冲刺系列卷03-决胜2021年全国高考数学备考优生50天冲刺系列（江苏等八省市新高考地区专用）（原卷 解析）

决胜2021高考数学50天冲刺系列卷

冲刺系列卷(03)

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】由，得或，

所以或，所以，

因为，

所以，故选：B

【点睛】本题考查了先求出集M，再求出集合M的补集，然后求出即可,属于基础题.

2.已知复数z满足：z2＝+6i（i为虚数单位），且z在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的虚部为（　　）

A．2i B．3 C．i D．

【答案】D

【解析】设z＝a+bi，（a，b∈R），

因为z在复平面内对应的点位于第三象限，所以a＜0，b＜0，

因为z2＝a2﹣b2+2abi＝+6i，所以＝a2﹣b2，2ab＝6，

故a＝﹣2，b＝﹣，

的虚部为．故选：D．

【点睛】本题考查了复数的概念、运算法则以及几何意义，属于基础题.

3.“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：

由上表可知其线性回归方程为＝0.28x+a，则a的值为（　　）

A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.8

【答案】A

【解析】由题意可知，，，

因为线性回归方程过点（），

所以有1＝0.28×3+a，

故a＝0.16． 故选：A．

【点睛】本题考查了线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，属于基础题．

4.某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个村，则每个村至少有一名工作人员的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，有种安排方法，

其中每个村至少有一名工作人员的有种安排方法，

所以所求概率为.  故选：D

【点睛】本题考查了古典概型的概率公式以及排列组合,属于基础题.

5.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律（　　）

A．y＝mx2+n（m＞0） 

B．y＝max+n（m＞0，0＜a＜1） 

C．y＝max+n（m＞0，a＞1） 

D．y＝mlogax+n（m＞0，a＞0，a≠1）

【答案】B

【解析】由题意知茶水温度y随时间x的增大而减小，在[0，+∞）上是单调减函数，

所以ACD中的函数都不满足题意，只有选项B满足题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了新情景问题下的文化题：函数性质的应用,属于基础题.

6.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】，函数是奇函数，故排除AB，

当时，，，所以，故排除D.   故选：C

【点睛】本题考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限,属于基础题.

7.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为（　　）

A. 94 B. 95 C. 96 D. 98

【答案】B

【解析】根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈[90,100]，

则有n+（n+1）+（n+2）++（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，

则有19n+m＝1349，则m＝1349﹣19n，

所以90≤1349﹣19n≤100，解得，

因为年龄为整数，所以n＝66，则m＝1349﹣19×66＝95.    故选：B

【点晴】本题考查了阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题．

8.已知，单调递增等差数列{an}满足f（a2﹣3）≤0，f（4a1）+f（7﹣a2）≥0，则a3的取值范围是（　　）

A．（0，3] B．（0，7） C．（﹣，3] D．（﹣，7]

【答案】D

【解析】因为,所以

所以f（x）在R上单调递增，又f（0）＝0，

所以f（a2﹣3）≤0，等价于f（a2﹣3）≤f（0），所以a2﹣3≤0，解得a2≤3，

＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，

所以f（4a1）+f（7﹣a2）≥0，等价于f（4a1）≥f（a2﹣7），

所以4a1≥a2﹣7，

由a2≤3，可得6≥a1+a3，①

由4a1≥a2﹣7，可得8a1≥a1+a3﹣7，即7a1≥a3﹣7，②

①×7+②可得42+7a1≥7a1+7a3+a3﹣7，解得a3≤7，

因为{an}是单调递增数列，

所以a3＞a2＞a1，

所以4a2＞4a1≥a2﹣7，所以a2＞﹣，所以a3＞a2＞﹣，

所以a3的取值范围是（﹣，7]．故选：D．

【点晴】本题考查了函数的奇偶性、利用导数以及基本不等式研究函数的单调性，考查了利用数列的单调性求范围，属于中档题．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.为促进儿童全面发展和健康成长，我国于2011年颁布实施《中国儿童发展纲要（2011﹣2020年）》．儿童文化产品和活动场所更加丰富．近年来，儿童接触文化艺术和娱乐体验的途径更加多元，可获得的文化产品和服务也更加丰富．如图为2011﹣2019年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间．则下列结论中正确的是（　　）

A．2018年全国少儿电视节目播出时间比上一年增长6.4% 

B．2011﹣2019年少儿广播节目播出时间的平均数约为21万小时 

C．2011﹣2019年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间均逐年增长 

D．2011﹣2019年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间中电视动画节目播出时间的方差最小

【答案】BD

【解析】2018年全国少年电视节目播出时间比上一年增长0.35%，故A错误，

少儿广播节目播出时间的平均数约为21万小时，故B正确，

2014年到2015年少儿电视节目播出时间降低，故C错误，

由图可知电视动画节目播出时间的方差最小，故D正确，故选：BD．

【点睛】本题考查了根据统计图表依次判断选项即可得到答案,属于基础题.

10.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，，，则或

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，则

【答案】AC

【解析】对于选项A,若，，，则或，故A正确；

对于选项B,若，，，则或，故B错误；

对于选项C,若，，，直线和相当于平面和的法向量，则，故C正确；

对于选项D,若，，，则或，或和一般的相交，故D错误．

故选：AC．

【点晴】本题考查了直接利用线面的平行和垂直的判定和性质及法向量的应用判定A、B、C、D的结论,属于基础题.

11.已知函数的图象上，对称中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数的一个对称点为

B. 当时，函数的最小值为

C. 若，则的值为

D. 要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位

【答案】BC

【解析】因为函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象上，对称中心与对称轴x＝的最小距离为 ×＝，

∴ω＝2．再根据，可得，故令可得，故A错误；

当时，，故当时，函数f（x）的最小值为，故B正确；

若，

则

，故C正确；

将的图象向右平移个单位，可得y＝2cos（2x﹣）的图象，故D错误.  故选：BC

【点睛】本题考查了根据三角函数的图象与性质确定对称中心，最值，利用三角恒等变换求值，根据平移得解析式是解题的关键，属于中档题.

12.半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（　　）

A．BF⊥平面EAB

B．该二十四等边体的体积为

C．该二十四等边体外接球的表面积为

D．PN与平面EBFN所成角的正弦值为

【答案】BCD

【解析】BF与AE所成角是60°，故A错，其他选项均正确，故选:BCD．

【点睛】本题考查了“阿基米德多面体”这一新概念,考查了空间思维及想象能力,属于中档题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 的展开式中的系数为_________.(用数字作答)

【答案】

【解析】由题得.

令，解得，

所以的系数为.   故答案为：60

【点睛】本题考查了利用二项式定理求指定项的系数，属于基础题.

14.写出一个对称中心为（，0）的函数f（x）＝　           ．

【答案】y＝sin（x﹣）(答案不唯一)

【解析】y＝sin（x﹣）的对称中心为（，0），答案不唯一，正确即可．

【点睛】本题属于开放式试题,考查了三角函数的性质,属于基础题.

15.已知点P（x，y）是抛物线y2＝4x上任意一点，Q是圆（x+2）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|PQ|+x的最小值为_____．

【答案】3

【解析】画出图像,设焦点为,由抛物线的定义有,故.

又当且仅当共线且为与圆的交点时取最小值为 .故的最小值为.

又当为线段与抛物线的交点时取最小值,

此时

【点睛】本题考查了(1)与抛物线上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为抛物线上的点到焦点的距离.

(2)与圆上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为圆心到定点的距离与半径的关系，属于中档题.

16.已知x＞0，f（x）＝x2+ex，g（x）＝（m2+1）x+lnx，若f（x）≥g（x）恒成立，则实数m的取值范围是　        　．

【答案】3

【解析】f（x）≥g（x）恒成立⇔x2+ex≥g（m2+1）x+lnx（x＞0）恒成立⇔（m2+1）≤（x＞0）恒成立，

令h（x）＝＝x+﹣，

则h′（x）＝，

再令t（x）＝（x﹣1）ex+x2+lnx﹣1（x＞0），

则t′（x）＝xex+2x+＞0恒成立，

∴y＝t（x）在（0，+∞）上单调递增，又t（1）＝h′（1）＝0，

∴当x∈（0，1）时，t′（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减；

当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上单调递增；

∴h（x）min＝h（1）＝1+e，

∴m2+1≤1+e，

解得：﹣≤≤，

故答案为：[﹣，]．

【点晴】本题考查了不等式恒成立问题，通过构造函数利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理能力与数学运算能力，属于中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知的内角，，的对边分别为，，，在①；②；③；这三个条件中任选一个完成下列内容：

（1）求的大小；

（2）已知外接圆半径，，求的周长．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）选择①：由正弦定理得，，

由余弦定理得

，

.

选②：由正弦定理得，，

，

，

，

.

选③：，､

即，

，

又，

.

（2），

，

，

由余弦定理得，

，

，所以得，

周长.

【点晴】本题考查了在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围，属于基础题．

18.已知等差数列的首项为2，前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的首项为1，且满足，前n项和为a3＝2b2，S5＝b2＋b4．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）设，求数列{cn}的前26项和．

【答案】（1），；（2）328.

【解析】（1）由题意得：即，

∴，∵是正项等比数列，∴，则，

∴，.

（2），

则

∴的前26项和为：

.

【点晴】本题考查了求等差数列与等比数列的通项以及数列求和，其中数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法，属于基础题.

19.近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务均为好评的有80次．

（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望．

参考公式：独立性检验统计量，其中．

临界值表：

【答案】（1）答案见解析；（2）

解析：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：

，，所以，不可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关.

（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4.其中；；；；.X的分布列为：

由于，则.

【点睛】本题考查了利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了利用二项分布求随机变量的分布列与数学期望值，考查数据处理能力，属于中档题.

20.如图，在四棱锥P－ABCD中，CD//AB，，，．

（1）证明：BD平面PAD；

（2）设平面PAD平面PBCl，平面ABCDG，．在线段上是否存在点M，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【解析】(1) 在直角梯形中，易知， 

且

平面

(2) 延长与交于点，连结   

取的中点，联结，因为，易证面，建立如图所示的空间直角坐标系，假设存在点符合题意，且

，，，

，   

设面的法向量

，

令，则，

同理可得面的法向量：

故存在满足条件的点，且；

【点睛】本题考查了证明线面垂直，根据二面角的大小求参数，本题的关键是作出平面和平面的交线，从而可以设出点的坐标，属于中档题.

21.已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线交椭圆C于E、F两点，是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由

【答案】（1）；（2）为定值3.

【解析】（1）由题意可得，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）当过点，的直线不是轴，设方程为，

由，

消去得，

△，设，，，，

则，，

又，

同理，

所以

，

，

当过点的直线为轴时，则设，，

则，

综上可知为定值，定值为3．

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，定值问题，属于中档题．

22.已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】（1）因为，，

所以，，

若，即，

当时，，函数单调递减；

若，，当时，，函数单调递增；

若时，即，，

若时，，函数单调递减；

若时，，函数单调递增；

综上所述，当时，函数在单调递减；

当时，函数在单调递减；函数在单调递增．

当时，函数在单调递增．

（2）因为，

所以，即对任意恒成立，

设，则，

所以，当时，，函数单调递增，

当时，，

若，则，

若，因为，且在上单调递增，

所以，

综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立．

设，，则，所以在单调递增，

所以，即的取值范围为．

【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的解题关键是在于转化，转化为求函数的单调性，化简不等式，再用分离参数法转化为求函数的最值，属于稍难题．