高中数学人教版新课标B必修4单元测试当堂达标检测题

这是一份高中数学人教版新课标B必修4单元测试当堂达标检测题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)
1．sin330°的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(3,2)
[答案] C
[解析] sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－eq \f(1,2).
2．－1 120°角所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] －1 120°＝－360°×4＋320°，
－1 120°角所在象限与320°角所在象限相同，
又320°角为第四象限角，故选D．
3．已知eq \(PQ,\s\up6(→))＝(2，－1)，点Q的坐标为(－1,3)，则点P的坐标为( )
A．(3，－4) B．(－3,4)
C．(4，－3) D．(－4,3)
[答案] B
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，
则eq \(PQ,\s\up6(→))＝(－1－x,3－y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1－x＝2,3－y＝－1))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3,y＝4)).
∴P(－3,4)．
4．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1,1]，则b－a的值不可能是( )
A．eq \f(π,2) B．π
C．eq \f(3π,2) D．2π
[答案] A
[解析] 当定义域为[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]时，值域为[－1,1]，此时，b－a＝π；当定义域为[－eq \f(π,2)，π]时，值域为[－1,1]，此时，b－a＝eq \f(3π,2)；当定义域为[0,2π]时，值域为[－1,1]，此时，b－a＝2π，故选A．
5．为了得到函数y＝2sin2x的图象，可将函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象( )
A．向右平移eq \f(π,3)个单位B．向左平移eq \f(π,3)个单位
C．向右平移eq \f(π,6)个单位D．向左平移eq \f(π,6)个单位
[答案] C
[解析] y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，故选C．
6．已知向量a＝(2,1)、b＝(1，x)，若a＋b与3b－2a平行，则实数x的值是( )
A．0 B．eq \f(1,2)
C．1 D．eq \f(3,2)
[答案] B
[解析] a＋b＝(3,1＋x)，3b－2a＝(－1,3x－2)，
若a＋b与3b－2a平行，则
3(3x－2)＋1＋x＝0，
∴x＝eq \f(1,2).
7．已知向量a＝(－2,2)、b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是( )
A．[－4,6] B．[－6,4]
C．[－6,2] D．[－2,6]
[答案] C
[解析] 由|a＋b|≤5平方得a2＋2a·b＋b2≤25，
由题意得8＋2(－10＋2k)＋25＋k2≤25，
即k2＋4k－12≤0，(k＋6)(k－2)≤0，求得－6≤k≤2.故选C．
8．(2015·山东临沂高一期末测试)已知csα＝eq \f(3,5)，则sin2α＋cs2α的值为( )
A．eq \f(9,25) B．eq \f(18,25)
C．eq \f(23,25) D．eq \f(34,25)
[答案] A
[解析] sin2α＋cs2α＝1－cs2α＋2cs2α－1＝cs2α＝eq \f(9,25).
9．已知eq \f(1＋sinx,csx)＝eq \f(1,2)，则eq \f(csx,sinx－1)＝( )
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．2 D．－2
[答案] B
[解析] ∵eq \f(1＋sinx,csx)＝eq \f(csx,1－sinx)，
∴eq \f(csx,sinx－1)＝－eq \f(1＋sinx,csx)＝－eq \f(1,2).
10．(2014·全国新课标Ⅰ文，6)设D、E、F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝( )
A．eq \(AD,\s\up6(→)) B．eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
C．eq \(BC,\s\up6(→)) D．eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
[答案] A
[解析] 如图，
eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \(AD,\s\up6(→)).选A．
11．下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
D．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
[答案] B
[解析] 由图象可知A＝1，T＝eq \f(5π,6)－(－eq \f(π,6))＝π，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝2.
∵图象过点(eq \f(π,3)，0)，∴sin(eq \f(2π,3)＋φ)＝0，∴eq \f(2π,3)＋φ＝π，
∴φ＝eq \f(π,3)
∴y＝sinx先向左平移eq \f(π,3)个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，可得原函数的图象．
12．若sinα>tanα>ctαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)<α<\f(π,2)))，则α∈( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,4))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
[答案] B
[解析] 取α＝－eq \f(π,6)，满足sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))>cteq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))，即－eq \f(1,2)>－eq \f(\r(3),3)>－eq \r(3)，排除A、C、D，故选B．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．若θ角的终边与eq \f(8π,5)的终边相同，则在[0,2π]内终边与eq \f(θ,4)角的终边相同的角是________．
[答案] eq \f(2π,5)、eq \f(9π,10)、eq \f(7π,5)、eq \f(19π,10)
[解析] θ＝2kπ＋eq \f(8π,5)，k∈Z.
∴eq \f(θ,4)＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(2π,5)，k∈Z，
令k＝0、1、2、3得
在[0,2π]内终边与eq \f(θ,4)角的终边相同的角是eq \f(2π,5)、eq \f(9π,10)、eq \f(7π,5)、eq \f(19π,10).
14．若a＝(4,5)、b＝(－4,3)，则a·b＝________.
[答案] －1
[解析] a·b＝4×(－4)＋5×3＝－1.
15．(2015·河南南阳高一期末测试)若sin(α－eq \f(π,3))＝eq \f(4,5)，则cs(α＋eq \f(π,6))＝________.
[答案] －eq \f(4,5)
[解析] ∵sin(α－eq \f(π,3))＝eq \f(4,5)，
∴sin(eq \f(π,3)－α)＝－eq \f(4,5).
∴cs(α＋eq \f(π,6))＝cs[eq \f(π,2)－(eq \f(π,3)－α)]
＝sin(eq \f(π,3)－α)＝－eq \f(4,5).
16．(2014·山东济宁嘉祥一中高一月考)给出下列命题：
①存在实数α，使sinαcsα＝1；
②函数y＝sin(eq \f(3π,2)＋x)是偶函数；
③直线x＝eq \f(π,8)是函数y＝sin(2x＋eq \f(5π,4))的一条对称轴；
④若α、β是第一象限的角，且α>β，则sinα>sinβ.
其中正确命题的序号是________．
[答案] ②③
[解析] 若sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α＝1，则sin2α＝2(显然不成立)，故①错；y＝sin(eq \f(3π,2)＋x)＝－csx是偶函数，故②正确；当x＝eq \f(π,8)时，y＝sin(2x＋eq \f(5π,4))＝sin(eq \f(π,4)＋eq \f(5π,4))＝sineq \f(3π,2)＝－1，故③正确；当α＝390°，β＝60°时，α>β，但sinα三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2015·山东威海一中高一期末测试)如图，两同心圆(圆心在原点)分别与OA、OB交于A、B两点，其中A(eq \r(2)，1)，|OB|＝eq \r(6)，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为eq \f(π,2).
(1)设角θ的始边为x轴的正半轴，终边为OA，求eq \f(tanπ－θcsθ＋\f(3π,2),sin2θ－π)的值；
(2)求点B的坐标．
[解析] (1)由A(eq \r(2)，1)得|OA|＝eq \r(3)，则sinθ＝eq \f(\r(3),3)，csθ＝eq \f(\r(6),3).
eq \f(tanπ－θcsθ＋\f(3π,2),sin2θ－π)＝eq \f(tanθsinθ,2sinθcsθ)＝eq \f(sinθ,2cs2θ)＝eq \f(\r(3),4).
(2)设∠AOB＝α，∵扇环的面积为eq \f(π,2)，
∴eq \f(π,2)＝eq \f(1,2)α|OB|2－eq \f(1,2)α|OA|2，解得α＝eq \f(π,3).
由题意知B(eq \r(6)cs(θ＋eq \f(π,3))，eq \r(6)sin(θ＋eq \f(π,3)))，
eq \r(6)cs(θ＋eq \f(π,3))＝eq \r(6)(csθcseq \f(π,3)－sinθsineq \f(π,3))＝eq \f(2－\r(6),2).
eq \r(6)sin(θ＋eq \f(π,3))＝eq \r(6)(sinθcseq \f(π,3)＋csθsineq \f(π,3))
＝eq \f(\r(2)＋2\r(3),2)，
∴B(eq \f(2－\r(6),2)，eq \f(\r(2)＋2\r(3),2))．
18．(本小题满分12分)设向量e1、e2的夹角为60°且|e1|＝|e2|＝1，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)．
(1)证明：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k的值，使k的取值满足向量2e1＋e2与向量e1＋ke2垂直．
[解析] (1)∵eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝5e1＋5e2，
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝5eq \(AB,\s\up6(→))，即eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，又共点B．
∴A，B，D三点共线．
(2)∵(2e1＋e2)⊥(e1＋ke2)，
∴(2e1＋e2)·(e1＋ke2)＝0，
2eeq \\al(2,1)＋2ke1·e2＋e1·e2＋keeq \\al(2,2)＝0，
2＋k＋eq \f(1,2)＋k＝0，
解得k＝－eq \f(5,4).
19．(本小题满分12分)(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)已知函数f(x)＝sinx＋eq \r(3)csx.
(1)求f(x)的最小正周期和振幅；
(2)在给出的方格纸上用五点作图法作出f(x)在一个周期内的图象；
(3)写出函数f(x)的单调递减区间.
[解析] (1)f(x)＝sinx＋eq \r(3)csx＝2sin(x＋eq \f(π,3))．
∴函数f(x)的最小正周期T＝2π，振幅为2.
(2)列表如下：
描点、作图．
(3)由eq \f(π,2)＋2kπ≤x＋eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得
eq \f(π,6)＋2kπ≤x≤eq \f(7π,6)＋2kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为[2kπ＋eq \f(π,6)，2kπ＋eq \f(7π,6)]，k∈Z.
20．(本小题满分12分)(2015·山东临沂高一期末测试)已知向量a＝(csθ－2sinθ，2)，b＝(sinθ，1)．
(1)若a∥b，求tan2θ的值；
(2)若f(θ)＝(a＋b)·b，θ∈[0，eq \f(π,2)]，求f(θ)的值域．
[解析] (1)若a∥b，则csθ－2sinθ＝2sinθ，
∴tanθ＝eq \f(1,4).
∴tan2θ＝eq \f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq \f(2×\f(1,4),1－\f(1,16))＝eq \f(8,15).
(2)f(θ)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2
＝csθsinθ－2sin2θ＋2＋sin2θ＋1
＝sinθcsθ－sin2θ＋3
＝eq \f(1,2)sin2θ－eq \f(1－cs2θ,2)＋3
＝eq \f(\r(2),2)sin(2θ＋eq \f(π,4))＋eq \f(5,2)，
∵θ∈[0，eq \f(π,2)]，∴eq \f(π,4)≤2θ＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
∴－eq \f(\r(2),2)≤sin(2θ＋eq \f(π,4))≤1
∴2≤f(θ)≤eq \f(5＋\r(2),2)，
∴f(θ)的值域为[2，eq \f(5＋\r(2),2)]．
21．(本小题满分12分)已知向量a＝(sinB,1－csB)与向量b＝(2,0)的夹角为eq \f(π,3)，其中A、B、C是△ABC的内角．
(1)求B的大小；
(2)求sinA＋sinC的取值范围．
[解析] (1)由题意，得|a|＝eq \r(sin2B＋1－csB2)＝eq \r(2－2csB)，|b|＝2，a·b＝2sinB，
∴cseq \f(π,3)＝eq \f(2sinB,2\r(2－2csB) ).
整理，得1－csB－2sin2B＝0，
即2cs2B－csB－1＝0.
∴csB＝1或csB＝－eq \f(1,2).
∵B为△ABC的内角，
∴0∴csB＝1不合题意，舍去，
∴B＝eq \f(2π,3).
(2)∵A＋B＋C＝π，B＝eq \f(2π,3)，
∴A＋C＝eq \f(π,3).
∵sinA＋sinC＝sinA＋sin(eq \f(π,3)－A)
＝sinA＋eq \f(\r(3),2)csA－eq \f(1,2)sinA
＝eq \f(1,2)sinA＋eq \f(\r(3),2)csA＝sin(A＋eq \f(π,3))，
∴0∴eq \f(\r(3),2)故sinA＋sinC的取值范围是(eq \f(\r(3),2)，1]．
22.(本小题满分14分)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ )(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x＝eq \f(π,6)处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为eq \f(π,2).
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝eq \f(6cs4x－sin2x－1,fx＋\f(π,6))的值域．
[解析] (1)由题设条件知f(x)的周期T＝π，即eq \f(2π,ω)＝π，
解得ω＝2.
因为f(x)在x＝eq \f(π,6)处取得最大值2，所以A＝2，
从而sin(2×eq \f(π,6)＋φ)＝1，
所以2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
又由－π<φ≤π，得φ＝eq \f(π,6).
故f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))．
(2)g(x)＝eq \f(6cs4x－sin2x－1,2sin2x＋\f(π,2))
＝eq \f(6cs4x＋cs2x－2,2cs2x)
＝eq \f(2cs2x－13cs2x＋2,22cs2x－1)
＝eq \f(3,2)cs2x＋1(cs2x≠eq \f(1,2))．
因cs2x∈[0,1]，且cs2x≠eq \f(1,2).
故g(x)的值域为[1，eq \f(7,4))∪(eq \f(7,4)，eq \f(5,2)]．
x
－eq \f(π,3)
eq \f(π,6)
eq \f(2π,3)
eq \f(7π,6)
eq \f(5π,3)
x＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
2sin(x＋eq \f(π,3))
0
2
0
－2
0