曲线经过伸缩变换得到曲线，

∴曲线的方程为：，

设，根据点到直线的距离公式得：

,(其中,)，

∴点M到曲线的距离的最大值为.