冲刺系列卷02-决胜2021年全国高考数学备考优生50天冲刺系列（江苏等八省市新高考地区专用）（原卷 解析）

决胜2021高考数学50天冲刺系列卷

冲刺系列卷(02)

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，，

∴．故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、对数型函数不等式的解法以及并集运算,属于基础题．

2.已知复数在复平面内对应的点分别为，，且为纯虚数，则实数（    ）

A 6 B.  C.  D. -6

【答案】A

【解析】因为复数在复平面内对应的点分别为，，

所以，

故，

因为为纯虚数，

所以且

解得，故选：A

【点睛】本题考查了复数的几何意义、复数的乘法法则以及复数的概念，属于基础题.

3.十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福．某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021年春节前，其中2个兴趣小组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】2个兴趣小组成员将正十二面体模型随机抛出，2人各抛一次，

基本事件总数n＝12×12＝144，

恰好出现一次牛的图案朝上包含的基本事件个数m＝1×11+11×1＝22，

则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为P＝＝．故选：B．

【点睛】本题考查了新情景问题下的文化题：立体几何与概率的综合应用,属于基础题.

4. 在平面直角坐标系中，角θ的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则

tan（2θ+）＝（　　）

A．﹣ B． C． D．0

【答案】C

【解析】∵角θ的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），

∴tan（θ+）＝＝﹣，

则tan（2θ+）＝＝＝，故选：C．

【点睛】本题考查了三角函数的定义以及三角恒等变换，属于基础题.

5.电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的片段.其中，罗秀才唱道:三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀?舟妹唱道；九十九条圩上卖，九十九条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个奴才）.事实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把条狗分成群，每群都是单数，群少，群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分?舟妹已唱出其中一种分法，即，那么，所有分法的种数为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】设少的群狗有条，多的群狗每群有条，、，且.

根据题意，，则一定是的倍数，

可设，由，得，则，即.

由为奇数，则为奇数，即，

于是分配方法有以下种：、、、、、、、、、、、.故选：D.

【点睛】本题考查了分配问题，根据题意得出、等式以及的可能取值是解题的关键，本题是数学文化题，在解题时要充分理解题中的信息，将题意转化为等式或不等式来求解,属于基础题.

6.函数的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解析】因为函数,

所以f（1）＝（1﹣1）cos1＝0，故选项C错误；

f（﹣1）＝[1﹣（﹣1）]cos（﹣1）＝2cos1＞0，故选项D错误；

若选项B正确，则当x＞0时，f（x）与x轴交点的横坐标为1，

但是，故选项B错误，选项A正确． 故选：A．

【点睛】本题考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限,属于基础题.

7.若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】C

【解析】双曲线的渐近线方程为，

由对称性，不妨取，即．

又曲线化为，

则其圆心的坐标为，半径为．

圆心到渐近线的距离，

又由点到直线的距离公式，

可得，

所以.   故选：C．

【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与圆的位置关系，考查数学运算求解能力，属于中档题.

8.已知函数，则不等式的解集是（    ）

A.          B.        C.      D.

【答案】C

【解析】的定义域是

，是偶函数，且在是增函数，

又     ，

则，即，解得：或，

，则，解得

不等式，等价于或，

解得：或或

所以不等式的解集为 ,故选：C

【点睛】本题考查了利用抽象函数的单调性和奇偶性解抽象不等式，易错点是容易忽略函数的定义域，关键是利用函数是偶函数转化不等式,属于中档题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（    ）

A. 若两直线的斜率相等，则两直线平行

B. 若，则

C. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则

D. 已知可导函数，若，则在处取得极值

【答案】BD

【解析】对于A，两直线平行时，两直线的斜率相等或斜率都不存在，所以必要性不成立;

对于B，x> 10时，x> 5,所以必要性成立;

对于C，若，则a//a或aa，所以必要性不成立;

对于D，f (x)在处取得极值时，必有，必要性成立.  故选： BD

【点睛】本题考查了必要性，属于基础题.

10.已知m，n是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（　　）

A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β 

B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n 

C．若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n∥β 

D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β

【答案】BD

【解析】对于选项A，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故A错误；

对于选项B，若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则由线面平行的性质得m∥n，故B正确；

对于选项C，若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n∥β或n⊂β，故C正确；

对于选项D，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．

故选：BD．

【点晴】本题考查了直接利用线面、面面的平行和垂直的判定和性质来判定A、B、C、D的结论,属于基础题.

11.若函数的值域为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】时，，，单调递增，∴，A正确；

时，，，单调递减，

∴，

∵值域是，∴，B错误；

设，则，当时，．单调递增，

∴，即，又，而在递减，∴，C正确；

设，则，

令，则在时恒成立，在上单调递增，

因此时，，，∴是减函数，

又，∴，即，，D正确．    故选：ACD

【点睛】本题考查了函数的单调性，利用单调性确定函数的值域．解题关键是通过导数确定分段函数的单调性，求出函数的值域，确定出参数的范围，利用单调性可判断函数值的大小，同时引入新函数后确定单调性是判断CD的关键,属于中档题．

12.分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：

记图乙中第n个白圈的个数为an，黑圈的个数为bn，则下列结论中正确的有（　　）

A．a4＝14                                    B．40是数列{bn}中的项

C．对任意的n∈N*，均有an＋1＝an＋bn＋n         D．∈N

【答案】ABD

【解析】

【点睛】本题考查了新情景问题下数列的综合应用，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知向量，，且，则__________．

【答案】

【解析】因为向量，，且，

所以，即，

所以．

故答案为：.

【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，半角公式的应用，考查运算求解能力，是中档题.向量垂直的坐标表示：已知，若，则,属于基础题.

14.已知展开式（2x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*）中，所有项的二项式系数之和为64，则a1+a2+…+an＝　     　．（用数字作答）．

【答案】0

【解析】∵展开式（2x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*）中，

所有项的二项式系数之和为2n＝64，

∴n＝6，

令x＝0，可得a0＝1，

再令x＝1，可得 1+a1+a2+…+a6＝1，∴a1+a2+…+an＝a1+a2+…+a6＝0，

故答案为：0．

【点睛】本题考查了利用赋值法求展开式中所有项的二项式系数之和属于基础题.

15.已知抛物线的焦点为F，准线与x轴交于点E，A是抛物线上一点，，则_____________.

【答案】

【解析】因为，所以点A在以原点为圆心，2为半径的圆上，

又因为A是抛物线上一点，由，解得，

由抛物线的定义得.    故答案为：

【点睛】本题考查了由，得到点A在以原点为圆心，2为半径的圆上，再根据A是抛物线上一点，求得点A的横坐标，然后利用抛物线的定义求解,属于基础题.

16.如图，在四面体中，底面，，若该四面体最大棱长等于，则该四面体外接球的表面积为_________；该四面体体积的最大值为__________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】由题意，在四面体中，底面，，

若该四面体最大棱长等于，该四面体为正方体的一部分，如图所示，

此时四面体的外接球半径为,

则该四面体外接球的表面积为.

在直角中，可得，

直角中，可得，

由，可得，当且仅当时等号成立，

所以，

即四面体体积的最大值为.

故答案：，.

【点睛】本题考查了长方体的外接球问题,根据题意补形法把四面体放置在一个长方体的模型中，结合长方体的性质求得外接球的半径，得出球的表面积，再利用基本不等式求得的最大值，进而求得体积的最大值,考查了空间思维及想象能力,有一定难度,属于中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知数列{}的前n项和为，且=2，，其中是不为0的常数．

（1）求，；

（2）求出的一个值，以使得{}为等比数列，并证明之．

【答案】（1），；（2），证明见解析.

【解析】(1) 由题设，．

当时，，由=2，得，

当时，，即，得

(2) 假设{}为等比数列，则，

即，解得；   

下面证明时，{}为等比数列：

由知，当时， ，

两式相减得

即，

又由(1)知，，即，   

所以

故当时， 是以2为首项，为公比的等比数列．

【点睛】本题考查了由数列前项和与项的关系式求数列的项，考查等比数列的证明．解题中，由得出的递推关系时，注意要特别验证与的关系，否则可以出错，过程也不完整,属于基础题．

18.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______.

（1）求角的大小；

（2）若，求周长的最小值.

注：如果选择多个条件分別解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）；（2）6.

【解析】（1）选①

∵，∴，

∴ 或，∵，∴，.

选②

由切化弦，正弦定理边角互化得：，

∵，∴ ，

∴ ，.

选③

由内角和定理得： ，∴，

由正弦定理边角互化得：，即：，

所以，∵，∴.

（2）由正弦定理得：，

由于，，

∴ ，

∵ ，∴，

∴ ，

∴，当且仅当时，取得

∴周长为，

∴周长的最小值为6.

【点睛】本题考查了正弦定理边角互化，正余弦定理解三角形，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于由正弦定理得，进而根据三角函数的性质得，进而求解得答案,属于基础题.

19.2020年新冠肺炎疫情爆发以来，国家迅速采取最全面，最严格，最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓廷势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情作出了贡献．为普及防治新冠肺炎的相关知识，某社区开展了线上新冠肺炎防控知识竞赛，现从大批参与者中随机抽取了200名幸运者的成绩进行分析，他们的得分(满分100分)数据统计结果如下表：

(1)若此次知识竞赛得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为抽取的200名幸运者得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值代替)，求μ，σ的值(四舍五入取整数)，及P(37＜X＜79)的值；

(2)在(1)的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对随机抽取的200名幸运者制定如下奖励方案：得分低于μ的获得1次抽奖机会，得分不低于μ的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖，抽到18元红包的概率为，抽到36元红包的概率为已知张三是这次活动中的幸运者，记Y为张三在抽奖中获得红包的总金额，求Y的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要的抽奖红包的总金额．

参考数据：

P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0．6827；P(u－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0．9545；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0．9973．

【答案】（1）0.8186；（2）7200.

【解析】(1)E(x)＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.1＋95×0.05＝65，

，             

因为，所以14＜σ＜15，

又因故σ≈14，

所以X~N(65，，

所以P(37＜x＜79)＝P(μ－2σ＜x＜μ＋σ)＝

＝＝0.8186．    

(2)Y的所有可能取值分别为18，36，54，72．

依题意得，P(x＜μ)＝P(x≥μ)＝．

P(Y＝18)＝×＝，

P(Y＝36)＝×＋××＝，

P(Y＝54)＝××＋××＝，

P(Y＝72)＝××＝，                                          

所以Y的概率分布为

E(Y)＝18×＋36×＋54×＋72×＝36．

所以举办此项活动所需要的抽奖红包的总金额为200×36＝7200元．      

【点睛】本题考查了正态分布的应用以及随机变量的分布列与期望,考查了数学运算能力,属于中档题.

20.如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，，，，．

（1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，

四边形PQFA为平面四边形；

（2）当时，求直线与平面所成角的

正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）方法1：设在平面内的射影为E，由QC=QD可得EC=ED，

所以点E在CD的垂直平分线上                               

由ABCD是菱形，且，故直线AE与CD的交点即为CD的中点F

因为PA⊥平面ABCD，QE⊥平面ABCD，所以，

从而PA，QE共面，因此 PQ，FA共面，所以PQFA为平面四边形   

（2）分别以AB、AF、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，

当时，由可得,

所以Q的坐标为，

可求平面的一个法向量为．

设直线与平面所成角为，则，

从而直线与平面所成角的正弦值为

【点睛】本题考查了立体几何中位置关系的证明（证明四点共面）、直线与平面所成的角,考查了空间想象能力以及数学运算能力,属于基础题.

21.已知，．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）确定在内的零点个数．

【答案】（1）；（2）恰有两个零点．

【解析】（1）因为，

所以为偶函数，故只需在上恒成立即可，由

知，

,令，则，

①若，则，在上单调递增，，

所以在上单调递增，

，故满足条件．

②若，则存在，，当时，，单调递减，

，在上单调递减，，不成立，故不满足条件，

所以所求的范围为．

（2）

，令，

，

①当时，，单调递减，，单调递增，

又，，在内恰有一个零点；

②当时，可以证明，由（1）知，

，

设，，则，由得，由，得，所以在上增，在上减，

当时，，当时，，

所以，

故在内无零点；

③当时，，单调递减，，单调递减，

，故在无零点；

④当时，，单调递减，

又，，

在内恰有一零点；

⑤当时，，单调递增，又，，

∴存在唯一，，当时，，递减，当时，，递增，，

在内无零点；

综上，恰有两个零点，

【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题以及零点存在性定理，考查了导数的综合应用,考查了分类讨论思想以及转换与化归思想,属于中档题.

22.已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上不同于，的动点，直线，的斜率，满足，的最小值为-4.

（1）求的方程；

（2）为坐标原点，过的两条直线，满足，，且，分别交于，和，.试判断四边形的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【答案】（1）；（2）是定值，.

【解析】（1）设，则，故，

∴，

又，

由题意知：，解得，

∴椭圆的方程为.

（2）根据椭圆的对称性，可知，，

∴四边形为平行四边形，所以.

设，的斜率分别为，，，，则①，②.

又，，即.

当的斜率不存在时，，.

由①②，得，结合，解得，.

∴.

当的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程组得，得，则，即，.

∵，

∴，整理得：.

由直线过，，

将代入，整理得.

综上，四边形的面积为定值，且为.

【点睛】本题考查了两点斜率公式、向量数量积的坐标表示、椭圆的对称性、直线与椭圆的位置关系，考查了数学运算能力与逻辑推理能力，属于稍难题.