高中人教版新课标B2.2.1平面向量的基本定理课时作业

这是一份高中人教版新课标B2.2.1平面向量的基本定理课时作业，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)
1．(2014·山东烟台高一期末测试)已知向量a＝(－1,3)，b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k的值是( )
A．k＝3 B．k＝－3
C．k＝eq \f(1,3) D．k＝－eq \f(1,3)
[答案] C
[解析] ∵a⊥b，∴a·b＝－1×1＋3k＝0，∴k＝eq \f(1,3).
2．(2015·山东威海一中高一期末测试)下列向量与a＝(1,2)共线的是( )
A．(2,1) B．(1,2)
C．(－1，－2) D．(2，－1)
[答案] C
[解析] ∵1×(－2)－(－1)×2＝0，
∴向量(－1，－2)与a＝(1,2)共线．
3．若平面向量b与向量a＝(－1,2)的夹角是180°，且|b|＝3eq \r(5)，则b等于( )
A．(－3,6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
[答案] B
[解析] 由已知a与b方向相反，可设b＝(－λ，2λ)，(λ<0)．
又|b|＝3eq \r(5)＝eq \r(λ2＋4λ2)，
解得λ＝－3或λ＝3(舍去)，
∴b＝(3，－6)．
4．正方形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a、eq \(BC,\s\up6(→))＝b、eq \(CD,\s\up6(→))＝c，则a－b＋c表示的向量等于( )
A．eq \(AD,\s\up6(→)) B．eq \(DB,\s\up6(→))
C．eq \(DA,\s\up6(→)) D．eq \(DC,\s\up6(→))
[答案] C
[解析] ∵a与c是一对相反向量，
∴a－b＋c＝－b＝eq \(DA,\s\up6(→)).
5.已知|a|＝2eq \r(2)，|b|＝3，a、b的夹角为eq \f(π,4)，如图所示，若eq \(AB,\s\up6(→))＝5a＋2b，eq \(AC,\s\up6(→))＝a－3b，且D为BC中点，则eq \(AD,\s\up6(→))的长度为( )
A．eq \f(15,2) B．eq \f(\r(15),2)
C．7 D．8
[答案] A
[解析] eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝3a－eq \f(1,2)b，
|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝9a2＋eq \f(1,4)b2－3a·b
＝72＋eq \f(9,4)－3×2eq \r(2)×3×eq \f(\r(2),2)
＝eq \f(225,4)，∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \f(15,2).
6．(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)a＝(2,1)、b＝(3,4)，则向量a在向量b方向上的投影为( )
A．2eq \r(5) B．eq \r(5)
C．2 D．10
[答案] C
[解析] 向量a在向量b方向上的投影为|a|cs〈a，b〉＝|a|·eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(10,5)＝2.
7．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，则( )
A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线
[答案] A
[解析] eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋10b＝2eq \(AB,\s\up6(→))，
∴A、B、D三点共线．
8．设向量a＝(sin15°，cs15°)、b＝(cs15°，sin15°)，则向量a＋b与a－b的夹角为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
[答案] A
[解析] ∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
∴a＋b与a－b的夹角为90°.
9．已知a＝(1,2)、b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A．(eq \f(7,9)，eq \f(7,3)) B．(－eq \f(7,3)，－eq \f(7,9))
C．(eq \f(7,3)，eq \f(7,9)) D．(－eq \f(7,9)，－eq \f(7,3))
[答案] D
[解析] 设c＝(x，y)，∵c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0，①
又c⊥(a＋b)，∴3x－y＝0②
由①②得x＝－eq \f(7,9)，y＝－eq \f(7,3)，故选D．
10．给定两个向量a＝(3,4)、b＝(2，－1)，且(a＋xb)⊥(a－b)，则x等于( )
A．23 B．eq \f(23,2)
C．eq \f(23,3) D．eq \f(23,4)
[答案] C
[解析] a＋xb＝(3＋2x,4－x)，a－b＝(1,5)，
∵(a＋xb)⊥(a－b)，∴3＋2x＋5(4－x)＝0，
∴x＝eq \f(23,3).
11．若|a|＝|b|＝2，|a＋b|＝eq \r(7)，则a与b的夹角θ的余弦值为( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3) D．以上都不对
[答案] D
[解析] ∵|a＋b|＝eq \r(7)，∴a2＋2a·b＋b2＝7，
∴4＋2×2×2csθ＋4＝7，∴csθ＝－eq \f(1,8).
12．(2015·广州高一期末测试)已知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，点C在AB上，且∠AOC＝30°，设eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m、n∈R)，则eq \f(m,n)等于( )
A．eq \f(1,3) B．3
C．eq \f(\r(3),3) D．eq \r(3)
[答案] B
[解析] 如图，
∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，∴eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→)).
∴∠AOB＝90°，又∵|eq \(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，
∴AB＝2，∴∠OAC＝60°，
又∵∠AOC＝30°，∴∠OCA＝90°.∴AC＝eq \f(1,2).
∴eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→)).
∴m＝eq \f(3,4)，n＝eq \f(1,4)，∴eq \f(m,n)＝3.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知向量a＝(1，－eq \r(3))，则与a反向的单位向量是________．
[答案] (－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))
[解析] 设所求单位向量为(x，y)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝1,y＝－\r(3)x))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2),y＝－\f(\r(3),2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2),y＝\f(\r(3),2))).
又∵所求单位向量与向量a反向，
∴所求单位向量为(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))．
14．(2015·商洛市高一期末测试)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是________．
[答案] eq \f(π,3)
[解析] 设向量a与b的夹角为θ，∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，
∴1×6×csθ－1＝2，
∴csθ＝eq \f(1,2).
∵0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(π,3).
15．若等边△ABC的边长为2eq \r(3)，平面内一点M满足eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝________.
[答案] －2
[解析] 如图所示，
eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→)))·(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→)))
＝(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(CB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→)))·(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(CB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(CA,\s\up6(→))－\f(1,6)\(CB,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)\(CB,\s\up6(→))－\f(2,3)\(CA,\s\up6(→))))
＝eq \f(5,18)eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))－eq \f(2,9)eq \(CA,\s\up6(→))2－eq \f(5,36)eq \(CB,\s\up6(→))2＋eq \f(1,9)eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))
＝eq \f(7,18)eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))－eq \f(2,9)eq \(CA,\s\up6(→))2－eq \f(5,36)eq \(CB,\s\up6(→))2
＝eq \f(7,18)×(2eq \r(3))2×eq \f(1,2)－eq \f(2,9)×(2eq \r(3))2－eq \f(5,36)×(2eq \r(3))2
＝－2.
16．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
[答案] eq \r(10)
[解析] α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0.
又∵|α|＝1，∴α·β＝eq \f(1,2).
又∵|β|＝2，∴|2α＋β|＝eq \r(2α＋β2)
＝eq \r(4α2＋4α·β＋β2)
＝eq \r(4＋4×\f(1,2)＋4)＝eq \r(10).
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2015·广州高一期末测试)已知向量a＝(4,3)、b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若向量a－λb与2a＋b平行，求λ的值．
[解析] (1)∵a＝(4,3)、b＝(－1,2)，
∴a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝eq \r(42＋32)＝5，|b|＝eq \r(－12＋22)＝eq \r(5).
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2,5×\r(5))＝eq \f(2\r(5),25).
(2)a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，
2a＋b＝(7,8)．
∵a－λb与2a＋b平行，
∴8(4＋λ)－7(3－2λ)＝0，
∴λ＝－eq \f(1,2).
18．(本小题满分12分)已知A(－1,0)、B(0,2)、C(－3,1)，且eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝5，eq \(AD,\s\up6(→))2＝10.
(1)求点D的坐标；
(2)用eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(AD,\s\up6(→))表示eq \(AC,\s\up6(→)).
[解析] (1)设D(x，y)，，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(x＋1，y)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝x＋1＋2y＝5，①
eq \(AD,\s\up6(→))2＝(x＋1)2＋y2＝10.②
联立①②，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2,y＝3))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝1)).
∴点D的坐标为(－2,3)或(2,1)．
(2)当点D的坐标为(－2,3)时，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，
eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,1)．
设eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))，则(－2,1)＝m(1,2)＋n(－1,3)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＝m－n,1＝2m＋3n))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1,n＝1)).∴eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))；
当点D的坐标为(2,1)时，设AC＝peq \(AB,\s\up6(→))＋qeq \(AD,\s\up6(→))，
则(－2,1)＝p(1,2)＋q(3,1)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＝p＋3q,1＝2p＋q))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝1,q＝－1)).
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)).
所以，当点D的坐标为(－2,3)时，eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
当点D的坐标为(2,1)时 ，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)).
19．(本小题满分12分)已知点A(1,0)、B(0,1)、C(2sinθ，csθ)，且|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，求tanθ的值．
[解析] ∵A(1,0)、B(0,1)、C(2sinθ，csθ)，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝(2sinθ－1，csθ)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2sinθ，csθ－1)，
又∵|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝|eq \(BC,\s\up6(→))|2，∴(2sinθ－1)2＋cs2θ＝(2sinθ)2＋(csθ－1)2，
化简，得2sinθ＝csθ.
若csθ＝0，则sinθ＝±1，则上式不成立．
∴csθ≠0，即tanθ＝eq \f(1,2).
20．(本小题满分12分)(2015·河南南阳高一期末测试)已知向量a、b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为120°，求：
(1)|a＋b|及|a－b|；
(2)向量a＋b与a－b的夹角．
[解析] (1)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝4＋2×2×2×cs120°＋4
＝4＋2×2×2×(－eq \f(1,2))＋4
＝4，
∴|a＋b|＝2.
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2
＝4－2×2×2×cs120°＋4
＝4－2×2×2×(－eq \f(1,2))＋4
＝12，
∴|a－b|＝2eq \r(3).
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4－4＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)，
∴a＋b与a－b的夹角为90°.
21. (本小题满分12分)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)、eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)、eq \(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)．
(1)若A、B、C三点共线，求实数m的值；
(2)若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．
[解析] (1)∵向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)、eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)、eq \(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2－m,1－m)，由三点共线知3(1－m)＝2－m，解得m＝eq \f(1,2).
(2)由题设知eq \(BA,\s\up6(→))＝(－3，－1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1－m，－m)，
∵∠ABC为锐角，∴eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝3＋3m＋m>0，解得m>－eq \f(3,4).
又由(1)可知，当m＝eq \f(1,2)时，A、B、C三点共线，故m∈(－eq \f(3,4)，eq \f(1,2))∪(eq \f(1,2)，＋∞)．
22．(本小题满分14分)已知平面上三个向量a、b、c，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2eq \r(5)，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝eq \f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
[解析] (1)不妨设c＝λa＝(λ，2λ)，
所以|c|2＝5λ2.
∵|c|＝2eq \r(5).∴λ＝±2，
∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵a＝(1,2)，∴|a|＝eq \r(5).
∵(a＋2b)⊥(2a－b)，
∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
∴2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×eq \f(5,4)＝0，
∴a·b＝－eq \f(5,2)，∴csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－\f(5,2),\r(5)×\f(\r(5),2))＝－1，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.