人教版新课标B必修4第一章 基本初等函(Ⅱ)综合与测试当堂达标检测题

这是一份人教版新课标B必修4第一章 基本初等函(Ⅱ)综合与测试当堂达标检测题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)
1．下列角与－750°角终边不同的是( )
A．330° B．－30°
C．680° D．－1 110°
[答案] C
[解析] －750°＝－2×360°＋(－30°)，
330°＝360°＋(－30°)，
680°＝2×360°＋(－40°)，
－1 110°＝－3×360°＋(－30)°，
故680°角与－750°角终边不同.
2．(2015·四川德阳第五中学月考)cs300°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
[答案] C
[解析] cs300°＝cs(360°－60°)＝cs60°＝eq \f(1,2).
3．(2015·潮州市高一期末测试)已知tanα＝2，则eq \f(2sinα＋csα,sinα－csα)＝( )
A．2 B．5
C．1 D．－1
[答案] B
[解析] ∵tanα＝2，
∴eq \f(2sinα＋csα,sinα－csα)＝eq \f(2tanα＋1,tanα－1)＝eq \f(5,1)＝5.
4．若α是钝角，则θ＝kπ＋α，k∈Z是( )
A．第二象限角B．第三象限角
C．第二象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角
[答案] D
[解析] ∵α是钝角，∴eq \f(π,2)<α<π，
∵θ＝kπ＋α(k∈Z)，
∴令k＝0，则θ＝α是第二象限角，
令k＝1，则θ＝π＋α是第四象限角，故选D．
5．(2015·河南新乡市高一期末测试)已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P(sineq \f(2π,3)，cseq \f(2π,3))，则角α的最小正值为 ( )
A．eq \f(11π,6) B．eq \f(5π,3)
C．eq \f(5π,6) D．eq \f(2π,3)
[答案] A
[解析] ∵sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，cseq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，
∴点P(eq \f(\r(3),2)，－eq \f(1,2))，点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝1，
∴sinα＝eq \f(y,r)＝－eq \f(1,2)，csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(\r(3),2)，
∴角α的最小正值为eq \f(11π,6).
6．下列命题中不正确的个数是( )
①终边不同的角的同名三角函数值不等；
②若sinα>0，则α是第一、二象限角；
③若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则csα＝eq \f(－x,\r(x2＋y2)).
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] eq \f(π,4)和eq \f(3π,4)终边不同，但正弦值相等，所以①错．
sineq \f(π,2)＝1，但eq \f(π,2)不是一、二象限角，是轴线角所以②错，对于③由定义csα＝eq \f(x,\r(x2＋y2))，所以③错，故选D．
7．(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)下面四个函数中，既是区间(0，eq \f(π,2))上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是( )
A．y＝cs2x B．y＝sin2x
C．y＝|csx| D．y＝|sinx|
[答案] D
[解析] 令f(x)＝|sinx|，∴f(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|＝f(x)，
∴函数y＝|sinx|是偶函数
又函数y＝|sinx|在(0，eq \f(π,2))上是增函数，且最小正周期为π.
8．为得到函数y＝cs(x＋eq \f(π,3))的图象，只需将函数y＝sinx的图象( )
A．向左平移eq \f(5π,6)个长度单位B．向右平移eq \f(π,6)个长度单位
C．向左平移eq \f(π,6)个长度单位D．向右平移eq \f(5π,6)个长度单位
[答案] A
[解析] y＝sin(x＋eq \f(5π,6))＝sin[eq \f(π,2)＋(x＋eq \f(π,3))]
＝cs(x＋eq \f(π,3))，故选A．
9．(2015·山东潍坊高一期末测试)已知函数f(x)＝eq \f(1,2)sin(2x＋eq \f(π,6))，若f(x－φ)为偶函数，则φ可以为( )
A．eq \f(π,2) B．－eq \f(π,3)
C．－eq \f(π,6) D．eq \f(π,6)
[答案] C
[解析] f(x－φ)＝eq \f(1,2)sin(2x－2φ＋eq \f(π,6))，若f(x－φ)为偶函数，
∴－2φ＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴φ＝－eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，
∴当k＝0时，φ＝－eq \f(π,6)，故选C．
10．如图，一个半径为10 m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d m(如果P在水面上，那么d为负数)．如果d(m)与时间t(s)之间的关系满足：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A>0，ω>0，－eq \f(π,2)<φA．A＝10 B．ω＝eq \f(2π,15)
C．φ＝eq \f(π,6) D．k＝5
[答案] C
[解析] 由图读出A＝10，k＝5，周期T＝15 s，∴ω＝eq \f(2π,15).由题意，知当t＝0时，d＝10sinφ＋5＝0，
∴sinφ＝－eq \f(1,2)，即φ＝2kπ－eq \f(π,6)或φ＝2kπ－eq \f(5π,6).
∵－eq \f(π,2)<φ11．已知函数f(x)＝sin(πx－eq \f(π,2))－1，下列命题正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝sin(πx－eq \f(π,2))－1＝－csπx－1，
∴周期T＝eq \f(2π,π)＝2，
又f(－x)＝－cs(－πx)－1＝－csπx－1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
12．如果函数f(x)＝sin(x＋eq \f(π,3))＋eq \f(\r(3),2)＋a在区间[－eq \f(π,3)，eq \f(5π,6)]的最小值为eq \r(3)，则a的值为( )
A．eq \f(\r(3)＋1,2) B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(2＋\r(3),2) D．eq \f(\r(3)－1,2)
[答案] A
[解析] ∵－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(5π,6)，∴0≤x＋eq \f(π,3)≤eq \f(7π,6)，
∴－eq \f(1,2)≤sin(x＋eq \f(π,3))≤1，∴f(x)的最小值为－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)＋a，∴－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)＋a＝eq \r(3)，∴a＝eq \f(\r(3)＋1,2).
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知点P(2,3)在角α的终边上，则eq \f(tanα,cs2α)＝________.
[答案] eq \f(13,6)
[解析] 由三角函数的定义知，csα＝eq \f(3,\r(22＋32))＝eq \f(3,\r(13))，tanα＝eq \f(3,2)，∴eq \f(tanα,cs2α)＝eq \f(\f(3,2),\f(9,13))＝eq \f(13,6).
14．(2015·河南南阳高一期末测试)函数y＝eq \r(sinx)＋eq \r(\f(1,2)－csx)的定义域是________．
[答案] [eq \f(π,3)＋2kπ，π＋2kπ]k∈Z
[解析] 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx≥0,\f(1,2)－csx≥0))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z,2kπ＋\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(5π,3)，k∈Z))，
∴2kπ＋eq \f(π,3)≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
故函数y＝eq \r(sinx)＋eq \r(\f(1,2)－csx)的定义域为[eq \f(π,3)＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z.
15．函数y＝|sin(eq \f(1,3)x－eq \f(π,4))|的最小正周期为________．
[答案] 3π
[解析] ∵y＝sin(eq \f(1,3)x－eq \f(π,4))的周期T＝6π，
∴y＝|sin(eq \f(1,3)x－eq \f(π,4))|的周期为T＝3π.
16．(2015·商洛市高一期末测试)关于函数f(x)＝4sin(2x＋eq \f(π,3))(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cs(2x－eq \f(π,6))；
③y＝f(x)的图象交于点(－eq \f(π,6)，0)对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－eq \f(π,6)对称．
其中正确的命题是________．
[答案] ②③
[解析] 由f(x1)＝f(x2)＝0，得
2x1＋eq \f(π,3)＝mπ，m∈Z，
2x2＋eq \f(π,3)＝nπ，n∈Z，
∴x1－x2＝eq \f(m－nπ,2)，
当m－n为奇数时，x1－x2不是π的整数倍，故①错误；
f(x)＝4sin(2x＋eq \f(π,3))＝4sin[eq \f(π,2)－(eq \f(π,6)－2x)]
＝4cs(eq \f(π,6)－2x)＝4cs(2x－eq \f(π,6))，故②正确；
当x＝－eq \f(π,6)时，f(－eq \f(π,6))＝4sin[2×(－eq \f(π,6))＋eq \f(π,3)]＝0，故③正确，∴④不正确．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2015·广东揭阳市世铿中学高一月考)已知角α终边上一点P(－4,3)，求eq \f(cs\f(π,2)＋αsin－π＋α,cs\f(11π,2)－αsin\f(9π,2)＋α)的值．
[解析] 点P到坐标原点的距离
r＝|OP|＝eq \r(－42＋32)＝5，
∴sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(3,5)，csα＝eq \f(x,r)＝－eq \f(4,5).
∴eq \f(cs\f(π,2)＋αsin－π＋α,cs\f(11π,2)－αsin\f(9π,2)＋α)＝eq \f(－sinα·－sinα,－sinα·csα)
＝－eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(\f(3,5),－\f(4,5))＝eq \f(3,4).
18．(本小题满分12分)是否存在实数m，使sinx＝eq \f(1,1－m)，csx＝eq \f(m,m－1)成立，且x是第二象限角？若存在，请求出实数m；若不存在，试说明理由．
[解析] 假设存在m∈R，使sinx＝eq \f(1,1－m)，
csx＝eq \f(m,m－1)，∵x是第二象限角，
∴sinx>0，csx<0，∴0由sin2x＋cs2x＝eq \f(1,1－m2)＋eq \f(m2,m－12)＝1，
解得m＝0，这时sinx＝1，csx＝0，
x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，不是第二象限角，故m不存在．
19．(本小题满分12分)已知sinα、csα是关于x的方程 8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两根，求eq \f(1,sinα)＋eq \f(1,csα)的值．
[解析] ∵sinα、csα是方程 8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两根，
∴sinα＋csα＝－eq \f(3m,4)，sinαcsα＝eq \f(2m＋1,8).
∴(－eq \f(3m,4))2－2×eq \f(2m＋1,8)＝1，整理得
9m2－8m－20＝0，即(9m＋10)(m－2)＝0.
∴m＝－eq \f(10,9)或m＝2.
又sinα、csα为实根，
∴Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0.
即9m2－16m－8≥0，∴m＝2不合题意，舍去．
故m＝－eq \f(10,9).
∴eq \f(1,sinα)＋eq \f(1,csα)＝eq \f(sinα＋csα,sinαcsα)＝eq \f(－\f(3m,4),\f(2m＋1,8))＝eq \f(－6m,2m＋1)
＝eq \f(－6×－\f(10,9),2×－\f(10,9)＋1)＝－eq \f(60,11).
20．(本小题满分12分)用“五点法”画出函数f(x)＝cs(2x－eq \f(π,3))在同一周期上的图象．(要求列表描点作图)．
(1)先完成下列表格，然后在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(2)求函数f(x)＝cs(2x－eq \f(π,3))，x∈R的单调增区间．
[解析] (1)
描点、作图．
(2)由2kπ－π≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ，k∈Z，
得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－eq \f(π,3)，kπ＋eq \f(π,6)]，k∈Z.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝eq \r(2)cs(2x－eq \f(π,4))，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间[－eq \f(π,8)，eq \f(π,2)]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
[解析] (1)∵f(x)＝eq \r(2)cs(2x－eq \f(π,4))，∴函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.由－π＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ，得kπ－eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)，故函数f(x)的单调递增区间为[－eq \f(3π,8)＋kπ，eq \f(π,8)＋kπ](k∈Z)．
(2)∵f(x)＝eq \r(2)cs(2x－eq \f(π,4))在区间[－eq \f(π,8)，eq \f(π,8)]上为单调递增函数，在区间[eq \f(π,8)，eq \f(π,2)]上为单调递减函数，且f(－eq \f(π,8))＝0，f(eq \f(π,8))＝eq \r(2)，f(eq \f(π,2))＝－1，故函数f(x)在区间[－eq \f(π,8)，eq \f(π,2)]上的最大值为eq \r(2)，此时，x＝eq \f(π,8)；最小值为－1，此时x＝eq \f(π,2).
22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|(1)求函数的解析式；
(2)若方程f(x)＝m在(0，π)内有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
[解析] (1)观察图象，得A＝2，T＝(eq \f(11π,12)－eq \f(π,6))×eq \f(4,3)＝π，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
∵函数图象经过点(eq \f(π,6)，2)，∴2sin(2×eq \f(π,6)＋φ)＝2，
即sin(eq \f(π,3)＋φ)＝1.
又∵|φ|(2)∵0由图可知，当－22x－eq \f(π,3)
－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
x
0
eq \f(π,6)
eq \f(2π,3)
eq \f(11π,12)
π
f(x)
eq \f(1,2)
－1
2x－eq \f(π,3)
－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
eq \f(5π,3)
x
0
eq \f(π,6)
eq \f(5π,12)
eq \f(2π,3)
eq \f(11π,12)
π
f(x)
eq \f(1,2)
1
0
－1
0
eq \f(1,2)