2021届高考数学题型模块练之解答题（5）导数

2021届高考数学题型模块练之解答题（5）导数

1.已知函数.

（1）若，求函数的极值；

（2）当时，判断函数在区间上零点的个数.

2.已知函数 (e是自然对数的底数)

（1）判断函数极值点的个数,并说明理由

（2）若,,求实数a的取值范围

3.已知函数.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)若时,不等式恒成立,求实数a的取值范围.

4.已知函数且

(1).讨论函数的单调性；

(2).求函数在上的最大值和最小值．

5.已知函数

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论函数的零点个数.

6.已知函数,其中.

（1）设是的导函数,讨论的单调性;

（2）证明:存在,使得恒成立,且在区间内有唯一解.

答案以及解析

1.答案：（1），

，

因为，所以，

当x变化时，，的变化情况如表所示：

所以当时，有极大值，且极大值为，

当时，有极小值，且极小值为.
（2）由（1）得.

，.

① 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

，，，

在和上各有一个零点，

此时在上有两个零点.

 ② 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上递增，

，，，

在上有且只有一个零点，在上没有零点，

此时在上有且只有一个零点.

综上所述，当时，在上有两个零点；当时，在上有且只有一个零点.

2.答案：（1）∵

当时, 在上单调递减,在上单调递增, 有1个极值点

当时, 在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, 有2个极值点

当时, 在R上单调递增,此时没有极值点;

当时, 在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, 有个极值点;

∴当时, 有个极值点;当且时, 有2个极值点;当时, 没有极值点

（2）由得

①当时, ,即对恒成立.

设,则.

设,则

∵,,

在上单调递增,

,即,

在上单调递减,在上单调递增,

,.

当时,不等式恒成立, ;

当时, .

设,

则.

设,

则,

在上单调递减,

.

若,则,在上单调递增,

若,∵,

,使得时, ,

即在上单调递减,

,舍去

.综上可得,a的取值范围是

3.答案：本题考查利用导数研究函数的最值、不等式恒成立求参问题.
（1）当时，，则.
由，得.
则当时,单调递减，
当时,单调递增.
.
（2）由已知得，，则.
设，则.
①当时，，等号不恒成立，在

上单调递增，
，故在上单调递增.
恒成立.
②当时，令，则当时，,
此时单调递减.
又当时，，等号不恒成立.
故在上单调递减，此时，
在上不恒成立，不满足条件.
综上所述，实数a的取值范围为.

4.答案：

(1) 函数,.,解得.则.,令，解得.由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）当时，函数与的变化如下表：

由表格可知：当时，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值，，又，可知函数的最大值为，最小值为.

5.答案：(1)当时，，
，
所以曲线在处的切线方程为
(2)函数的定义域为，.
①当时，无零点.
②当时令得令得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值
当即时，无零点.
当即时，只有一个零点.
当即时，，

令则则在上单调递增，在上单调递减，
所以所以，
因此当时.
因为所以于是
又在上单调递增，且所以在上有唯一零点.
，
当时
令其中则，
令则，
所以在上单调递增
所以在上单调递增，
故当时，
因为所以即，
所以.
由得即得于是
又在上单调递减，所以在上有唯一零点.
故时，有两个零点.
③当时，由得则
又当时所以无零点.
综上可知或时，无零点；时，只有一个零点；时有两个零点.

6.答案：（1）由已知,函数 的定义域

所以 

当时, 单调递减

当时, 单调递增

（2）证明:由,解得

令

则      于是,存在,使得

令

由1知: ,即

当时,有

由1知, 在区间上单调递增

故:当时, ,

当时, ,

又当时, .

所以,当时, .

综上述,存在,使得恒成立,且在区间内有唯一解