必修4第三章 三角恒等变换综合与测试同步达标检测题

这是一份必修4第三章 三角恒等变换综合与测试同步达标检测题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)
1．函数f(x)＝sinxcsx的最小值是( )
A．－1 B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2) D．1
[答案] B
[解析] f(x)＝sinxcsx＝eq \f(1,2)sin2x，∴f(x)min＝－eq \f(1,2).
2．cs67°cs7°＋sin67°sin7°等于( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(3),2) D．1
[答案] A
[解析] cs67°cs7°＋sin67°sin7°
＝cs(67°－7°)＝cs60°＝eq \f(1,2).
3．已知α为第二象限角，sinα＝eq \f(3,5)，则sin2α＝( )
A．－eq \f(24,25) B．－eq \f(12,25)
C．eq \f(12,25) D．eq \f(24,25)
[答案] A
[解析] ∵α是第二象限角，sinα＝eq \f(3,5)，∴csα＝－eq \f(4,5).
∴sin2α＝2sinαcsα＝2×eq \f(3,5)×(－eq \f(4,5))＝－eq \f(24,25).
4．下列各式中值为eq \f(\r(2),2)的是( )
A．sin45°cs15°＋cs45°sin15°
B．sin45°cs15°－cs45°sin15°
C．cs75°cs30°＋sin75°sin30°
D．eq \f(tan60°－tan30°,1＋tan60°tan30°)
[答案] C
[解析] cs75°cs30°＋sin75°sin30°＝cs(75°－30°)＝cs45°＝eq \f(\r(2),2).
5．已知csα＝eq \f(2,3)，270°<α<360°，那么cseq \f(α,2)的值为( )
A．eq \f(\r(6),6) B．－eq \f(\r(6),6)
C．eq \f(\r(30),6) D．－eq \f(\r(30),6)
[答案] D
[解析] ∵270°<α<360°，∴135°∴cseq \f(α,2)＝－eq \r(\f(1＋csα,2))＝－eq \r(\f(1＋\f(2,3),2))＝－eq \f(\r(30),6).
6．若函数f(x)＝sin2x－2sin2x·sin2x(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数
[答案] D
[解析] f(x)＝sin2x(1－2sin2x)＝sin2x·cs2x
＝eq \f(1,2)sin4x(x∈R)，
∴函数f(x)是最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数．
7．若sinθ＜0，cs2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( )
A．π＜θ＜eq \f(3π,2) B．eq \f(5π,4)＜θ＜eq \f(7π,4)
C．eq \f(3π,2)＜θ＜2π D．eq \f(π,4)＜θ＜eq \f(3π,4)
[答案] B
[解析] ∵cs2θ＜0，得1－2sin2θ＜0，
即sinθ＞eq \f(\r(2),2)或sinθ＜－eq \f(\r(2),2)，
又已知sinθ＜0，∴－1≤sinθ＜－eq \f(\r(2),2)，
由正弦曲线得满足条件的θ取值为eq \f(5π,4)＜θ＜eq \f(7π,4).
8．下列各式与tanα相等的是( )
A．eq \r(\f(1－cs2α,1＋cs2α)) B．eq \f(sinα,1＋csα)
C．eq \f(sinα,1－cs2α) D．eq \f(1－cs2α,sin2α)
[答案] D
[解析] eq \f(1－cs2α,sin2α)＝eq \f(2sin2α,2sinαcsα)＝tanα，故选D．
9．若0＜α＜β＜eq \f(π,4)，sinα＋csα＝a，sinβ＋csβ＝b，则( )
A．a＜b B．a＞b
C．ab＜1 D．不确定
[答案] A
[解析] ∵a＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，b＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))，
又0＜α＜β＜eq \f(π,4)，∴eq \f(π,4)＜α＋eq \f(π,4)＜β＋eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)，
且y＝sinx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上为增，
∴eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＜eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4))).
10．已知cs(x＋eq \f(π,6))＝eq \f(3,5)，x∈(0，π)，则sinx的值为( )
A．eq \f(－4\r(3)－3,10) B．eq \f(4\r(3)－3,10)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
[答案] B
[解析] ∵x∈(0，π)，∴x＋eq \f(π,6)∈(eq \f(π,6)，eq \f(7π,6))，
又∵cs(x＋eq \f(π,6))＝eq \f(3,5)，
∴x＋eq \f(π,6)∈(eq \f(π,6)，eq \f(π,2))．
∴sin(x＋eq \f(π,6))＝eq \f(4,5).
sinx＝sin[(x＋eq \f(π,6))－eq \f(π,6)]
＝sin(x＋eq \f(π,6))cseq \f(π,6)－cs(x＋eq \f(π,6))sineq \f(π,6)
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(4,5)－eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＝eq \f(4\r(3)－3,10).
11．已知f(tanx)＝sin2x，则f(－1)的值是( )
A．1 B．－1
C．eq \f(1,2) D．0
[答案] B
[解析] f(tanx)＝sin2x＝2sinxcsx＝eq \f(2sinxcsx,sin2x＋cs2x)＝eq \f(2tanx,tan2x＋1)，∴f(x)＝eq \f(2x,x2＋1)，∴f(－1)＝eq \f(－2,2)＝－1.
12．函数y＝sinx＋csx＋2，x∈[0，eq \f(π,2)]的最小值是( )
A．2－eq \r(2) B．2＋eq \r(2)
C．3 D．1
[答案] C
[解析] y＝sinx＋csx＋2＝eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4))＋2，
∵x∈[0，eq \f(π,2)]，∴x＋eq \f(π,4)∈[eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)]，
∴sin(x＋eq \f(π,4))∈[eq \f(\r(2),2)，1]，
∴ymin＝eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＋2＝3.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．设α∈(0，eq \f(π,2))，若sinα＝eq \f(3,5)，则eq \r(2)cs(α＋eq \f(π,4))等于________．
[答案] eq \f(1,5)
[解析] ∵α∈(0，eq \f(π,2))，sinα＝eq \f(3,5)，
∴csα＝eq \f(4,5)，
∴eq \r(2)cs(α＋eq \f(π,4))＝eq \r(2)csαcseq \f(π,4)－eq \r(2)sinαsineq \f(π,4)
＝eq \r(2)×eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)－eq \r(2)×eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)
＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)＝eq \f(1,5).
14．求值：tan10°＋tan50°＋eq \r(3)tan10°tan50°＝________.
[答案] eq \r(3)
[解析] tan10°＋tan50°＋eq \r(3)tan10°tan50°
＝tan60°(1－tan10°tan50°)＋eq \r(3)tan10°tan50°
＝eq \r(3)－eq \r(3)tan10°tan50°＋eq \r(3)tan10°tan50°＝eq \r(3).
15．化简：eq \f(\r(1＋2sin610°cs430°),sin250°＋cs790°)＝________.
[答案] －1
[解析] eq \f(\r(1＋2sin610°cs430°),sin250°＋cs790°)
＝eq \f(\r(1＋2sin3×180°＋70°cs360°＋70°),sin180°＋70°＋cs720°＋70°)
＝eq \f(\r(1－2sin70°cs70°),－sin70°＋cs70°)
＝eq \f(\r(sin70°－cs70°2),－sin70°＋cs70°)
＝eq \f(sin70°－cs70°,－sin70°＋cs70°)＝－1.
16．关于函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，有下列命题：
①y＝f(x)的最大值为eq \r(2)；
②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,24)，\f(13π,24)))上单调递减；
④将函数y＝eq \r(2)cs2x的图象向左平移eq \f(π,24)个单位后，与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)
[答案] ①②③
[解析] 化简f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)－\f(π,3)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))
∴f(x)max＝eq \r(2)，即①正确．
T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,2)＝π，即②正确．
由2kπ≤2x－eq \f(π,12)≤2kπ＋π，
得kπ＋eq \f(π,24)≤x≤kπ＋eq \f(13π,24)，即③正确．
将函数y＝eq \r(2)cs2x向左平移eq \f(π,24)个单位得
y＝eq \r(2)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,24)))))≠f(x)，∴④不正确．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)若cs(eq \f(π,4)＋x)＝eq \f(3,5)，eq \f(17π,12)(1)csx＋sinx的值；
(2)eq \f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．
[解析] (1)由eq \f(17π,12)又∵cs(eq \f(π,4)＋x)＝eq \f(3,5)，
∴sin(eq \f(π,4)＋x)＝－eq \f(4,5)，
∴csx＋sinx＝eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4))＝－eq \f(4\r(2),5).
(2)csx＝cs[(eq \f(π,4)＋x)－eq \f(π,4)]
＝cs(eq \f(π,4)＋x)cseq \f(π,4)＋sin(eq \f(π,4)＋x)sineq \f(π,4)
＝eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(\r(2),10).
又由eq \f(17π,12)∴sinx＝－eq \r(1－cs2x)＝－eq \f(7\r(2),10)，
∴tanx＝7，
∴原式＝eq \f(2sinxcsx＋2sin2x,1－tanx)＝－eq \f(28,75).
18．(本小题满分12分)(2015·河北邯郸高一期末测试)设向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，csθ)，θ为锐角．
(1)若a·b＝eq \f(13,6)，求sinθ＋csθ的值；
(2)若a∥b，求sin(2θ＋eq \f(π,3))的值．
[解析] (1)a·b＝2＋sinθcsθ＝eq \f(13,6)，
∴sinθcsθ＝eq \f(1,6).
∵θ为锐角，∴sinθ＋csθ>0，
∴sinθ＋csθ＝eq \r(sinθ＋csθ2)
＝eq \r(1＋2sinθcsθ)＝eq \r(1＋2×\f(1,6))＝eq \f(2\r(3),3).
(2)∵a∥b，∴2csθ－sinθ＝0，∴tanθ＝2.
∴sin(2θ＋eq \f(π,3))＝sin2θcseq \f(π,3)＋cs2θsineq \f(π,3)
＝eq \f(1,2)sin2θ＋eq \f(\r(3),2)cs2θ
＝sinθcsθ＋eq \r(3)cs2θ－eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(sinθcsθ＋\r(3)cs2θ,sin2θ＋cs2θ)－eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(tanθ＋\r(3),tan2θ＋1)－eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(2＋\r(3),5)－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4－3\r(3),10).
19．(本小题满分12分)已知sinα＝eq \f(\r(2),10)，csβ＝eq \f(3\r(10),10)，且α、β为锐角，求α＋2β 的值．
[解析] ∵sinα＝eq \f(\r(2),10)，α为锐角，
∴csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),10)))2)＝eq \f(7\r(2),10).
∵csβ＝eq \f(3\r(10),10)，β为锐角，
∴sinβ＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(10),10)))2)＝eq \f(\r(10),10).
∴sin2β＝2sinβcsβ＝2×eq \f(\r(10),10)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(3,5)，
cs2β＝1－2sin2β＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),10)))2＝eq \f(4,5).
又β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2β∈(0，π)．
而cs2β>0，∴2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).∴α＋2β∈(0，π)．
又cs(α＋2β)＝csα·cs2β－sinα·sin2β＝eq \f(7\r(2),10)×eq \f(4,5)－eq \f(\r(2),10)×eq \f(3,5)＝eq \f(\r(2),2)，∴α＋2β＝eq \f(π,4).
20．(本小题满分12分)(2015·重庆文，18)已知函数f(x)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \r(3)cs2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，求g(x)的值域．
[解析] (1)f(x)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \r(3)cs2x＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)(1＋cs 2x)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cs 2x－eq \f(\r(3),2)＝sin(2x－eq \f(π,3))－eq \f(\r(3),2).因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－eq \f(2＋\r(3),2).
(2)由条件可知，g(x)＝sin(x－eq \f(π,3))－eq \f(\r(3),2).当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，有x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，从而sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的值域为[eq \f(1,2)，1]，那么sin(x－eq \f(π,3))－eq \f(\r(3),2)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3),2)，\f(2－\r(3),2))).故g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3),2)，\f(2－\r(3),2))).
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cs(2x－eq \f(π,3))＋2sin(x－eq \f(π,4))sin(x＋eq \f(π,4))．
(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)求函数f(x)在区间[－eq \f(π,12)，eq \f(π,2)]上的值域．
[解析] (1)∵f(x)＝cs(2x－eq \f(π,3))＋2sin(x－eq \f(π,4))·sin(x＋eq \f(π,4))
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x＋(sinx－csx)(sinx＋csx)
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x＋sin2x－cs2x
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x－cs2x
＝sin(2x－eq \f(π,6))，
∴最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
∵2x－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
∴x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)，k∈Z，
∴对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)，k∈Z.
(2)∵x∈[－eq \f(π,12)，eq \f(π,2)]，
∴2x－eq \f(π,6)∈[－eq \f(π,3)，eq \f(5π,6)]．
∴f(x)＝sin(2x－eq \f(π,6))在区间[－eq \f(π,12)，eq \f(π,3)]上单调递增，
在区间[eq \f(π,3)，eq \f(π,2)]上单调递减．
当x＝eq \f(π,3)时，f(x)取最大值1.
又∵f(－eq \f(π,12))＝－eq \f(\r(3),2)∴当x＝－eq \f(π,12)时，f(x)取最小值－eq \f(\r(3),2).
所以函数f(x)在区间[－eq \f(π,12)，eq \f(π,2)]上的值域为[－eq \f(\r(3),2)，1]．
22.(本小题满分14分)已知向量m＝(sinx,1)，
n＝(eq \r(3)Acsx，eq \f(A,2)cs2x)(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(1)求A的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,12)个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象．求g(x)在[0，eq \f(5π,24)]上的值域．
[解析] (1)f(x)＝m·n
＝eq \r(3)Asinxcsx＋eq \f(A,2)cs2x
＝A(eq \f(\r(3),2)sin2x＋eq \f(1,2)cs2x)
＝Asin(2x＋eq \f(π,6))．
∵A>0，由题意知A＝6.
(2)由(1)知f(x)＝6sin(2x＋eq \f(π,6))．
将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度后，得到y＝6sin[2(x＋eq \f(π,12))＋eq \f(π,6)]的图象；再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，得到
y＝6sin(4x＋eq \f(π,3))的图象．
因此g(x)＝6sin(4x＋eq \f(π,3))．
∵x∈[0，eq \f(5π,24)]，
∴4x＋eq \f(π,3)∈[eq \f(π,3)，eq \f(7π,6)]．
故g(x)在[0，eq \f(5π,24)]上的值域为[－3,6]．